Физическая оптика

Поляризация света

Поперечностъ световой волны. Состояния поляризации плоской гармониче­ской волны. Эллиптическая, круговая, линейная поляризации. Немонохрома­тический свет. Естественная поляризация. Экспериментальные методы из­мерения поляризации.

Вводится понятие поляризации световой волны. Рассматриваются состоя­ния поляризации гармонической волны, а также немонохроматического света. Излагаются основы теории и экспериментальные методы измерения поляриза­ции.

Поперечность световой волны. Формулы (1.10), (1.13) описывают пове­дение произвольной компоненты вектора Е или Н в плоской световой волне. Информация, которую можно получить о плоской световой волне из уравне­ний Максвелла, этим, однако, не исчерпывается. Пользуясь уравнениями (1.2)— (1.5), можно определить соотношения между направлениями и величинами век­торов Е тіЙ.

Рассмотрим плоскую световую волну, распространяющуюся вдоль оси г. В такой волне Е = E(z, t), Н = H(z, t). Покажем, что данная волна является поперечной, т. е. компоненты полей в направлении распространения волны от­сутствуют: Ez = Hz = 0. Действительно, из уравнения (1.4) следует, что

дЕх дЕу dEz

Поскольку в рассматриваемой волне дЕх/дх = дЕу/ду = 0, то и dEz/dz = 0, т. е. компонента Ez не меняется в пространстве. Выписав уравнение для z-й компоненты ротора вектора Н, получим

. +|?. дНу дНх 1 dEz (го tH)z = —Z

дх ду с dt

Так как дНу/дх = дНх/ду = 0, то и dEz/dt = 0. Отсюда следует, что Ez есть константа, не зависящая ни от z, ни от t. Поскольку нас интересуют бы­стропеременные поля, ее следует положить равной нулю. Аналогичный вывод можно сделать относительно продольной компоненты магнитного поля Hz. Та­ким образом, в плоской электромагнитной волне, распространяющейся в сво­бодном пространстве вдоль оси z, отличны от нуля компоненты Ех, Еу и Нх, Ну, а Ег = Нг = 0.

Уравнения Максвелла позволяют найти связь между величинами векторов ІиЯв световой волне. Из уравнений (1.2), (1.3) имеем

, дЕх 1 дНу

(2Л)

дну _ і дЕх

dz с dt

Подобным образом устанавливаем взаимосвязь компонент Еу и Нх

дЕу = іднх днх = і дЕу

дг с dt ’ дг с dt

Уравнения (2.1), (2.2) описывают две независимые плоские световые волны. Обе волны распространяются вдоль оси г, одна из них характеризуется взаимно ортогональными компонентами поля Ех, Ну, а другая — компонентами Еу, Нх.

Плоская гармоническая волна. Рассмотрим плоскую световую вол­ну с конфигурацией поля “Ех, Ну". Положим

Ех = Acos(ut — kz), k — ujjc. (2.3)

Пользуясь формулами (2.1), (2.3), нетрудно показать, что

дНу=_дЕх=дЕх дНу _ 1дЕх _ дЕх

dt дг dt ’ дг с dt дг

Отсюда следует, что поля Ех и Ну могут отличаться лишь на константу. Но световое поле не содержит постоянной составляющей, поэтому

Ех = Ну = Acos(ut - kz). (2.4)

Таким образом, в плоской гармонической световой волне типа “Ех, Ну” обе компоненты поля меняются синфазно по гармоническому закону (рис. 2.1). Подобным образом для волны “Еу, Нх” получаем

- Еу = Нх = Acos(wt - kz). (2.5)

Состояния поляризации плоской гармонической волны. Эллипти­ческая, круговая, линейная поляризации. Две найденные нами попереч­ные волны Ех, Ну и Еу, Нх отличаются друг от друга направлениями векторов Е и Н, т. е. направлением поляризации. Волны, описываемые уравнениями (2.1)—(2.5), называются линейно поляризованными, так как при фиксирован­ном значении z конец вектора Е движется по прямой линии. Направление или вектор поляризации волны условимся связывать с направлением вектора Е. Введем также плоскость поляризации, определив ее как плоскость, в которой лежат вектор Е и единичный вектор z0, характеризующий направление рас­пространения волны. Линейно поляризованные волны будем называть также плоско поляризованными.

