Фотоприемные устройства и ПЗС. Обнаружение сла­бых оптических сигналов

Основы теории оптимальной фильтрации в приложении к фотоприемным устройствам ПРИНЯТИЕ РЕШЕНИЯ О НАЛИЧИИ ИЛИ ОТСУТСТВИИ СИГНАЛА

Предыдущим параграфом завершается анализ прохожде­ния сигнала через линейный тракт ФПУ, рассмотрение шумов этого тракта. Были приведены формулы для расчета напряже­ния на выходе усилителя — напряжения шума либо шума в смеси с сигналом (если сигнал приходит на вход ФПУ).

Зная напряжение на выходе каждого канала, можно теперь перейти к задаче собственно обнаружения, ответить на основ­ной вопрос, ради которого и создается ФПУ: пришел оптиче­ский сигнал на его вход или нет? Рассмотрим круг вопросов, связанных с этим решением: с помощью какого правила при­нимается такое решение? Насколько оно будет достоверно?

Принятие решения о наличии или отсутствии сигнала. В оптико-электронных системах допустимы только два конкрет-* ных решения: «сигнал есть» и «сигнала нет». И возможны только две ситуации — сигнал пришел либо не пришел на вход ФПУ. В каждой из этой ситуации система может принять лю­бое из указанных решений — «сигнал есть» либо «сигнала нет», так что возникают четыре комбинации.

1. Сигнал не пришел. Решение — «сигнала нет». Принято Правильное решение об отсутствии сигнала.

2. Сигнал не пришел. Решение — «сигнал есть». Это оши­бочное решение называют ложной тревогой (ошибка первого рода).

3. Сигнал пришел. Решение — «сигнала нет». Это — ошибка второго рода или пропуск сигнала (цели).

4. Сигнал пришел. Решение — «сигнал есть». Принято пра­вильное решение о наличии сигнала.

В качестве количественной характеристики вводят вероят­
ности указанных ошибок — вероятность ложной тревоги Рлт (вероятность принятия решения «сигнал есть», если априори известно, что сигнала нет) и вероятность пропуска Рир (веро­ятность принятия решения «сигнала нет», если априори извест­но, что сигнал есть) [4, 75]. Тогда вероятности принятия пра­вильных решений об отсутствии сигнала или его наличии соот­ветственно равны (1—РЛт) и (1—Япр). Введенные величины Рлт и Рдр являются важнейшими характеристиками системы обнаружения: чем меньше значения Рлт, Рщ,, тем качественнее система, достовернее ее решения.

Правило принятия решения. В качестве решающего в систе­мах обнаружения применяется пороговое устройство (дискри­минатор). Смесь сигнала с шумом данного канала подают на вход этого устройства. Пусть момент прихода оптического им­пульса на ФПУ априори известен, тогда известен и момент tu—момент достижения сигналом на выходе усилителя (на входе решающего устройства) своего максимального значения. В этот выгодный момент и принимается решение о наличии или отсутствии сигнала. Алгоритм работы дискриминатора весьма простой: если поданное на него напряжение U{tu) превышает некоторый заданный пороговый уровень (порог срабатывания) f/nop, принимается решение «сигнал есть», если U(t№) ниже по­рога Unoр, принимается решение «сигнала нет»:

U(tK) <.UU0V, решение—«сигнала нет», *

(ЗЛ)

U (^м)^^пор, решение — «сигнал есть».

Вероятность ложной трево­ги. Согласно определению ве­роятность РЛт рассчитывается, когда сигнал отсутствует и на вход дискриминатора подается реализация шума (рис. 3.1,а). Причиной ложного срабаты­вания в этом случае стано­вится шумовой импульс, если в момент принятия решения /м шум £/(/*) превышает зна­чение порога срабатывания С/пор. Вероятность этого собы­тия легко подсчитать. Вероят­ность того, что в момент U напряжение шума лежит в

Рис. 3.1. Ложная тревога при боль­шом положительном выбросе шума (а) и расчет вероятности ложной тревоги (б—в)

Пределах и.-'У^г^и, обозначим р(£/)*Ш; она задается нор* мальным законом (2.65) (рис. 3.1,6); в нашем

Случае о2= £/ш2,

Иа=У От2 (возможные в ФПУ отступления от нормального закона рассматриваются в § 4.3, 4.4). Поскольку при всех зна­чениях и^Оио? принимается решение о наличии сигнала, то надо найти вероятность того, что и лежит в области [£/ПОр...

Оо], т. е. проинтегрировать в соответствующих пределах функцию р(Ш:

ОО ОО

Ипор г/— ш /

ОО

-П ] ехр[-ЫУ!

