Механика трубопроводов и шлангов

Одномерное течение вязкой несжимаемой жидкости в подвижном канале

Уравнение одномерного движения жидкости по криволиней­ному каналу в безразмерной форме имеет вид (рис. 28.1)

Ч^+^Н=1^Г1-'^+7.. <я=^’ ‘28Л) Где __

/—/Фъ - (28.2)

Для несжимаемой жидкости как при стационарном режиме движения, так и при нестационарном выполняется условие

=0. Проекция уравнения (28.1) иа направление касатель­

Ной к осевой линии канала (шланга) равна

ДР * * /ОО

Пх =----------------- -------- пхх2 — /I - (28.3)

Уравнение (28.3) устанавливает связь между неизвестными величинами Р и х%. При нестационарном режиме движения жид­кости имеем

Где Ро(е) н зи0 — средние по сечению давление и скорость, соответствующие стационар­ному режиму движения жидко­

Сти; Р, (е, т) и да,(т) — сред-

Нне по сечению дополнитель­ные давление и скорость не­стационарного режима движе­ния. Сила трения } зависит от квадрата скорости (формула Дарси—Вейсбаха [65], приве­денная к безразмерному ви - ду), т. е.

(28.5)

Где 5 — смоченный периметр внутренней поверхности шланга [считая, что соотношение (28.4) справедливо и для нестационар­ного режима движения жидкости]. Для шланга круглого сече­ния 5=ж/

(28.6)

Подставив в уравнение (28.3) соотношения (28.4) и (28.5), после преобразований получим два уравнения:

4^- Ь«1-'2о + /ю=0 (/10=а11в1); (28.7)

«1 --- /и 1/и =«1 (2г»Л + «Ы - (28.8)

Уравнение (28.7) устанавливает связь между стационарными параметрами потока при покоящемся шланге. Уравнение (28.8) устанавливает связь между нестационарными параметрами по­тока (при известных краевых условиях для потока) при непо­движном канале.

Нестационарное движение жидкости по подвижному каналу (шлангу или трубопроводу). В этом случае имеем

(28.9)

Где Р<2 — дополнительное динамическое давление, вызванное дви­жением канала. Уравнение движения жидкости по движущему­ся криволинейному каналу имеет вид (в безразмерной форме)

Подставив в уравнение (28.10) соотношение (28 9), после преобразований получим три уравнения (из проекции уравнения (28 10) на направление касательной ё]

(28.11)

(28.12)

ІИ-^о) (Я2=ДЯ). (28.13)

Уравнения (28.11) и (28.12) от движения шланга (или тру­бопровода) не зависят, но они необходимы, так как уравнения движения шланга (как будет показано в § 29) содержат коэф­фициенты, зависящие как от Ро, так и от Р. Для вязкой жид­кости утверждение, что уравнения (28.11) и (28.12) не зависят от движения канала, эквивалентно утверждению, что силы тре­ния и /п зависят только от относительной скорости ш. Урав­нение (28.13) должно рассматриваться совместно с уравнениями движения шланга. В связанных осях (в базисе {ёг}) уравнения

(28.11) и (28.12) остаются без изменения, а уравнение (28.13) принимает вид

«1 (*12 —Л? а). (28.14)

Уравнения движения жидкости при малых колебаниях шланга.

При малых колебаниях канала (шлаига), по которому движется жидкость, уравнения (28.11) и (28.12) остаются без изменения, а уравнение (28.13) принимает вид

(28.15)

Где Р2—АР — малое дополнительное давление;

(28.16)

)=1 І-1

При малых колебаниях можно ввести е^ею, что приведет к уравнению

П пхих>. (28.17)

Входящие в (28.17) йх. определяются из системы уравнений малых колебаний шланга, которые выводятся в § 29. Уравнение

(28.17) можно представить через скорость »1 (в связанных осях)г т. е.

(28.18)

Векторные уравнения движения. Уравнения движения шлан­гов (рис. 29.1) можно получить, воспользовавшись принципом Даламбера, включив в уравнение равновесия силы инерции (рис. 29, и, б), равные

СМи1 = ~т1 -а2~ г/х; (29.1)

Ап к '

“’(#+-£)*• ^

Где го— векгор скорости жидкости (осредненной по сечению).