Предпочтение, которое отдается вектору напряженности электрического по­ля при формулировке этих понятий, есть прежде всего вопрос определения. “Световыми векторами” в равной мере являются векторы £ и Я. Заметим, однако, что если говорить о взаимодействии света с веществом, то опреде­ленный приоритет должен быть отдан вектору Е. Это связано с тем, что си­ла, действующая со стороны светового поля на электрический заряд, равна

F = еЁ + (е/с) |у, , и при v/c С 1 действие магнитного поля много слабее,

нежели действие электрического.

Каждая из волн Ех, Ну и Еу, Нх удовлетворяет волновому уравнению. Удо­влетворяет ему, очевидно, и сумма этих волн. В этом состоит одно из проявле­ний принципа суперпозиции для световых волн в вакууме. В общем случае у плоской гармонической волны отличны от нуля обе компоненты Ех, Еу, а вектор электрического поля имеет вид

E(t, z) = £0Ex(t, z) + y0Ey(t, z). (2.6)

Рассмотрим плоскую волну, компоненты электрического поля которой из­меняются по гармоническому закону

Ex(t, z) = Ai cos(ut - kz + <pi), Ey(t, z) = A2Cos(ujt - hz + (рї). (2.7)

Найдем уравнение траектории, по которой движется конец вектора Е в плос­кости z = const. Для этого введем вспомогательное обозначение т = cjt — kz и

преобразуем выражения (2.7) следующим образом:

Ех (t, z) = А і (cos т cos ifi — sin r sin ірі),

Ey(t, z) = Аг (cos t cos </>2 — sin т sin 1^2) •

Отсюда

Де . Ev .

— sin y>2 —“ sin ip — COSTSin(¥)2 — ¥>1),

Ai Аг

Ex Ey.

-r - cos^2 —-f - cos<pi = sm r sm(<p2 — y? i).

Ai Ai

Возводя в квадрат правые и левые части этих уравнений и складывая, найдем

О

о

© +© -2^cos(^-^) = sin2(V32-(p1). (2.8)

Уравнение (2.8) является уравнением эллипса. Эллипс вписан в прямо­угольник, стороны которого параллельны осям х, у и имеют длины 2А и 2А2 (рис. 2.2, а). Итак, в общем случае при распространении плоской монохрома­тической световой волны конец вектора Е в плоскости z = const описывает эллипс. Аналогично ведет себя и вектор напряженности магнитного поля. Та­кая волна называется эллиптически поляризованной.

Двигаясь по эллипсу в плоскости z = const, конец вектора Е может вра­щаться по часовой или против часовой стрелки. Для того чтобы различить эти два состояния, в оптике вводят понятия правой поляризации (для наблюдате­ля, смотрящего навстречу световому лучу, вращение вектора Е происходит по

часовой стрелке) и левой поляризации (вращение вектора Ё в противополож­ном направлении). Покажем, что направление вращения вектора Ё зависит от знака разности фаз р = ірі — Ч>- Выберем момент времени to, для которого uito — kz + <pi = 0. В этот момент, согласно формулам (2.7),

Ех {to, z) = Ai, Ёу (t0, z) = - шА2 sin p. (2.9)

Здесь точка над буквой обозначает дифференцирование по времени, т. е. dEy/dt. Из формул (2.9) видно, что в тот момент, когда конец вектора Ё

Е

достигает крайней правой точки своей траектории (рис. 2.2, а), имеем Ёу < 0, если 0 < р < 7Г, и Ёу > 0, если -7Г < ip < 0. Очевидно, что первый из этих слу­чаев соответствует право поляризованной волне, а второй — лево поляризо­ванной. Рассмотрим теперь частные случаи.

Линейная поляризация. Если разность фаз ір = <рг — Щ — ттг7г, где т = 0, ±1, ±2,... , то эллипс переходит в прямую, описываемую уравнением

= (-1)’

Е„

В этом случае волна является линейно поляризованной или плоско поляри­зованной. На рис. 2.2, б показаны два возможных направления поляризации в плоско поляризованной волне, соответствующие if = 0 и ip = 7Г.