'пор

^пор^2

Решение этого интеграла находится с помощью функции ошибок Ф(г):

ОО ^ПОр IУ2

-J$exp(—x2)dx— у== j ехр(—x?)dx

= М 1-ф(ж)]; " (3-2б)

Z

Ф(2) = ? ехр ( — X2) (&С, 4Цоо)'=S I.

^ о •• ■

Функция ошибок является одной из самых известных специ­альных функций, часто встречающихся в статистике, анализе явлений диффузии и других разделах физики. Ее таблицы при­ведены, например, в [76].

Зависимость вероятности ложной тревоги от порога сраба­тывания иллюстрируется рис. 3.1, в и табл. 3.1. Здесь прояв­ляется удивительное свойство нормального закона: вероятность появления малых значений U — не более (1...2) Um — велика и относительно слабо падает с ростом U, зато большие зна­чения U>3Um маловероятны, зависимость р(£/) при таких

Больших напряжениях шума становится черзвычайно рез­кой— спадает с ростом V сильнее экспоненты. Иными словами, реализация 6фм) как бы «сконцентрирована» в узком

1/~—2*

Диапазоне значений порядка ±2 V С/ш> шумовые выбросы за пределы этого диапазона чрезвычайно редки. Заметим, что на этом свойстве нормального закона основана известная прибли­женная методика оценки среднеквадратичного значения шума

УЖ по осциллографу: на экране прочерчивается ряд реа­лизаций с вероятными выбросами в пределах + (2...3) и наблюдается шумовая дорожка шириной (двойным размахом)

И^4...бУ £/щ. По ширине дорожки рассчитывается шум,

V Ьт2т /(4 ... 6). В этом контексте напряжение шума

У иш не просто статистическая характеристика (среднеквад­ратичное значение). В это понятие как бы вкладывается пря­мое содержание термина. Действительно, для детерминирован - ной гармоники ее среднеквадратичное (во времени) значение

У и2т характеризует пределы, в которых эта величина ко­леблется (в пределах ± У 2£/щ ). Для случайной величины (нормального шума) получили полную аналогию с детерминиро­ванной: вероятные значения шума сосредоточены почти в тех

Же пределах порядка ±2У и2т.

Указанная особенность нормального закона — слабая зави­симость р(и) при малых значениях V и сильное падение р(^) при больших II — еще более подчеркивается в функции оши­бок и, следовательно, в приведенной зависимости РЛт(£Агор)* При пороге ипор—0 вероятность Рлт = 0,5, так как положитель­ные и отрицательные выбросы шума равновероятны. При изме­нении иао1)/иш от 0 до 1 вероятность Рлт падает относительно мало, от 0,5 до 0,159. Но уже при порогах срабатывания £Аюр= (2 ... 3) ит вероятность РЛТ становится достаточно малой, 2(10-2,.. 10_3), и очень резко спадает с ростом повыше­

Ние и по р/^ш всего на единицу приводит здесь к уменьшению
р примерно на два порядка. Это легко показать с помощью ппиб тижения для вероятности Рлт, справедливого При больших значениях порога срабатывания. Перепишем (3.2, а) в виде

(3.3)

Преобразуем показатель подынтегральной экакдаенты:

TOC o "1-5" h z Ц'-иІр (^-^п. р)^+^ор) ' .; '

2и‘ш 2 С/‘

А и (2 ипор + Ш)

^пор

■Щ-Ш, &и = и~и„ор. (3.4)

2£^ и1

Здесь введено приращение над порогом АС/ и учтено, что в рассматриваемом случае больших порогов (£/Пор>3£/ш) экспо­нента падает быстро в пределах малых приращений А(/<(/ПОрт поэтому (3.3) принимает вид

* ^ехр(-^). (3.5)

У ЪМ2Ш пор У^л^пор V 21/^1

Раскладывая в ряд функцию ошибок в (3.2,6), также при­дем к последнему выражению (3.5). Полученное приближение очень удобно для практических расчетов Рлт(^шр)- Так, из этой формулы следует, что благодаря сильной зависимости РЛт °т порога срабатывания (практически по нормальному закону) этот самый порог может выбираться в относительно узком ин­тервале ипор= (3 *.. 6) иш. При столь малом изменении порога {всего в два раза) вероятность ложной тревоги уменьшается

Чрезвычайно резко (на шесть порядков) и перекрывает весь диапазон значений этого параметра, требуемый обычно в оп­тико-электронных системах*.

Шающее устройство примет ошибочное решение «сигнала нет* (пропуск дели), рис. 3.2, б.

