Механика трубопроводов и шлангов

Аэродинамические силы и моменты, действующие на стержень, находящийся в потоке

Рассмотрим гибкий стержень круглого сечення, находящийся н потоке произвольного направления (рис. 11.1). Для стержня круглого сечення можно считать, что при обтекании его потоком.1 фодинамические моменты не возникают, а аэродинамические коэффициенты в определенных интервалах изменения числа Рейнольдса сохраняют постоянные значения. Прн обтекании пержня некруглого поперечного сечення (рис. 11.1) при произ - 1«)льном ориентировании одной из главных осей инерции сече­ния относительно направления вектора скорости потока (нор­мальной составляющей г? п вектора скорости потока) возникают I >родинамические моменты

Экспериментальные исследования показывают, что вектор |лв при практических расчетах может быть представлен в виде

(ИЛ)

Г е. основную роль играет возникающий при обтекании подоб­ных профилей крутящий момент

1'1Я=~7Г СтРЛЪп, (11.2)

1ДС — аэродинамический коэффициент, определяемый экспе­риментально.

Следует заметить (более подробно об этом сказано в § 12), ■по для профилей, показанных на рис. 11.1, все аэродинамнче - | кие коэффициенты существенно зависят от угла атакн аа. При шсутствии потока равновесная форма стержня есть плоская кривая, расположенная в плоскости Х1ОХ2. Направление потока, который считается однородным, определяется углом а (см. рис. 10.1). На рис. 11.2 показан элемент стержня с действующи­ми на него аэродинамическими распределенными силами. При произвольном угле между ка­сательной к осевой линии с гержня и вектором г>0 естест - цснно считать, что вектор да (полная распределенная аэро­динамическая сила) не лежит и ПЛОСКОСТИ векторов (?2, ёз), г. е. вектор <7а не ортогонален нектору ё. Проектируя вектор </* на направление касательной п на плоскость, перпендикуляр­ную к осевой линии стержня,

Получим две составляющие: Яг ~ Ь

П дп (рис. 11.2). рис. 11.1

Экспериментальные иссле­дования [30; 76] дают возмож­ность считать, что при числах Рейнольдса 10-'!<Re<105 (что охватывает очень большой класс стержневых конструк­ций) аэродинамические силы могут быть разложены на нор­мальную qn и касательную qt составляющие. Кроме тою, со­гласно квазистационарной тео­рии обтекания [42] аэродина­мические коэффицинты сил qn Xj и д можно считать (до прити­ру I! 2 ческого значения Re) для

Стержня круглого сечения по­стоянными. Эти коэффициенты определяются экспериментально. Экспериментальные исследова­ния по определению аэродинамических коэффициентов сил qv и зi содержатся в работах [26, 42, 94]. При определении (экспе­риментально) аэродинамических сил дп и q принимается, что

Каждая нз них зависит от квадрата проекции вектора v$ соот­ветственно на плоскость, перпендикулярную к осевой линии стержня и на направление касательной, т. е. модули векторов qn и зi можно представить в виде

6J-4-«

{vn—'ь(i si л fa); (ь,=tj0 cosepj;

Где сп, сх — аэродинамические коэффициенты; р — плотность сре­ды; й — диаметр сечения стержня; фа — угол между вектором г? о и вектором ё.

Для стержней некруглого поперечного сечения (см. рнс. 11.1) имеем

Где сш сх и сП! — экспериментально определяемые функции, зави­сящие от угла атаки а«.

Рассмотрим более подробно аэродинамические силы, дейст­вующие на стержень круглого сечения. Аэродинамические силы и моменты, действующие на стержни некруглого сечения, рас­смотрены в § 12.

Следует отметить, что нам известны пока только модуль век- юра дп и модуль и направление вектора д1. Для записи уравнений

І линовесия в связанной системе координат необходимо найти проекции вектора дп на направление векторов ёг и ёз. Изложен­ии» ниже метод определения аэродинамических сил, действую­щих на стержень в потоке произвольного направления не зави-

■иг от того, какой стержень рассматривается — гибкий или абсо­лютно гибкий.

Получим вначале компоненты векторов дп и в неподвиж - іпіГі системе координат, представив векторы г; о и Ъ в виде

(11.8)

(П.9)

Воспользуемся следующей формулой:

(11.10)

(11 11,

Для определения проекций векторов <?1 и дп на неподвижные

- И X] имеем следующие условия, которым должны удовлетво - !■ пь векторы дп и д:

(11.12)

(11.13)

(11.14)

(11.15)

(11.16)

Условие (11.13) означает, что три вектора (ёь г>о и дп) долж­на лежать в одной плоскости. Это следует из того, что направ­ші не вектора дп должно совпадать с направлением г>п.

