Фотоприемные устройства и ПЗС. Обнаружение сла­бых оптических сигналов

ОПТИМАЛЬНЫЙ ФИЛЬТР (АНАЛИЗ В ЧАСТОТНОЙ ФОРМЕ)

Целевая функция разработчика ФПУ определена — это мак­симизация отношения сигнал-шум Ыс/т на выходе канала {усилителя). Запишем выражение для отношения №с/т на вы­ходе усилителя и будем искать его максимум по всем входя­щим в него параметрам.

Расчет отношения сигнал-шум на выходе усилителя. Сигнал и шум на входе усилителя были описаны генераторами токов (2.10), (2.11), (2.137):

/с(/)=5£с0-=5£сд2?'*Єо(О, (3.25)

(3.26)

Зная эти входные спектры, частотную характеристику ко­эффициента передачи усилителя К21 (/) (§ 1.3), можно рассчи­тать спектры сигнала и шума на выходе усилителя:

У«(/)-Х.5£оа27,с4(/)єо(0,

УшШ=К,!2?/шА2(0Є(П.

Здесь ввели относительную частотную характеристику усили­теля пронормировав коэффициент КгЛ!) к его максималь­ному значению (значение в области плато) К0г так что К21 {!) —К0к(1). Отметим, что коэффициент кЦ) безразмерен, а коэффициент /Со имеет размерность сопротивления, так как на входе усилителя оперируем токами, а на его выходе — напря­жениями. Однако в ряде случаев удобней регистрировать на выходе линейного тракта и другие электрические величины: например, в накопителе удобней рассматривать заряд и раз­мерность коэффициента должна уточняться (§ 4.5).

Нас интересует значение сигнала в тот момент времени, когда он достигает максимума; складывая все гармоники, по­лучаем

(3.29)

Здесь “фс, 1ру— фазочастотные характеристики сигнала и усили­теля соответственно. Из этого выражения видно, что сигнал достигает максимума, когда все гармоники действуют в фазе и их амплитуды складываются. Следовательно, в момент /м к0* синусоиды под интегралом достигают своего максимального значения (единицы); следовательно, должно выполняться ус­ловие

Первое слагаемое —<»£м появляется в спектре тогда, когда импульс сдвинут по оси времени на величину гм (§ 2.1). Для радиотехники такое преобразование сигнала является стан­дартным: в усилитель может быть встроена линия задержки с произвольным временем задержки /м, она не изменяет ни формы сигнала, ни его амплитуды и не может повлиять на искомое отношение Л^с/ш. Принципиальное значение имеет вто­рой член —11)0'- при импульсе несимметричной формы, когда (см> § 2.1), усилитель обязан скомпенсировать фазовое рассогласование гармоник сигнала, тогда они в момент £м дружно складываются и именно тогда сигнал достигает своего максимально возможного значения:

Со

Иск=К^ЕсА2Т^к(/)ес(/)4/. (3.31)

О

Выборки выходного шума во все моменты времени одинако­вы и равны среднеквадратичному значению

= у К#2Ч1Ш у АЧЛ ® (/) <*/■ (3.32)

О

И для отношения сигнал-шум в момент получаем

2ГС 1 *(/) «с (/)<*/

Дгс/ш=7^-= гА ° 3.33

И* V2?/ш, Л?

У Г (/) е СУ)

* о

Постановка задачи оптимальной фильтрации. Нет нужды комментировать очевидную зависимость отношения Ыс/Ш от та­ких параметров ФП и ФПУ, как чувствительность 5 и плот­ность шума 2ц1т. Само собой разумеется, что надо повышать 5 и снижать 1Ш. Достижимые значения 5, /ш подробно рассматри­вались в § 1.2, 2.5. Было показано, что в современных ФПУ эти значения близки к предельным. Нет I ,жды анализировать зависимость Мс/т от амплитуды /?са*. как в любой линейной си­стеме, выходной сигнал и отношение Л^с/Ш линейно растут с ростом входного. Естественно, задача разработчика ФПУ — по­лучить требуемое значение Л/сдп при минимально возможной амплитуде оптического сигнала Еса. Другие параметры сигна­ла, входящие в (3.32), — его длительность Тс и спектр ес{!) — задаются разработчику ФПУ. В нашем распоряжении остается
только одна степень свободы — выбор относительной частотной характеристики усилителя £(/)• Перепишем выражение для от­ношения сигнал'шум (3.33) в следующем виде:

(3.34)

(3.35)

(3.36)

Здесь исА — относительная амплитуда выходного сигнала; /ш — эффективная полоса входного шума. Физический смысл введен­ных параметров понятен из их определения (3.35), (3.36). Так, относительная амплитуда исА определяется инерционностью усилителя: если он широкополосный, &(/) = 1, то спектр сигна­ла не искажается:

Со

ЙсА = 2ТС 5 е, (/) а/ = 2Т с - I.

О

Напомним, что интеграл здесь определяет эффективную полосу спектра сигнала (2.15). Если же полоса усилителя сопоставима с полосой спектра сигнала, то надо учитывать частотную зави­симость усиления к ([)<.! и, как следует из (3.35), амплитуда выходного сигнала «заваливается» из-за инерционности усили­теля (ЫСА<1).