Вероятность пропуска цели рассчитывается по аналогии с предыдущим случаем. Поскольку априори известно, что в мо­мент tu сигнал равен амплитудному значению UcA, то вероят­ность получить суммарное напряжение смесн сигнала с шумом и=*иса+£Лп(*м) равна вероятности получить шум £/ш(*м) = = [U—С/са)’

Р (С/) cff/——=~"бхр [ (£/ Ј/cAp/2Ј/inJ. (3.7^

При всех значениях С/ < £/пор решающее устройство ошибется — пропустит цель, так что

DU
Пор
(^cA-^nop	Щ

Как видим, при расчете РЛт и Рпр приходим к идентичным ин­тегралам, отличающимся только нижним пределом (ср. с ■(3.2а)). Поэтому формула для РПр следует из формулы для - Рдт простой заменой иПОр-^иса—Упор:

-®(Uch-Un0Sl)lV2U,

(3.8)

Естественно, при больших аргументах остается справедливой аппроксимация (3.5), если, конечно, провести ту же замену Утр-ь-УсА—Опоу'

(^сА—^пор)'

2Ul

Зависимости р(У), Рдр (Упор) приведены на рис. 3.2,в, г. При сравнении их с рис. 3.1 (а также при сравнении формул (3.8), ,(3.9) и (3.2), (3.5)) видна очевидная аналогия функций Рлт(ипор), Рпр(1/»ор). кривые р(С/) сдвинуты относительно Друг Друга на величину амплитуды С/са- максимум первой из них ДОСТИГаеТСЯ ПрН итаУ< = 0 (СМ. рИС. 3.1), а ВТОРОЙ — При С/тах =

= £/сА (рис. 3.2). Вероятности Рлт> ^пр представляют площадь под кривой р(£/), точнее, площадь «хворта» этой кривой д0 значеняи ипор:

(3.10)

Функции Рдт, Рпр можно рассматривать как интегральную ве­роятность для всех значений [£Люр, °о] и [—оо, С/аоР] соответ­ственно. Из (ЗЛО) следует, что все сказанное о характере по­ведения Рдтфвоъ) ■ остается справедливым и для функции

Рпр ( ^пор) .

Отношение сигнал-шум как основной критерий качества си­стемы наблюдения. Перенесем на рис. 3.3,а, б обе кривые Ячт(и), РПр{и). Из рисунка видно, что для уменьшения веро­ятности Рлт порог £Люр должен как можно дальше отстоять ог шума £/ш, а для уменьшения вероятности Рпр — сигнал £/сА от порога ипор. Отсюда следует одно из важнейших положений теории обнаружения:

Основной характеристикой качества обнару­жителя является отношение сигнал-шум (на входе решающего устройства), Л^/ш = Уса/^ш.

Комментарии здесь излишни. Каждому разработчику обна­ружителей сигналов (и не только оптических) известно, что от­ношение сигнал-шум надо увеличивать. Само собой кажется понятным, что чем больше превышение сигнала над помехой, которая мешает его зарегистрировать, тем надежнее обнару-

Жится сигнал. Отношение Ыс/ш уже использовалось, , когда рассматривалось внутреннее усиление ФП (§ 1.2). Здесь отношение Л^с/ш как критерий

Качества получено не из об­

Щих соображений: с помощью формул (3.2), (3.8) его значе­ние однозначно связывается с вероятностями ложной трево­ги и пропуска целй.

Выбор порога срабатыва­ния. Требуемые значения отно­шения сигнал-шум. Как было показано, порог срабатывания выбирается обычно в пределах £/поР=(3...6 )£/ш (3.6). Те-

Перь к ЭТОМУ можно добавить, что положение £/пор на отрез­ке [t/ш, ^са] уточняется в зависимости от того, какая ошибка нежелательней: если опаснее ложная тревога, то значение Unop выбирают дальше от значения шума (Ли, а если пропуск цели, то ближе к нему (дальше от сигнала). В ряде случаев цена ошибок одинакова — равно нежелательны как ложные сраба­тывания, так и пропуск цели. Это относится, например, к ВО СП, где нельзя принимать логический нуль за логическую единицу (ложное срабатывание) и, наоборот, логическую единицу за логический нуль (пропуск сигнала). в этом случае минимизируют суммарную вероятность ошибки (3.2), (3.8)

{10, 38]:

О--»,+л.->-тИ$0+«(£7тоН - |зп|

Суммарная ошибка как функция порога срабатывания пред­ставлена на рис. 3.3, г. Из рисунка видно, что минимум ошибки достигается при таком пороге Uaopopt, когда вероятности лож­ной тревоги и пропуска цели равны: при L/nop> С/ИОр opt вероят­ность Рпр возрастает круче, чем падает вероятность Рлт, а при /Лшр<£Лор opt возрастание Рлт преобладает над снижением РПр. Из (3.2), (3.8) следует, что вероятности Рлт, Рар сравнивают­ся, когда порог равен половине амплитуды выходного сигнала:

(3.12)

U„„p/V2l/ ш=(f/сл - £/„«*)/V2Ua, Um „ = U *12.

