Физическая оптика

Модели строения атома

Модель Томсона. Модель Бора.

Классическая осцилляторная модель атома, описываемая уравнением

_ . о Є _

х + Гя + wZx = —Е,

‘ ТЭТ

ТП

содержит два основных параметра: частоту собственных колебаний осцилля­тора wo и коэффициент затухания свободных колебаний Г. Оба эти параметра могут быть, с одной стороны, измерены экспериментально (например, путем измерения спектра поглощения вещества — см. ч. IV), а с другой стороны — вычислены теоретически, исходя из той или иной модели атома. Сопоставле­ние экспериментальных и теоретических данных позволяет получить ценную физическую информацию о строении и свойствах атома.

Если предположить, что затухание свободных колебаний оптического ос­циллятора связано с потерей энергии на излучение, то, используя результаты лекции 5, можно оценить параметр Г следующим образом:

(Д9.2)

Что же касается собственной частоты осциллятора wo, то для ее оценки необ­ходима конкретная модель атома. Ниже мы рассмотрим две таких модели (на примере атома водорода) — модель Томсона и модель Бора. х.

Модель Томсона. Согласно модели, предложенной Дж. Дж. Томсоном, атом представляет собой непрерывно распределенный в некотором объеме по­ложительный заряд, внутри которого находится электрон, удерживаемый в по­ложении равновесия упругой электростатической силой. Будучи выведенным из положения равновесия, электрон совершает гармонические колебания, ча­стота которых wo определяется зарядом и массой электрона, а также размером атома.

Конкретный пример системы подобного типа показан на рис. Д9.1, а. Здесь точечный отрицательно заряженный электрон находится внутри однородного положительно заряженного шара. На рис. Д9.1, б показана аналогичная мо­дель, которая в большей степени соответствует современным представлениям о строении атома. В этой модели точечное положительно заряженное атомное ядро окружено “электронным облаком”, которое в простейшем случае имеет вид однородно заряженного шара.

В обеих моделях при смещении центра распределенного заряда относитель­но точечного заряда противоположного знака возникает возвращающая сила F = кх, пропорциональная величине смещения х. Как известно из механи­ки, в этом случае движение заряда описывается уравнением гармонического осциллятора тх 4- кх = 0. Собственная частота осциллятора Wo = у/к/т опре­деляется массой электрона тп и силовой постоянной к. Нетрудно вычислить эту постоянную для случая, когда распределенный заряд представляет собой однородно заряженный шар. Используя решение эквивалентной задачи меха­ники о гравитационном взаимодействии материальной точки и шара (см., наг

Рис. Д9.1. Осцилляторные модели атома

пример, [1, с. 286]), получим к = e2/aj), где е — заряд электрона, оо — радиус атома. Следовательно,

(Д9.3)

Итак, частота колебаний электрона в атоме Томсона определяется формулой (Д9.3). Полагая е = 4,8 х Ю-10 СГСЭ, т = 9,1 х 10-28 г, оо = 0,5 х 10~8 см, по­лучим и>о = 4,5 х 1016 с-1 или, в герцах, /0 = шо/2ж = 7,2 х 1015 Гц. Таким образом, частота атомного осциллятора в модели Томсона, вычисленная ис­ходя из известных параметров атома (заряд и масса электрона, размер атома), оказывается близкой к частоте оптических колебаний.

Модель Бора. Итак, модель Томсона дает правильный порядок величины собственной частоты колебаний атомного осциллятора. Однако с точки зрения этой (чисто классической) модели кажется совершенно необъяснимым то, что реальные атомы имеют несколько собственных частот колебаний. Например, спектральные линии атома водорода в видимой области спектра образуют се­рию Балъмера, которую можно эмпирически описать формулой

Здесь для удобства введена постоянная Планка h и п = 3,4,5. Объяснение этого факта было впервые дано Нильсом Бором в 1913 г., когда он предложил свою квантовую модель атома.