Для нестационарного режима движения жидкости ги — функ­ция времени Рассматривая отдельно элемент шлаига и жидко­сти, получаем два уравнения движения

Т1-^=^%^+? + т,£+/. (29.3)

(29-4)

Сложив уравнения (29.3) и (29.4), получим

I 1 <&г, аю д д, >-

(т,+т2) —— + т2 —— =-5—---------- — +д + (т, + т2) £.

А1* 0.1 0$ 04'

(29.5)

Уравнение (29.5) можио получить без отдельного рассмот­рения элементов шланга и жидкости, однако приведенный вари­

Ант вывода уравнения движения шланга физически представля­ется более наглядным. Кроме того, такое отдельное рассмотре­ние дает возможность для вязкой жидкости правильно учесть возникающие распределенные силы трения /], от которых зави­сит исевое усилие в шланге (начальное напряженное состоя­ние). Сила трения /1 считается известной (известная функция, зависящая от скорости движения жидкости). Следует подчерк­нуть, что в данном разделе и последующих рассматривается не­сжимаемая жидкость. Подобная идеализация жидкости оправ­дана гем, что учет сжимаемости жидкости, например, при определении частот системы дает поправку, которая меньше разброса частот из-за разброса механических свойств реальных шлангов Переходя в (29 5) к переменным Эйлера и безразмер­ным величинам (аналогично безразмерным величинам, введен­ным в § 23), получим следующее векторное уравнение-

(&~г, 0 д^г. 9 д'*г, ди» дг, дг

-------- 1- 2 плю----------- Ь Плчю1------------- ^ я,------- ;—к а0 —— =

С»г2 1 дгдх. дг2 дх с? е дх

=—~Р)~еА+~Ч~12 Ы,=- '?-)■ (29-6)

Дв тх + т% /

Векторное уравнение (29.6) содержит пять неизвестных ска­лярных величин: А'х, Л*2, Х3 ^ , Р и С^1*. Производ­

Ные от хг по е должны удовлетворять дополнительному соотно­шению

2#= 1. (29.7)

Рассмотрев движение жидкости (одномерное движение в подвижной трубке), получим еще оцно уравнение (28.10) в про­екции на направление касательной.

Л'.Л', 4- пх —= - - -да2 - щх2 - /„ (29.І

Где /і — безразмерная сила трения, зависящая от средней по се­чению скорости да. Для шланга постоянного сечения, щ от к не зависит. Если поток жидкости нестационарный (наиболее об­щий случай), тс скорость да зависит от времени и является из­вестной и равной скорости жидкости на входе в шланг, которая определяется секундным расходом жидкости. Система уравне­ний (29.6) — (29.8) позволяет исследовать совместное движение
шланга и жидкости. Уравнение (29.6) можно преобразовать к виду

1§-+2^^г+"■ * +“■>£=-1г №ёо+?-?ь (ад

Где

(29.10)

Векторные уравнения движения шланга в связанных осях.

Переходя в уравнении (29.6) к переменным Эйлера и безразмер­ным величинам, имеем

Дv. дь, / дни, дву . — дО, . ~ /- дг

Н_„ (»=—)• (29.11>

Для исследования движения относительно состояния равно - весия (в связанной системе координат) необходимо перейти к локальным производным, что с учетом уравнения (4.25) приво­дит к следующему уравнению:

Ди. — — . С1 г— — . — , с)® - ^(01) .

— |-м ХеЛ+ам+п,------ - -4-

От; ох; де

+ (*хЪгШ-1» (29.12)

Дополнительно к уравнению (29.12), зависящему от пара­метров потока жидкости, имеем следующие векторные уравне­ния (см. § 4):

-~+^хЪ)^хе1; -------------------------- -------- (29.13)

Де дг дх

Вектор Я имеет ТОЛЬКО две компоненты: У, н У. З-

Уравнения в скалярной форме записи. 1. В неподвижной си­стеме координат. В скалярной форме из выражения (29 9) полу­чаем систему уравнений

Д%х? . дну дх, . дх/

------- —--Пл----------- *-_!_« _ _£.