Полоса /ш уже использовалась нами при расчете частоты ложных тревог (см. § 3.1). Напомним, что при белом шуме (0=1) формула (3.36) является общепринятым определением эффективной шумовой полосы усилителя. При таком поясне­нии^ становится ПОНЯТНЫМ физический СМЫСЛ множителя Мел/ ШЫ В (3.34): это отношение относительной амплитуды к квад­ратному корню из эффективной шумовой полосы. При очень широкой полосе усилителя, когда £(/) = 1, растет сигнал (Мса“*-!)» но увеличивается и шумовая полоса /ш, и, следова­тельно, шум. При узкой полосе усилителя выходные шумы па­дают, но падает и г^одной сигнал (Мса<С1). Можно ожидать (и это будет понятно ниже), что отношение N а/щ достигает максимума при некоторой оптимальной полосе усилителя, точ­нее, при оптимальной частотной характеристике &(/).

Таким образом, максимизация Ыс/Ш свелась к выбору опти­мальной функции к(1). Приходим к основной задаче теории об­наружения— задаче оптимальной фильтрации. Термин «филь­трация» точно отражает поставленную задачу: надо выбрать именно фильтр, его относительную частотную характеристику

К О) Сама абсолютная величина коэффициента передачи' Ко для обнаружения не имеет значения и в формулу для Агс/ш не входит: с ростом Ко в равной степени увеличивается и сиг­нал, и шум, так что их отношение остается постоянным. Ко­нечно, величина Ко должна быть достаточно большой, такой, чтобы не влияли помехи на выходе и обеспечивался необходи­мый уровень сигнала для срабатывания порогового устройства.

Отметим, что сопротивление и емкость входа ФПУ одновре­менно влияют и на шум /ш, и на частотную характеристику £(/). Параметры входной цепи надо выбирать прежде всего из условия минимального шума (§ 2.5), а требуемую характе­ристику формировать последующими каскадами, при необходи­мости используя частотную коррекцию, в том числе и обратные

Связи (см. § 1.3).

Оптимальный фильтр в случае белого шума. Найдем частот­ную характеристику оптимального фильтра по методике «от простого — к сложному». Начнем с простейших спектров сигна­ла и шума, переходя постепенно к более сложным, вплоть до произвольно заданных. Простейший случай представлен на рис. 3.5: спектр шума белый, сигнал гармонический частоты /ь точнее, почти гармонический — с постоянной спектральной плотностью в узкой полосе (Д/с<СА)- Естественно, усиление должно быть на частоте сигнала /1. Если полоса усилителя уз­кая, Д/у-СД/с (рис. 3.5, а, в), то получим

Д/,<д/с, ЛГСШ)~<*>”УЩ - (3.38)

Т /ш V *1 Д/у

Поскольку сигнал на выходе фильтра растет пропорционально Д/у, а шум —пропорционально у д/у, то их отношение увели­чивается как УД/у до тех пор, пока полоса усилителя не превысит полосу сигнала. При Д/У>Д/С сигнал уже не растет с ростом полосы усилителя, а возрастает только шум, поэтому отношение Л7С/Ш уменьшается. Отсюда следует, что полосы на­до выбирать равными, Д/У=Д/С (рис. 3.5, г, д).

Усложним задачу; дополним спектр сигнала второй часто - т°й /2, так что он теперь состоит из двух узких — пусть рав­ных — полос Д/с на частотах /1 и /2 разной спектральной плот­ности есЬ ес2 (рис. 3.6, а, б). Рассуждая по аналогии с первым случаем, находим, что полоса усиления должна соответство­вать полосе сигнала Д/У = Д/С. Обозначая коэффициенты усиле­ния на частотах и /2 соответственно к и £2, получаем

А 1^01 А/у "Ь ^2^С2 А/У 1+&г£с2

У-м2гд/у УШ?

Так как &([) и ес(/)—относительные характеристики, то для простоты расчетов их значения на частоте /1 выбраны единич-

II* 163

<*) П

есг=Ь«=і.

Ф

Рис. 3.6. Частотная. характеристи­ка оптимального фильтра обяза­на повторять спектр сигнала

Рис. 3.5. При узкополосном сигнале ( полоса оптимального фильтра равна Полосе сигнала:

А—спектр почти гармонического сигнала; , б—спектр белого шума; в — узкая поло­

Ва усилителя; е — оптимальная полоса усилителя; д — широкая полоса усилителя

Ными, &1 = 1, ес1=1. Найдем производную от полученного отно­шения (ее числитель):

Ли,

Ёкг Єс2 У 1 + &22 — (1 + &2ЄС2)

Простой подстановкой нетрудно проверить, что производная *ДОс/ш/<&2 обращается в нуль при к%=ес2. Таким образом,

^1 = еС1 = 1, к2 = еС2. (3.41)

Эта простая выкладка позволяет сделать важный вывод: опти­мальный фильтр — такой, при котором отношение Л^с/ш мини­мизируется — существует. Усиление на частоте такого опти­мального фильтра пропорционально спектральной плотности сигнала еС2 на этой частоте.