2 Зак. 350

Круговая поляризация. Если Аі = Аг = А и <р = - ірі = тп/2,

где т = ±1, ±3, ±5,..., то одна из компонент вектора Е проходит через мак­симум в тот момент, когда другая обращается в нуль. В этом случае эллипс вырождается в окружность, которая описывается уравнением

е2х + е2у=а2.

Итак, конец вектора Е (разумеется и Я) движется по окружности, вращаясь по часовой или против часовой стрелки. Такое состояние поляризации волны на­зывают круговой или циркулярной поляризацией. Различают правую и левую круговые поляризации. Для правой поляризации

ip = тг/2 + 2ттг, £(+) = х0Е^+) + у0Е^ (2.10)

где

Е^ = Лсоэ(т + ipi), = -v4sin(r - I - ірі). (2-11)

Для левой поляризации

- —тг/2 + 2г7і7г, = S0E^ + у0Е^~ (2.12)

где

Е( Ї = Acos(t + ірі), Е( ) = Hsin(r + tpi). (2.13)

Из формул (2.10)-(2.13) следует, что

Ё = Ё+ Ё= i02Acos(r + ipx), (2-14)

Это означает, что сумма право - и лево-поляризованных волн дает линейно по­ляризованную волну.

Параметры Стокса. Сфера Пуанкаре. В общем случае плоская монохроматическая световая волна имеет правую или левую эллиптическую поляризацию. Полная характеристика эллипса дается тремя параметрами, на­пример, параметрами А, А%, ip или выражающимися через них полуосями

эллипса а, Ь и углом ф между осью х и большой осью эллипса (рис. 2.2, а).

Удобно также описание эллиптически поляризованной волны на основе пара­метров Стокса, определяемых формулами

So = Al+A%, Si=Al-A%,

12 (2.15)

S2 = 2ААї cosip, S3 = 2A1A2 siny>.

Независимыми оказываются только три из них, так как справедливо тождество

S2 = S2 + S2 + S2. (2.16)

Вводя вспомогательный угол у, определяемый формулой

tgx = ±ь/а,

где а и Ъ — полуоси эллипса поляризации, знак “+” соответствует правополя­ризованной волне, знак ” — левополяризованной, нетрудно получить следу­ющие соотношения для параметров Стокса[3]:

51 = Socos(2x)cos(2i/0,

52 = So cos(2y) sin(2i/>), (2.18)

53 = S0 sin(2x).

Формулы (2.15)-(2.18) могут быть положены в основу наглядного геометриче­ского представления поляризации. Параметры Стокса Si, S2, S3 можно рас­сматривать как декартовы координаты точки на сфере радиуса So. Углы 2у и 2ф имеют смысл сферических угловых координат этой точки (рис. 2.2, е). Угол ф характеризует ориентацию эллипса поляризации, угол — его эллиптич­ность (отношение полуосей) и направление вращения. Такое геометрическое представление поляризации предложил Пуанкаре, поэтому изображенную на рис. 2.2, е сферу называют сферой Пуанкаре.

В заключение этого пункта перечислим возможные состояния поляризации плоской гармонической волны (рис. 2.2): а — эллиптически поляризованная волна, б — линейно поляризованная волна, в — циркулярно поляризованная волна (правая и левая поляризации), г — эллиптически поляризованная волна при различных значениях разности фаз <р ортогональных компонент поля, д — линейно поляризованная волна как совокупность двух циркулярно поляризо­ванных волн со встречными направлениями поляризации, е — представление состояния поляризации плоской гармонической волны на сфере Пуанкаре.