Таким образом

^пор 0pt= Uca/2, min Рош=2Рпр(^пор opt) =2Рдт (^пор opt)

= —<S>{UcjJ2i2Um). (3.13)

К этим же формулам мы придем, если приравняем нулю произ­водную ошибки (3.11).

В ВОСП недопустимы искажения передаваемой информа­ции, требования к вероятностям ошибок особенно жесткие,

Дш=10~9, рЛТ = рпр=5> Ю-10 [10, 38]. при этом согласно (3.2), (3.12)

Опор = 6,Шш, исА = 2 и Пор = 12,2 иш. (3.14)

Для других оптико-электронных систем требования К Рот, ^лт, Рпр обычно менее жесткие. С учетом сказанного имеем

^nopДJ (3...6) £Ли, UcA «2С/аоР=;(6...12)£/ш. (3.15)

Эти значения порога срабатывания и требуемого отношения сигнал-шум можно считать типовыми для оптико-электронных

Систем.

Частота ложных тревог. До сих пор рассматривался случай когда момент прихода импульса известен, так что известен и момент достижения им своего максимального значения на выходе усилителя, поэтому решающее устройство могло ВКЛЮ­ЧИТЬСЯ именно в этот момент. Однако далеко не всегда мо­мент прихода известен. Известен лишь некоторый достаточно широкий интервал времени — интервал наблюдения Т, импульс может прийти в любой момент этого интервала (рис. 3.4,а). Тогда решающее пороговое устройство включают на все вре­мя Т. При расчете вероятности пропуска цели все предыдущие рассуждения остаются в силе: причиной пропуска является все тот же возможный отрицательный шумовой выброс в момент *м» когда выходной сигнал достигает максимального значения; вероятность получить этот шумовой выброс амплитуды I У1 > I Уса—Упор) и определяет вероятность Япр.

Однако ложную тревогу теперь может вызвать не только шумовой импульс в момент ^м» но и любой такой импульс на интервале 7 На рис. 3.4, б приведена реализация с четырьмя шумовыми импульсами, вызывающими ложную тревогу. Надо подсчитать число всех таких импульсов Ылт. Поскольку это число зависит от интервала наблюдения, то вводится относи­тельная характеристика — частота ложных тревог:

Глт = ЛГлт/7 (3.16)

Частота ложных тревог, определяющая число шумовых импуль­сов в единицу времени, и является характеристикой обнару-

Жителя в этом случае (конечно, имеются В ВИДУ Апттктпи* пульсы амплитудой и>ипор).

В § 2.2 специально столь подробно был рассмотрен шумо вой процесс и было показано, что качественно шумовая ПРЯ!! .зация может аппроксимироваться последовательное^ сов (рис. 3.4.в). Длительность этих шумовых импульсов равна времени корреляции тКОр. Время корреляции ткоо олое* АеЛЯЛОСЬ ВЫШе КаК Эффективная ДЛИтеЛЬНОСТЬ ФУНКНиГ*пппГ ляции К(М)- Спектр функции КШ), как б^ло показано есть спектральная плотность шума. Если известна зффекти™*« полоса этого спектра (назовем ее шумовой полосой М ™ известно и время корреляции, и эффективная длительноЛь мового импульса тш = тК0Р = 1/2/ш (такая связь длительности" ямпульса в данном случае функции К(М) - с его спектром была доказана в § 2.1). ^им

Аппроксимация реализации шума импульсной последова­тельностью (рис. 3.3,8) поможет рассчитать частоту ложной тревоги. Как видно из рисунка, общее число шумовых выбво - СОВ В единицу Времени

FлT Общ 1 /Тщ 4 2^^ |

?ДбааКт0ывТания°г7аСТЬа И3 "НХ пРев0СЗ[°Дит ™ амплитуде порог

Сраоатывания ипор; эта часть уже была рассчитана (3 5)

Оц°Энку‘У ДЛЯ частоты ложных тревог получим следующую

Д "I------------ '

Шуму приняты ее типовые значения согласно (3.15). Форму­ла (3.18) переписывается следующим образом:

У ят— /хар 6Хр ( ■ ипор12иш]'

Вероятность ложной тревоги за весь выбранный интервал непрерывного наблюдения Т согласно (3.16) равна

Здесь для /лт использовано выражение (3.18), в котором про­ведена замена 2/ш-*1/тш. Сопоставим теперь (3.21) с вероят - ностью ложной тревоги (3.5), когда момент прихода сигнала был известен и поэтому достаточно было взять одну выборку Шум сохраняет свое значение в течение тш = тКор, так что За все время Т, пока включено пороговое устройство, берем ТЫ кор разных отсчетов шума. Вот поэтому в Т'/ткор раз и уве­личилась вероятность (число) ложных тревог (ср. (3.5) и (3-21)).

