Механика трубопроводов и шлангов

Малые колебания шлангов

Колебания шлангов в реальных условиях могут быть вызва­ны различными причинами: случайным отклонением от состоя­ния равновесия (свободные колебания), кинематическим воз­буждением, действием периодических или внезапно приложен­ных нагрузок, нестационарными составляющими потока, аэроди- иамическнми силами [73]. Для исследования перечисленных слу­чаев малых колебаний необходимо иметь соответствующие урав­нения движения шланга. Напомним, что под исследованием ма­лых колебаний шланга понимается: 1) определение часгот и форм свободных колебаний при стационарном потоке жидкости; 2) определение амплитуд вынужденных установившихся коле­баний при периодических внешних силах или кинематическом возбуждении при стационарном потоке жидкости; 3) исследова­ние неустановившихся малых колебаний шланга при неустано - вившихся режимах движения жидкости.

Отдельно рассматриваются задачи динамической устойчиво­сти малых колебаний шлангов, возникающие при периодических составляющих потока жидкости (параметрические колебания шлангов) н при взаимодействии шланга с внешним потоком воздуха или жидкости.

Получим уравнения малых колебаний шланга для наиболее общего случая, когда шланг заполнен нестационарным потоком жидкости. В этом случае входящее в векторное уравнение на­тяжение можно представить в виде

Уіо =: [Ош — (Лі + Єї=УЙ’ -Ііі

У„=[Р, 4- >н (2то0зд>і+® Ь] сі; ду= (Д(?, —ДР)ё,.

Такое представление вектора ф позволяет исключить из уравнений движения уравнения равновесия, что в ряде случаев существенно упрощает решение задач динамики шлангов. Под­ставив в уравнение (29.9), получим

Для несжимаемой жидкости скорость от координаты б не зависит, поэтому

(Зо. б)

Де * 1

И из уравнения (30.5) с учетом уравнения (28.12) получаем

Уравнения малых колебаний пространственно-криволиней­ных шлангов в неподвижных осях. Уравнения малых колебаний пространственно-криволинейных шлангов получим из общих уравнений движения. Пространственную форму осевая линия шланга принимает в случае, если шланг находится в потоке воз­духа или жидкости либо при приложении статических сил, ли­ния действия которых не лежит в вертикальной плоскости.

При малых колебаниях можно ввести следующие векторы:

(30.8)

Из уравнения (30.7) получаем уравнение малых колебаний шланга (исключая уравнение равновесия шланга):

— [Л + (2-иУо-аУ! -|- ®і)] - — «і • (30.9)

Из уравнения (30.9) следует, что малые колебания шланга при нестационарном потоке являются вынужденными, так как содержат слагаемые

[Рх--пх {^т)йчюх-|-ч&)) - - 2°- ,

Представляющие собой распределенную нагрузку. Для вязкой жидкости нестационарные составляющие потока приводят к по­явлению переменных во времени следящих сил трения:

/ц-%. /п-^Г - (За11>

(30-12>

То

Д<51== у Щх~[; (30.13)

Или

— I дх‘п дих _

Лй=^11й%~л^+С10_вг]^ (30Л4)

Где х}о н 0ю характеризуют статическое состояние шланга. В скалярной форме записи с учетом соотношения (30.14) полу­чаем (/=1, 2, 3)

<32« <52и ди А / дх. п

-- З-Л-Япхчю---- --|-а0— ( ДQ1—— ) —

Дч? 1 двдх дх дг 1 де /

2 д'ги*1 д ( ди*Л

- 1Л + «1 (2™оЩ + (Сю ~

&*х.

— 1Л+«1(2«10®1+те?)] —+Д^. (30.15)

Из условия (29.7) получаем дополнительное уравнение

•*10«*, 4“ ХяМхл + -*аоИ*. — о. (30.16)

В результате имеем четыре уравнения (30.15) — (30.16) с че­

Тырьмя неизвестными: Д*ь Да'2, Дяз и Д<2ь Можно получить несколько иной вариант записи уравнений малых колебаний шланга [аналогичный системе уравнений (25.14)], более удоб­ный при численном решении [без явного использования соотно­шения (29.7)].