Комплексная запись световой волны. Компактное и удобное представление волновых полей основано на применении комплексной записи. Используя формулу Эйлера

cos а = ^ ехр(га) + ^ ехр(—га), (2.19)

£t А

запишем электрическое поле плоской гармонической волны

Е = хоА cos(ut — kz + ірі) + У0А2 cos(uit — kz + (£2) (2.20)

в виде

Ё — ^(^о£г + 2/о£у) exp[i(wt - kz)] + к. с. (2.21)

Здесь сокращение “к. с.” означает “комплексно-сопряженное выражение”, а величины £х и £у называются комплексными амплитудами и определяются формулами

£х — А ехр(г<рі), £у = А2 ехр(г<р2). (2.22)

Как видно из определения, модуль комплексной амплитуды равен действитель­ной амплитуде, а аргумент — фазе световой волны. Для линейно поляризован­ной волны

Ё = ^е£ exp[i(o;t — kz)] + к. с., (2.23)

&

где £ — комплексная амплитуда, е — единичный вектор, характеризующий направление поляризации (“вектор поляризации”). Если волна поляризована по кругу, то

e = (S0± гу0)/у/2, (2.24)

где знаки “+” и ” соответствуют правому и левому вращению.

* Волновой вектор. Пусть плоская гармоническая световая волна рас­пространяется в произвольном направлении, задаваемом единичным вектором п. Поверхности постоянных фаз волны имеют вид плоскостей, перпендикуляр­ных вектору п (рис. 2.3). Введем волновой вектор

к = пи/с. (2.25)

Согласно (2.25), вектор к указывает направление распространения волны, а его модуль равен волновому числу к = ш/с. Обозначим расстояние, пройденное волной в направлении п, через £ и проведем радиус-вектор г из начала коор­динат в произвольную точку волнового фронта. Тогда, как видно из рис. 2.3,

£ = nf. (2.26)

Здесь и далее символом ab обозначено скалярное произведение векторов, т. е. ab — ^а, bj. Используя (2.26), получаем

к£ = кпг = кг. (2.27)

Теперь поле волны можно представить в виде

Ё = exp[i(u}t - fcf)] + к. с., (2.28)

где £ = е£, е — вектор поляризации.

Данное представление поля позволяет получить полезные общие соотноше­ния для плоской монохроматической световой волны. Запишем магнитное поле в виде, аналогичном (2.28),

Н = Hexp[i(ut — Аг)] + к. с. (2.29)

и подставим (2.28), (2.29) в уравнения Максвелла (1.2)—(1.5), предварительно введя векторный дифференциальный оператор “набла”

’ = + (2-30>

Тогда для произвольного векторного поля а(г)

rota=^V, aj, diva=^V, a^. (2-31)

С учетом этих соотношений уравнения Максвелла (1.2)—(1.5) можно предста­вить в виде

(2,2)

M = (**)=«■

Действие операторов д/дх, д/ду, д/dz на экспоненциальный множитель exp[i(wi — kr)] сводится к умножению на соответствующие декартовы компо­ненты волнового вектора:

exp[i(w£ - kr)] = —ika ехр[і(д£ — kr)],

где a — x, у, z. Поэтому вычисление дивергенции вектора Е для поля вида (2.28) дает

= і exp[i(wt - kr)] -I-к. с. (2.33)

Аналогично вычисляем ротор Е :

^V, -®] = ^ &] exp[i(wt - kr)] + к. с. (2-34)

Наконец,

BE 1 -*

= ~{ш)ё єхр[і(ші — kr)] + к. с. (2.35)

Аналогичные формулы можно написать и для вектора Н. Пользуясь ими, си­стему уравнений (2.32) представим в виде

[к, е] = ^Я (к,£)= О,

[£,#]=“£ {к, И)= о

или, с учетом (2.25),

п,?]=Н, (п,£) = О,

I4 - 4 (2.36)

^тг, = -£, n, Hj = 0.

Подставив выражения (2.36) для £ и 'Н в формулы (2.28), (2.29), получим век­торные соотношения, определяющие структуру поля плоской монохроматиче­ской световой волны:

£ = -[n, tfl, (й, д)=0,

- г-1 / 4 (2-37)

#=|п,£|, (п, Я]=0.

Соотношения (п, = 0, ^п, Я^ = 0 выражают свойство поперечности све­

товой волны. Согласно формулам (2.37), для плоской гармонической световой волны, распространяющейся в вакууме в произвольном направлении п, векто­ры n, Е и Я образуют правую тройку взаимно перпендикулярных векторов (рис. 2.4).