Йебта дх дг

+ 2/1,® --П ~~ -—-{-а® =—т— (<21'1 - Р - X

ЛеЛп с)т дх дг -

+дхі-Ьь {і= 1, 2, 3). (29.14)

В уравнение (29.14) включены распределенные силы сопро­тивления, пропорциональные скорости движения (сіо’дхіідх). Уравнение (29.14) удобно, если в дальнейшем рассматривать движение шланга в абсолютной системе координат (в непо­движной системе). Решая систему уравнений (29.14) совместно

С уравнением (29.7), определяем Х{ и Это возможно потому, что краевые условия для шланга зависят только от *г- Опреде­лив л*г и зная и) и /1, из уравнения (29 8) определяем Р, а затем динамическое натяжение равное

0>1)=<31-{-Я-{- /г,®1»2. (29.15)

Рассмотрим более подробно выражение для динамического натяжения Динамическое натяжение всегда можно пред­

Ставить как сумму статического натяжения и дополнитель­ного динамического натяжения появляющегося при дви­

Жении шланга, т. е.

Д<1)=(ЗЦ>+дЦ). (29.16)

Возможны два случая. В первом случае до начала движения шланга жидкость в шланге находилась в состоянии покоя, тогда <2ю(1) зависит только от внешних сил, например от суммарного веса жидкости и шланга и давления в жидкости, т. е.

«З'ю^ёй’ОО + Яо, (29.17)

Где (в) —натяжение от суммарного веса жидкости н шлан­га. Во втором случае до начала движения шланга жидкость дви­галась с постоянной скоростью Эдо - В этом случае статическое натяжение [см. § 5, формула (5.30)]

<?(1о’=би-Ьро+«1ГОо. (29.18)

Значит, полное натяжение при движении шланга

ОГ’^о’ + Яо+'^о+О!!,’. (29.19)

В уравнения движения (29.9), (29.11) входит с учетом (29.19)

Ф1=Й1)-Р-ге,®2=®+/50+/г, тао+дЦ)-Р-/г1щ>2. (29.20)

Если при движении шланга скорость жидкости остается не­изменной (£У = а'о), а изменением давления можно пренебречь {Р~Р0), то

<?1=0г)+С& (29.21)

Т. е. в уравнения движения войдет натяжение 0$ только от

Внешних сил. Если при движении шланга поток жидкости стал нестационарным с постоянными составляющими, равными ста­ционарным значениям, т. е.

Р=Рь~-Рь (29.22)

То <2ь входящее в уравнения движения (29.14),

Определив С}}, находим полное натяжение в шланге для слу­чаев (29.21) и (29.23):

<2,,‘)=С21+Ро+в1г0о; (29.24)

<Й1,=01 + /3о+В1вй Ь/31+п1(^'гиоте,1+г®1)- (29.25)

2. Уравнения в проекциях на связанные оси. В проекциях на связанные оси получаем систему уравнений

-)- щ, ш3 — =*3д, |-<у2— (/2-е2); (29.26)

( 1н—^ ~ 'И1“2) ~ 2/г‘и'“2=— (Н - ё3);

^--^3 = 0;

<к *

(29.27)

Дъ3 ,

----- (-1**,= — ш2;

Ое

Д%х

-^-=*,ша-КЛ; (29.28)

Если требуется определить углы поворота связанного трех­гранника осей при движении шланга, то дополнительно к уравне­ниям (29.26)—(29.28) следует рассмотреть уравнения (23.17),

(23.18).

Частные случаи уравнений движения шланга. В предыдущих разделах получены уравнения пространственного движения шлан­га, что имеет место, если внешние возмущающие силы не лежат в вертикальной плоскости (имеется в виду случай, когда в ста­тике на шланг действуют только силы тяжести). Если же воз­мущающие силы, действующие на шланг, лежат в вертикальной плоскости, то движение шланга будет происходить только в этой плоскости.

В неподвижных осях уравнения имеют вид

№х , о £2*! дно дхл. дх

П^ио------- -+Пл--------------- *-_}_а __±2__

Дт% дедх дъ дв дъ

=-■ [(«1 — ^ (29.29)

, 0 и*Х9 I иш их 2 I иХ9

4-2 плчз)---- —+ Й1------------ —+Оо——=

1 1 1 1 Л~ Л - 14 Д_

£ - [(о* - р - ,г1™2) -^-](29-30>

XI “}~Х2 = 1;

В связанных осях

0<?1

—®2®з+«1-^- = -^-+^1 — (29.31)

+^1Ш3 + 2л1ияи8 = х8С1 + 4/2—(^г-^г);

<?т

----- <у2хз = 0; (29.32}

-+®1*8 = а

(29.33)