И опять усложним задачу — рассмотрим спектр сигнала, ко­торый содержит не две, а п узких равных полос Д^с на часто­тах /ь 12, Н’ • ■ • ' ^п со спектральными плотностями еси е? с2,

£сз> • • • > (рис. 3.6, в). По аналогии с (3.41) можно ожидать,

Что усиление на каждой частоте должно быть пропорционально спектральной плотности сигнала:

= £С], ^2 = &3~ ^сЗ> ■ ■ * 1 К — 6сп - (3.42)

И действительно, обобщив уравнение (3.39) на рассматрива­емый случай:

^ "I - ^г^са "Ь ^з^сз

У & “Г А а2 — . . . кп

И найдя частные производные

^Et„Vk^+k^ + k^+.. . kj -

Dkn

— (^l^cl 4'^2^с2Ч_^З^сзЧ_ • • •

У. kn - —. (3.44)

У kS + k^ + k* + .,.kn>

Видим, что они обращаются в нуль при выполнении усло­вия (3.42).

Выражения (3.42) практически уже представляют собой, частотную характеристику оптимального фильтра для сигнала произвольной формы. Пусть задан произвольный спектр ec(f). Его можно аппроксимировать рассмотренным «полосатым» спектром, состоящим из п полос (рис. 3.6,г). При n-*-оо, Afc->-О «полосатый» спектр в пределе совпадает с заданным спектром ec(f) (рис, 3.6, д), так что формулы (3.42) в пределе (при п^оо и Л/с-^0) приводят к выражению

K(f) = ec(f). (3.45)

Полученная теорема относится к числу основных теорем теории обнаружения. Она удивительно проста: при белом шуме относительная амплитудно-частотная х а р а к ' теристика оптимального фильтра полностью повторяет относительный амплитудный спектр сигнала. Действительно, зачем усиливать на тех частотах, где нет сигнала, ведь здесь можно усилить только шум, поэто­му в этой области частот £(П=ес(/)=0. На частотах, где боль­ше спектральная плотность сигнала, должно быть и выше уси­ление. Теорема представляется совершенно очевидной. Но такое понимание пришло после публикации в 1943 г. Нортом ра­боты по оптимальной фильтрации [77]. В те годы теория опти­мальной фильтрации интенсивно развивалась применительно к задачам радиолокации. Позднее она была использована и для обнаружения оптических сигналов.

/И/-!-

&Г ~

VW

Et(/) —

8kf~1

Рис. 3.7, К выводу частотной характеристики опти­мального фильтра при произвольном спектре шума

Оптимальный фильтр в случае небелого шума. Полученная теорема легко обобщается для небелого шума. Для этого было предложено использовать такой остроумный прием — разделить усилитель на два последовательных каскада с усилением kj и Ап соответственно (рис. 3.7). Затем коэффициент усиления пер­вого каскада fei подбирается так, чтобы «выбелить» шум на его выходе. Для этого надо положить Аг= 1/у Щ/)~, тогда ©(/) k = . Теперь на выходе первого каскада имеем белый шум и спектр сигнала ec(f)k (/)^ec(/)/V ©(/) • Но при белом шуме правило выбора оптимального фильтра нами только что получено. Пусть таким фильтром будет второй каскад — его частотная характеристика должна в точности повторять спектр сигнала на его входе, кц = ес(f)/V&(f) Обш, ее усиление двух каскадов

K(f) = kkn^- ,-L___ (3.46)

V 0(0 veto

Таким образом, получен коэффициент передачи оптимально­го фильтра при произвольных спектрах сигнала и шума. Физи­ческая интерпретация модифицированной формулы для опти­мального фильтра также проста: на тех частотах, где шумы

Больше, их надо подавлять, понижая усиление, хотя бы и за счет снижения сигнала.

Часто для коэффициента передачи используют запись в комплексной форме. С учетом полученных выражений для мо­дуля (3.46) и фазы (3.30) можно записать [78]

К2] = ДГ21 ехр Уфу -|- /Со exp ( — /(цtu — Уфс) —

= /Со ехр ( — ехр (— Уфс),

К2]~ес* (/)/©(/). (3.47)

Последнее выражение говорит о том, что комплексная частот­ная характеристика оптимального фильтра с точностью Д° постоянного множителя (постоянного по модулю) равна комп­лексно-сопряженному спектру сигнала, деленному на спектр шума.

Подведем итог. Существует такая частотная характерИстика УСН-,ИТ01Я__ оптимального фильтра, при которой отношение сигна^щ максимально При белом шуме частотная характеристика оптимального <Ь ностью до множителя повторяет спектр сигнала (при неси им Т^а с т°ч" ле указанные характеристики комплексно-сопряжены) МетРичном сигна - спектре шума 0(/) частотная характеристика оптималнього^фи^ь011380^1101* нительно уменьшается на каждой частоте обратно пропорционально*©^'.