Немонохроматический свет. Естественная поляризация. В плоской монохроматической световой волне напряженность электрического поля Е есть регулярная функция координат и времени. Такая волна называется полностью поляризованной или просто поляризованной. Материал предыдущего раздела дает исчерпывающее представление о состоянии поляризации плоской монохро­матической волны. В общем случае такая волна поляризована эллиптически, а характеристики эллипса поляризации определяются амплитудами и фазами ортогональных компонент светового поля Ех, Еу.

Конечная апертура реальных световых пучков и немонохроматичность све­та приводят к отличиям от этой идеальной картины. Если свет лазера бывает близок по своей структуре к поляризованной волне, то поляризация излучения нелазерного источника света, как правило, испытывает быстрые хаотические изменения во времени.

Поле немонохроматической световой волны естественно рассматривать как случайный процесс. Для такой волны направление вектора Е в плоскости фрон­та волны случайным образом меняется с течением времени. Если при этом все
направления Ё оказываются равновероятными, то свет называется неполяри - зованным или естественно поляризованным. Таков, например, солнечный свет или свет лампы накаливания. Если же существует преимущественное напра­вление вектора Ё, то говорят, что свет частично поляризован.

Световое поле плоской немонохроматической волны, распространяющейся вдоль оси z, можно представить в виде

Е = х0Ех + уоЕу, (2.38)

где

Ех = ~£х exp[i(wt - kz)] + к. с.,

I (2-39)

Еу = - Еу exp[i(wt - kz)] + к. с.

£і

Рассматривая комплексные амплитуды ортогональных компонент поля £х и £у как случайные функции времени, введем матрицу когерентности световой волны

где угловые скобки обозначают усреднение по времени. Элементы этой матри­цы могут быть измерены экспериментально (см. ниже). Матрица когерентности полностью характеризует поляризацию плоской немонохроматической свето­вой волны.

Экспериментальные методы измерения поляризации. Эксперимен­тальные измерения поляризации света основаны на применении анизотропных кристаллов. Поэтому здесь мы коротко коснемся оптики анизотропных сред (подробнее см. ч. IV).

Анизотропия структуры кристаллической решетки приводит к тому, что ха­рактер распространения световой волны в кристалле зависит от поляризации света и направления распространения светового пучка в кристалле. Попадая в кристалл, световая волна с произвольным состоянием поляризации распада­ется на две линейно поляризованные волны с ортогональными направлениями поляризации — так называемые “обыкновенную” и “необыкновенную” волны. Скорости распространения этих волн вообще говоря различны. По мере рас­пространения между обыкновенной и необыкновенной волнами возникает фа­зовый сдвиг Atp, пропорциональный разности скоростей волн, а также пути, пройденному светом в кристалле.

Обыкновенная и необыкновенная волны. Для каждого напра­вления z в кристалле существуют два “собственных” направления поляризации х и у (рис. 2.5). Физически эти направления выделены тем, что световые вол­ны, линейно поляризованные в этих направлениях, распространяются в кри­сталле, сохраняя свое состояние поляризации. Одна из этих волн называется “обыкновенной”: скорость распространения этой волны одинакова для всех на­правлений в кристалле. Другая волна называется “необыкновенной”: скорость распространения этой волны зависит от направления в кристалле.

В отличие от обыкновенной и необыкновенной волн, произвольно поляри­зованная волна изменяет состояние поляризации при распространении в кри-

Рис. 2.5. Собственные направления поляризации световой волны в анизотропном кри­сталле

сталле. Такая волна как бы распадается на обыкновенную и необыкновенную волны, бегущие с разными скоростями.

В любом кристалле есть по крайней мере одно направление, для которого скорости обыкновенной и необыкновенной волн совпадают. Такое направление называют оптической осью кристалла. В зависимости от числа осей, анизотроп­ные кристаллы делятся на одноосные и двуосные. В поляризационных опти­ческих устройствах чаще применяют одноосные кристаллы, к числу которых относятся, например, кварц и кальцит. Как видно из определения, в напра­влении оптической оси кристалла может распространяться световая волна с произвольным состоянием поляризации, причем эта поляризация будет устой­чивой. Иначе говоря, в направлении оптической оси кристалл ведет себя как изотропная среда. В противоположность этому в направлениях, перпендику­лярных оптической оси, анизотропия кристалла выражена наиболее сильно.