То

(30.18)

Из (30.18) с учетом соотношения (30.16)

(30.19)

Исключив из (30.18) ДС^і, получим систему уравнений N V ) =п! 2 з,

Л т 0,0 Л Л "/ 7 1

(30.20)

Которую надо рассматривать совместно с уравнениями (30.15), в которых следует заменить

Л(ЗіЛГ;о на ДС2.г{;

Д? и д^и дих *

~^ + 2щ -^+ ас (Л<Л,) -

— [РІ+«і(2щ)0®'і+«>іЛ — рі+«і (2г«о™і “Г '“'і)! -^Г +

+ /„(-^ + -^-) + л? Л, (30.21)

Где АдХ[— внешние распределенные динамические силы, напри­мер аэродинамические. Если на шланг действуют сосредото­ченные силы, то в уравнения (30.15) следует включить дополни­тельные слагаемые

Л? Л, = у ДР^’8 (е - «к). (30.22)

А-=1

В результате получнм систему из шести уравнений с шестью неизвестными: Ах,- и ^Х[ (і=1, 2, 3). Уравнения содержат

Только первые производные искомых функций по є, т. е. должны быть известны шесть краевых условий. Для закрепленного в двух точках шланга имеем по три условия на каждом конце: их (0)=0, и_гД1)=0 (і=1, 2, 3). Определив из системы

(30.20) — (30.21) ДО*. • и, воспользовавшись соотношением {30.19), находим динамическую составляющую

Лд,=Д «Й1) — Р — ДЙХ> - ДР, (30.23)

Уде Д*?!1*— динамическая составляющая осевого усилия шланга. .Полное давление в жидкости при колебаниях шланга можно представить в виде (см. § 28)

Р = й> + Л + йА где ро — давление в покоящемся шланге при стационарном дви­жении жидкости; р — дополнительное давление в жидкости (при неподвижном шланге), вызванное работой насоса; Ар — давле­ние, возникающее при колебании шланга (вследствие перенос­ных сил инерции) Система уравнений (30 20) — (30.21) позволя­ет определить величину А(?1, которая также содержит неизвест­ную АР, определяемую (при известных ) из уравнения

(28.17) , после чего находим динамическое натяжение шланга

ДОР^ДС^ + Д Р. (30.24)

При стационарном потоке вязкой жидкости система уравне­ний малых пространственных колебаний шланга (30.20) — (30.21) .принимает вид (при Р! = Ш1=0)

(ад

Д2их <?2и ди,

__1+2„1И,0_'+а0^=— (Л<?,,) + Д^. (30.26)

Основное отличне системы уравнений (30.25) — (30.26) от си­стемы уравнений малых колебаний абсолютно гибкого стержня. в потоке воздуха или жидкости (25.14) заключается в том, что уравнения (30.26) содержат снлы Корнолнса.

Уравнения малых колебаний шланга в связанных осях при нестационарном режиме движения жидкости. Считая V, о малы­ми величинами и полагая х=ко+Ах и т. д., из уравнений

(29.12) — (29.13) получаем следующие векторные уравнения

Малых колебаний шланга:

— К + Д») ХСи ^ X Сю &Я— ^ (30.27)

У=1

-£“ + *0х и=ш х е,; (30.28)

В проекциях на связанные оси, используя уравнение (28.12) при п = const, получаем систему уравнений

^.+ЦЛ_т+Л?1_дй+/„.

+ 2и, да»3+<10г>2 = — X 10Q„ — Ax0Q„ + xwAQt + A-,3Q10 -| - + Д9г-Л& (QU=P,+ /!,(&«„№,-fa»?)); (30.30J

----- 2л1теи')2 + а0г>3— Дог — Ag, (Aft = ДЛ,2);

<^1 Л

—r - '02*30=0:

№

(30.31

И2*,„ = — ю2;

C? Wl бд-х-!

<?Ј dtl “

-^-=*1Л—Wi; (30.32)

Л03 дДк-з

При стационарном потоке жидкости в уравнениях (30.27) и (30.30) считаем <2и = 0.

Система из девяти уравнений (30.30) — (30.32) содержит девять неизвестных: г;г-, со*, Дх|, Дкз, Д<31 и др.

Частиые случаи уравнений малых колебаний шланга. Выше были получены общие уравнения малых колебаний шланга, ког­да осевая линия шланга в статике пространственная кривая. Это имеет место в случае действия статических сил, линия дей­ствия которых не лежит в плоскости хх2. Если на шланг дей­ствуют только силы тяжести, то осевая линия шланга есть пло­ская кривая, и уравнения малых колебаний распадаются на две системы уравнений: уравнения колебаний шланга в вертикаль­ной плоскости и уравнения колебаний шланга относительно вер­тикальной плоскости аналогично уравнениям малых колебаний

Абсолютно гибкого стержня, находящегося под действием сил тяжести.

1. Уравнения колебании шланга в вертикальной плос­кости при нестационарном ре­жиме движения жидкости (рис. 30.1) имеют вид

+і/5і+и,(2от„-ю1+от!)] —4і---------- /и -

*2 1 ■ГП *

)2п д2их дих

^Г + 2п< (™о+™.)-ггг + «о - ГГ—

- + Д? л:,; £>4<?

+ІЯ1+Лі(2ги0«’і +

-

/п —— = — [Яі + я, + ™і)1 -

Й*2о

-Г /и

-Д<2Л=0;

(30.34)

-ддЛ - - о.