Дополнительно к соотношениям (11.12) и (11.13) имеем ус - іоіше (11.5):

Ы2=?ЛЛ+?№+?ПД:, = (^- їЛСптЦ ЭШ4,»,,, (11.17,

Іг Цъх ъ—компонента вектора в неподвижных осях.

В развернутом виде соотношения (11.12) и (11.13) дают сле­дующие выражения:

TOC o "1-5" h z?№^+?™-^+<7№-^=0; (11.18) OS OS OS

ДХ'2 • . { дх$ „ dxi дхо г,

Япхг —— sin а I —— cos a-------- sin a 1 —qnxa —— cos a=0.

Ds ds ds } ds

(11.19)

Система грех уравнений (11.17) — (11.19) дает возможность определить три неизвестные компоненты q-nxi - Решая уравнения

(11.14) и (11.19) совместно, определяем проекции вектора qn на оси неподвижной декартовой системы координат (опуская промежуточные преобразования):

QnXl pvodcn sin <рс ^cos a------------ -------------------------------- cos ; (11.20)

Qnx =------------ L wmIcn sin <pa cos <fw ; (11.21)

2 ds

Qnx%=J-3 pvodcn sun <pc (sin a----- cos <pc] . (11.22)

Из уравнений (11.14) — (11.16) с учетом (11.6) и (11.9) полу­чаем выражения для компонент касательной аэродинамической силы:

QlXi=-i - рщйсх cos2 <{>а ~~~ sign (cos 'fj; (11.23)

Qix.=—pwJc cos2 ya dXl ■ sign (cos %); (11.24)

2 ds

Qixt = -—- pAc, cos2 уa • dx* sign (cos <pc). (11.25)

В соотношения (11.23) — (11.25) введен множитель

Sign (соь cpa)» позволяющий учесть применение знака проекций

QiX при значениях.

Окончательно можно получить компоненты полной аэроди­намической нагрузки, действующей иа единицу длины стержня (в базисе {iK}), равные сумме qnx.^qix}

Яах1=Ят sin <Pa (cos a—x[ COS <f>c) -- q[0 COS2 yaX\ (11.26)

QaXi = —qm sin 2faX2-j-qio cos2 <pax% (11.27)

Яахя—Я no sin <pa (sin a—x3 cos <pa) - j - 710 cos2 <pax3; (It.28)

Где fl'io=-|-cTprf©0 sign (cos ipe), (11.29)

COS<pa=x[ COS Ct - J - X3 Sin O.

Получим выражения для проекций аэродинамических сил в связанной системе координат. Так как проекция да на направле­ние вектора лj известна (зi), то остается определить q2 и дз - Так как

4n^2-‘Sr,~ei—'^iqX]lj, (11.30)

В единичные векторы базиса {ij} и {ёг} связаны соотношением

Ij= kxjex - j - *2/^2 H“ *3/^3» (11-31)

.го из ( 11.30) и (11.31) получим

Я 2= Яп. =ЗxMi+<7*а*22+^А<; ( 11 -32;

З'3=З'/2a==^i*3iHr^о*a2H_^3*33- (11.33)

Из выражений для q2 и ^з следует, что решение уравнений равновесия стержня в связанной системе координат требует знания элементов матрицы /(/г, р), которые весьма сложно опре­делить, поэтому в дальнейшем рассматриваются методы решения уравнений равновесия, записанные в неподвижной системе коор­динат.

Выражения для компонент аэродинамических сил (дпХ ) Цщ ) удобнее для дальнейших расчетов иметь в безразмерной форме записи.

Для стержня с конечной изгибной жесткостью при переходе к безразмерным уравнениям равновесия сил [см. (7.72) — (7.74)] исходное уравнение равновесия делилось на величину Лзз//3, имеющую размерность распределенной силы, поэтому аэродина­мические безразмерные распределенные силы

(П.34)

Переходя к остальным безразмерным величинам (полагая s=/е, х{=хг°1 и т. д), получаем следующие выражения для аэро­динамических сил в безразмерной форме (индекс нуль опущен) :

QXl ='qiо cos2 <f>a —~ qn(i sin уа ^cos u —cos cpcj ; (11.35)

Зxa=Зio coe2t(pa — qn0 sin 2'fa - Ф~ ; (11.36)

QXg = qio cos2 <?a +qn0 si-n ya ^ sin a------ cos, (11.37)

Где

, i с зv%d 1 Cn p V\d

Qio=^-~^~ Is sign (cos cpj, qn0=------------------ ——/3. (11.38)

При исследовании статики (и динамики) абсолютно гибких стержней при переходе к безразмерным уравнениям следует уравнения равновесия разделить па погонную силу тяжести стержня — пщ (так как значение Л33 для абсолютно гибкого - сіержня равно нулю). Для абсолютно гибких стержней безраз­мерные <7ю° и сіпо равны:

1 с рі с»

= ^=4-— - (11.39у