Фазовый сдвиг, возникающий между обыкновенной и необыкновенной вол­нами, можно использовать для управления поляризацией света. Так, помещая на пути линейно поляризованного светового пучка кристаллическую пластин­ку, вносящую сдвиг фазы Д= я/2 между компонентами поля Ех, Еу, по­лучим на выходе из пластинки свет с круговой поляризацией. Если далее на пути пучка поставить еще одну такую же пластинку, то снова получим линейно поляризованный свет с направлением поляризации ортогональным исходному. Подбирая толщину пластинки, можно преобразовать эллиптически поляризо­ванный свет в свет с линейной или круговой поляризацией и наоборот.

Четвертьволновая и полуволновая пластинки. Пусть линейно поляризованный свет падает на прозрачный анизотропный кристалл так, что вектор Е направлен под углом 45° к направлениям х и у собственных поляриза­ций волн в кристалле. При этом на входе кристалла возникают обыкновенная и необыкновенная волны, которые синфазны и одинаковы по амплитуде. Толщи­на кристаллической пластинки подбирается так, что на выходе разность фаз обыкновенной и необыкновенной волн становится равной я/2. Так как амплиту­ды этих волн по-прежнему равны, то свет имеет теперь круговую поляризацию (рис. 2.6).

Пластинку, выполняющую такое преобразование, называют “четвертьвол­новой”, так как вносимой ею разности фаз Дip — я/2 соответствует разность хода волн, равная Л/4. Такие пластинки широко применяются в современных лазерных установках для преобразования линейной поляризации света в круго-

Вход Выход

Рис. 2.6 Преобразование линейной поляризации света в круговую

вую и наоборот. Пластинки, вносящие разность фаз Аїр = я (“полуволновые”), используют для поворота плоскости поляризации линейно поляризованной све­товой волны на 90°.

Поляризаторы, анализаторы, компенсаторы. В некоторых кри­сталлах (в частности, в турмалине) сильно отличаются коэффициенты погло­щения обыкновенной и необыкновенной волн. Это приводит к тому, что уже при толщине кристаллической пластинки около миллиметра одна из волн практи­чески полностью поглощается, а на выходе остается другая волна, имеющая ли­нейную поляризацию. Таким образом, пластинка турмалина выделяет из света с произвольной поляризацией линейно поляризованную компоненту, т. е. рабо­тает как поляризатор света. Существуют полимерные материалы (например, обогащенный йодом синтетический поливиниловый спирт), которые обладают очень сильной анизотропией поглощения. Из таких материалов изготавливают поляроидные пленки. Такие пленки широко применяются в поляроидах — при­борах, выделяющих из светового пучка линейно поляризованную компоненту с заданным направлением поляризации.

Различие в показателях преломления анизотропного кристалла для обыкно­венной и необыкновенной волн можно использовать для разделения этих волн за счет эффекта полного внутреннего отражения; при этом также получается линейно поляризованный свет. На этом принципе основаны различные поля­ризационные призмы (призма Глана, призма Николя и т. п.), которые также используются в качестве поляризаторов.

Используя поляризатор, можно определить направление поляризации ли­нейно поляризованной световой волны и установить сам факт линейной поля­ризации. Для этого вращают поляризатор относительно оси светового пучка и наблюдают за изменениями интенсивности прошедшего света. Если при некото­ром положении поляризатора свет полностью задерживается им, то исходный пучок линейно поляризован, причем направление поляризации ортогонально направлению пропускания (“оси”) поляризатора в данном положении. В по­добных экспериментах поляризатор выполняет функцию анализатора. При-

меры поляризаторов и анализаторов показаны на рис. 2.7. Это турмалин (а), поляроид (б), призма Глана (в), призма Николя (г). Буквой “о” обозначена обыкновенная волна, буквой “е” — необыкновенная. Стрелка на оправе поля­роида указывает направление его оси, т. е. направление поляризации световой волны, полностью пропускаемой поляроидом.