Для точного расчета /л г в статистической радиотехнике ис­пользуют двумерное распределение вероятности для двух слу­чайных величин—значения шума иш и его производной С/ш Ложную Тревогу в момент получают, когда С/Ш(*м)

И ^щ'(/лт)>0 (рис. 3.4,6). Такая методика приводит к выра­жению [52]

/.т;' ~ /хзр ехр ( У пор/2£/ ш),

(3.22>

Где ©вых(/) —относительный спектр шума на выходе. При бе­лом входном спектре (0=1) спектр шума на выходе 0вых определяется частотной характеристикой усилителя, что выте­кает из (2.42) — (2.44). Рассчитаем частоту /*ар для простей­шего случая — усилителя с прямоугольной полосой пропу­скания:

/</>-> *</)=!; />/г *(/)=0; /у=/ш;

(3.23>

В § 4.1 будем рассматривать частотные характеристики реаль­ных усилителей ФПУ, формируемых /?С-звеньями. Характери­стическая частота ложных тревог таких усилителей /хар~/ш = = ±30%.

Сопоставление полученных выражений — приближенного (3.19), (3.20) и точного (3.22) —показывает, что они совпада­ют в рассмотренных примерах с точностью до множителя:

0, 58/(0,13 . .. 0,26) =2,2 .. . 4,4.

Заметим, что этот множитель не имеет решающего значе­
ния* уж очень резкая зависимость частоты ложных тревог от порога Упор, так чт0 незначительное увеличение порога (на б 23%) позволяет снизить частоту на порядок:

(3.24)

Отсюда вытекает и другой важный вывод: ложная тревога на интервале наблюдений Т, как и при единичной выборке, зави­сит прежде всего от выбранного порога — соотношения UaQp}'Umi и в значительно меньшей степени от частоты /хар.

Подведем итог. Чтобы принять решение о наличии или отсутствии сиг­нала, смесь сигнала с шумом с выхода линейного тракта необходимо по­дать яа решающее (пороговое) устройство. Если поданное напряжение превышает некоторый порог срабатывания (Лор, это устройство принимает решение «сигнал есть». Выбросы шума приводят к ошибкам. Когда шумо­вой выброс больше [/пар, то даже в отсутствие сигнала принимается реше­ние «сигнал есть». Это ошибочное решение называют ложной тревогой.. Вольтой отрицательный выброс, накладываясь на сигнал, может умень­шить напряжение ниже уровня порога срабатывания — тогда принимается ошибочное решение «сигнала нет» (пропуск цели). Вероятности ложной, тревоги Рлт и пропуска цели Рл? относятся к основным критериям качест­ва обнаружителя. Чем больше отношение напряжения порога срабатыва­ния к шуму и„ov/Um, тем меньше вероятность Рлт, чем больше отношение - сигнала (его амплитуды) К порогу UCA. lUnop, тем меньше вероятность Рпр. Так приходим к основной задаче разработки ФПУ — максимизации отно­шения сигнал-шум Uca/U^i.

В оптико-электронных системах вероятности ошибок Рлт, Рпр, как пра­вило, не должны превышать значений 10-3... 10~9, что обеспечивается при... 12 и £/ИОр== (3 ... 6)t/ш - Как видим, вариация отношений Uca/Uh,, UnopJUm в ФПУ относительно мала—это объясняется очень рез­кой зависимостью вероятностей РЛт, Рпр от указанных отношений.

Когда момент возможного прихода сигнала точно известен, то достаточ­но взять один отсчет в момент достижения сигналом своего максимума. Ес­ли же момент прихода сигнала заранее не известен и он может прийти в любой момент временного интервала Т, то в течение Т приходится брать - Tlx кор отсчетов (ткор — время корреляции), поэтому вероятность возрастает в это же число раз Г/ткор. Чтобы исключить зависимость от интервала Т, чис­ло шумовых выбросов NaT относят к единице времени — вводят частоту ложных тревог ?дт=Л^лт/Г=Рлт/7’.