От

При стационарном потоке вязкой жидкости в уравнениях

(30.33) следует считать Р,=ги),=0. Для идеальной жидкости (при стационарном режиме движения) в уравнении (30.33)

/м=0.

2. Уравнеыня колебаний шланга относительно вертикально« плоскости при нестационарном режиме движения жидкости име­ют вид

. ГдЫх_

Дх2

-+- Рі — «і (2^0^! 4- чю)

_2 Фіо

—— лО„=о.

3. Уравнения в связанных осях при колебаниях шланга в вер­тикальной плоскости при нестационарном режиме движения жид­кости следующие:

’ 1- + +Д?1 (30.37)

Д%

НЬ 2яі^з+<№=*зсДОі ~~ кфю — -}- Д<?2 — Д&г>

(30.38)

----- *эощ2=0; -^-+*зо®і=шз; (30.39)

Д„=«£_, (30.40)

Где Ад и Адг — внешние возмущающие силы; Agi, Ag2 — вариа­ции проекций сил тяжести на связанные осн при колебаниях

Шланга,

Д&=-0»*я, Д?. Л&=-^-Л¥. (30.41)

Частные случаи уравнений колебаний шланга при стационар­ном режиме движения жидкости. 1. Уравнения малых колебаний в вертикальной плоскости в проекциях на неподвижные оси. Полагая в (30.33) Р=&і=/ц = 0, получаем систему уравнений

ДУ2

ДдЛі=0.

2. Уравнения малых колебаний в вертикальной плоскости в проекциях на связанные оси. Из системы уравнений (30.37) —

(30.40) получаем

Дv , ддф! . .

-+ЩК--£-=л*-л&:

+2и, ш01»з+а0щ2~ *30^1 — ^3010=^8—^62; (30.43)

—*30^2=0, -^-+х8„г>1=ш3;

_ ййу _ 0Ь(

Систему уравнений (30.43) можно свести к одному уравне­нию, удобному при приближенных методах решения. Исключаем из уравнений (30.37) Д^і и Д^2, воспользовавшись (30.41), и, дифференцируя получающиеся уравнения по т. имеем

<"и>

(30.45)

Исключим АСїі из уравнений (30-44) и (30.45). Для этого уравнение (30.45) разделим на хзо и продифференцируем его по е:

, дьд в де. %30 дх2 ) де. [ х30 дхдє ) дт, ]

--І-І(■»-+'«)]• №“>

Исключая д2А®1 из (30.44), имеем

І3-+«,Л(^+Н-І- (і ж)+і5гГ-?(^+

----- — / _!_ .ЁОю _^ї_ (30 47)

Л *м * дх І

В результате проделанных преобразований получили два уравнения: (30.47) и

- х30г;2=0. (30.48)

Воспользовавшись уравнением (30.48), исключаем с2 из урав­нения (30.47):

^+МІ-(і$-)+Ч^(і5г)+

- Мі-

(30.49)

185

Уравнение (30.49) является основным уравнением малых ко­лебаний шланга в вертикальной плоскости при стационарном потоке ЖИДКОСТИ. Переходя ОТ скорости 01 к смещению И| урав­нения (30.49), можно один раз проинтегрировать по времени:

-ЙГ + °1Ло [тг 1г)+Хз°"1Ь~^ 15Г.) +

. . 2щу> Г д / 1 д2иг у дщ ~П д. 1 д

Де I *зо I - V хзи I дт |) с? е | - х.30 де

+ (30.50)

Уравнение (30 50) дает возможность определить собственные значения краевой задачи и исследовать вынужденные колеба­ния шланга. Входящие в уравнение кзо и <2ю определяются из

Уравнений равновесия шланга (см. § 9):

*зо=£1/С?1о; (*?1о==1//Г^I~]— (£ —с’з;=с'1 вЬ

Где су, Сч — произвольные постоянные, зависящие от координат точки закрепления шланга (л:]к, л‘2и)-

3. Уравнения малых колебаний шланга относительно верти­кальной плоскости г*рп стационарном потоке жидкости.

Уравнения в неподвижных осях. Из системы (30 35)—(30.36У получаем

Д? иг да., дА О..

—^+2га,™0—_±2--------- ~ —Д<7гэ; (30.51),

Дх2 дедя дт де

Диг I

-------- !_ дф =0.

Дг

Уравнения (30.51) содержат два неизвестных: ил-3 и ЛО**. Исключив Дф. гя из уравнений (30.51), получим д2и д^иу, ди. г / оиг

-^+2'1^ 157+°» («“ - **-)=■(30-^

Уравнения в связанных осях (переходя к перемещению из) имеют вид

Углы Ал'] и Ау2 связаны с перемещением и3 уравнениями {24.9), (24.11), т. е.

-*Й- + дЧ2=0; -^1 «3^=0, (30.55)

Поэтому после преобразований имеем