Для измерения параметров поляризации эллиптически поляризованного света применяют устройства, называемые компенсаторами, которые преобра­зуют эллиптически поляризованный свет в свет с линейной поляризацией. Ком­пенсатор представляет собой пластинку, составленную из двух клиньев ани­зотропного кристалла так, что при сдвиге одного клина относительно другого толщина пластинки меняется. Такое устройство позволяет плавно варьировать толщину анизотропной пластинки и, следовательно, плавно менять разность фаз А<р между обыкновенной и необыкновенной волнами.

Рис. 2.8. Компенсаторы

На рис. 2.8, а показан компенсатор Солейля. В конфигурации, показанной на рисунке, компенсатор вносит сдвиг фазы Аip = (2тг/Л)(пе — н0)(^2 — h) между обыкновенной и необыкновенной волнами. Плавная регулировка фазо­вого сдвига осуществляется путем смещения одного клина компенсатора от­носительно другого. На рис. 2.8, б представлена схема компенсатора Баби­не. В конфигурации, показанной на рисунке, компенсатор вносит сдвиг фазы Аїр — (27г/Л)(пе —n0){hi —62) между обыкновенной и необыкновенной волнами. Плавная регулировка фазового сдвига осуществляется путем смещения свето­вого пучка или компенсатора в поперечном направлении. В приведенных выше выражениях для фазового сдвига п0 — показатель преломления анизотроп­ного кристалла для обыкновенной волны, пе — для необыкновенной волны. Компенсаторы Солейля и Бабине изготавливаются из кварцевых клиньев. Для кварца пе = 1,553, п0 = 1,544. Таким образом, измерение фазовых сдвигов, вно­симых компенсаторами, сводятся к измерению смещений: либо смещения одно­го из клиньев компенсатора, либо смещения компенсатора относительно свето­вого пучка. Поляризованный свет, пропущенный через систему компенсатор - анализатор, дает характерную картину чередования темных и светлых полос в поперечном сечении пучка. Естественный (неполяризованный) свет в тех же условиях сохраняет однородное распределение интенсивности.

Анализ поляризации плоской монохроматической свето­вой волны. Рассмотрим плоскую монохроматическую световую волну вида

(2.20) . Как отмечалось выше, состояние поляризации волны (эллиптическая, круговая, линейная) однозначно определяется параметрами Ai, = <р2—<Pi >

а также ориентацией векторов хо и уо в пространстве. Анализ поляризации све­та сводится к экспериментальному измерению этих параметров.

Процедуру измерений можно построить следующим образом. Сначала с по­мощью компенсатора и анализатора преобразуем данную волну в волну с ли­нейной поляризацией. В этом положении ребра компенсатора задают напра­вление векторов хо и 2/о. Измерив вносимую компенсатором разность фаз, най­дем величину ip. Далее, не меняя положения компенсатора, установим ана­лизатор на пропускание х-поляризации и измерим интенсивность прошедше­го света 1Х. Затем, повернув анализатор на 90°, установим его на пропуска­ние у-поляризации и измерим интенсивность прошедшего света 1у. После этого определим Ai и Ап по формулам, связывающим между собой интенсивность и амплитуду световой волны (см. лекцию 3):

1Х = сА/&'к, 1У — сА/&ж.

Можно выполнить измерение и более простым способом. Вращая анализа­тор вокруг оси светового пучка, мы будем наблюдать изменение интенсивности света, прошедшего через анализатор. Заметим направления оси анализатора, соответствующие максимуму (/тах) и минимуму (Лшп) интенсивности. Очевид­но, что первое из этих направлений определяет направление большой оси эл­липса, а второе — направление его малой оси. Далее, так как интенсивность света пропорциональна квадрату амплитуды колебаний поля в световой волне, отношение осей эллипса поляризации можно определить по формуле

а/Ь — V/шах / Imin-

Измерение поляризации немонохроматического света. Как отмечалось выше, поле немонохроматической световой волны естественно рас­сматривать как случайный процесс. При этом характеристиками света являют­ся различные средние: интенсивность, корреляционная функция и т. п. Матема­тические определения этих понятий мы дадим ниже (см. ч. II). Здесь же оста­новимся на методах экспериментального измерения параметров поляризации. Заметим, что с точки зрения эксперимента усреднение может осуществляться как при обработке большого числа измерений, так и в процессе одного измере­ния за счет инерционности измерительного прибора.

Переходя к комплексной записи, представим поле плоской немонохромати­ческой волны в виде (2.38), (2.39). Измерение параметров поляризации осу­ществляется с помощью компенсатора и анализатора. Сначала световая волна пропускается через компенсатор, вносящий фазовый сдвиг Дір = є между ком­понентами поля Ех и Еу (оси х и у направлены вдоль ребер компенсатора), а затем — через анализатор, направление пропускания (ось) которого соста­вляет угол 9 с осью х (рис. 2.9). На выходе анализатора возникает линейно поляризованная световая волна с интенсивностью

І = І(9,є) = (с/ 8тг)<|£|2), (2.41)

где

£ = £х cos в + Eyelz sin в (2.42)

и угловые скобки обозначают усреднение по времени. Интенсивность света I — 1(9,є) измеряется измерительным прибором (рис. 2.9). Такие измерения повторяются для различных значений параметров 9 и є. Результаты измере­ний позволяют количественно охарактеризовать состояние поляризации свето­вой волны, в частности определить элементы матрицы когерентности. В самом деле, подставив (2.42) в (2.41), получим

Свет

П

а)

, А

б)

’ис. 2.9. Измерение поляризации немонохроматического света. Схема измерения. К — омпенсатор, А — анализатор, П — приемник (а). Ориентация оси анализатора (б)

І(в, є) = (c/8tt)(Jxx cos2 в + Jyy sin2 в +

+ JxyZ гє sin в cos в + JyxeK sin в COS в),

где Jxx, Jyy, Jxy, Jyі — элементы матрицы когерентности (2.40). Пользуясь формулой (2.43), нетрудно показать, что

Jxx = — /(0°, 0), Jyy = — /(90°, 0), с с

' Л> = т{5[Д45°'0)_-Г<1“°’0)]+Н/(45°'І)'/(135°'ї)]}’ (2.44)

3„ = Ц {І[Д45°, 0-7(135°, 0)] - 5 [/(45°,f) -/(l35°, |)] } .

Формулы (2.44) выражают матрицу когерентности через экспериментально из­меряемые величины.

Варьируя параметры в и є, можно измерить величину

1(0,є) max — 1(0,є)п

1(0 ) ^)max + 1(0, є)

n

которая называется степенью поляризации света. Степень поляризации мож­но выразить через элементы матрицы когерентности. Из (2.43) и (2.45) следует, что

4| J

(Jxx + jyy)2

где определитель матрицы когерентности

J — JxxJyy кіхуЗуХ'

(2.47)

Рассмотрим частные случаи.

Неполяризованный (естественный) свет. Так называется свет, у которого

1{в, е) — const (2.48)

для всех значений в и г. Из (2.43) видно, что в этом случае

1 8тг 2Г‘~

где интенсивность исходной световой волны

с

То = g^(Зхх + Jyy).

По формулам (2.46), (2.47), (2.49) находим Р = 0. Этот же результат вытекает и из (2.45), (2.48).

Полностью поляризованный свет. Положим

£х = Ai exp(iVi), £у = Л2 ехр(гір2), (2.50)

где Ах, А2, tpi, tp2 — постоянные. Подставляя (2.50) в (2.40), получим

~ А АхАзе-*

J' АхАзе* А$ ) ’

где <р = Ч>2 — Ч>1- При этом J = 0 и Р = 1.

Частично поляризованный свет. Модели неполяризованного и пол­ностью поляризованного света являются идеализациями. Реальные световые пучки имеют степень поляризации 0 < Р < 1. Такой свет является частично поляризованным. Отметим, что частично поляризованный свет можно предста­вить как суперпозицию неполяризованной и полностью поляризованной ком­понент.