В основе модели Бора лежит резерфордовская планетарная модель атома, квантовый постулат Планка о том, что осциллятор, имеющий собственную ча­стоту колебаний oj, может получать или отдавать энергию только дискретными порциями Тш, и предложенный самим Бором принцип соответствия, согласно которому движение электрона по орбите большого радиуса, когда электрон по­чти уже оторван от ядра, должно подчиняться законам классической физики.

На рис. Д9.2 показана планетарная модель атома водорода. Точечный элек­трон вращается вокруг точечного ядра по круговой орбите. Уравнение движе­ния электрона имеет вид

О

Рис. Д9.2. Планетарная модель атома

где е и m — заряд и масса электрона, v — его скорость, г — радиус орбиты. Ки­нетическая энергия электрона К = mv2/2, потенциальная энергия П = —е2/г, полная механическая энергия £ = К + Пв силу формулы (Д9.5) может быть представлена в виде

Предположим, что двигаясь по орбите большого радиуса г, атом в соответствии с классической электродинамикой излучает свет на частоте

LJ : V/Г,

равной частоте вращения электрона. С другой стороны, согласно квантовому постулату Планка, излучение частоты и> испускается атомом не иначе как дис­кретными порциями с энергией hcj, а это значит, что атом имеет дискретный набор уровней энергии Еп, причем

К Еп— — hut.

Для больших значений числа п, т. е. для больших орбит, разность энергий Еп—Еп-1 можно приближенно заменить производной dE/dn. При этом, в силу (Д9.6), (Д9.7), уравнение (Д9.8) преобразуется в дифференциальное уравнение относительно энергии

(Д9.9)

Решение уравнения (Д9.9), удовлетворяющее условию lim Е = 0, есть

(Д9.10)

или

Еп = -£/тг2,

где п — натуральное число, £ — некоторая постоянная энергия, равная

п = 1

Рис. Д9.3. Энергетические уровни атома водорода и некоторые переходы, соответству­ющие спектральным линиям серии Бальмера

Теория Бора имела поразительный успех в описании высоких возбужден­ных уровней атомов. Однако главная ее ценность состоит в возможности экс­траполяции формулы (Д9.11) к низким значениям п. Поскольку такая экстра­поляция противоречит одному из исходных пунктов теории (предположению о достаточно большом радиусе электронной орбиты), Бор заменил первоначаль­ную основу теории новым квантовым постулатом, который также приводит к формуле (Д9.11). Этот постулат требует, чтобы момент импульса электрона был целым кратным постоянной Планка:

I = nh (n = 1,2,3,...).

Квантовая теория опиралась на формулу (Д9.13) вплоть до появления кван­товой механики. Тогда было показано, что это постулат есть приближенное следствие новой теории.

Формулы (Д9.11), (Д9.12) объясняют частоты спектральных линий атома водорода. Согласно Бору, испускание света атомом происходит при его пере­ходе из некоторого возбужденного состояния в состояние с меньшей энергией, причем частота излучения связана с энергией этих двух состояний формулой

— Ещ Еп.

Например, серия Бальмера возникает в результате переходов атомов водорода из возбужденных состояний с квантовым числом п = 3,4,5,... в состояние с п = 2. Из (Д9.11), (Д9.12), (Д9.14) получаем формулу для частот спектральных линий этой серии:

(Д9.15)

Это выражение в точности совпадает с эмпирической формулой (Д9.4).

На рис. Д9.3 показана система энергетических уровней атома водорода и несколько переходов, соответствующих спектральным линиям серии Бальмера.

Стабильность атома водорода в теории Бора объясняется тем, что согласно (Д9.11), (Д9.12), энергия электрона не может быть меньше величины

J01 = -13,64 эВ, (Д9.16)

соответствующей минимальному квантовому числу п = 1. Энергия Ei имеет смысл потенциала ионизации атома (рис. Д9.3) и очень близка к эксперимен­тальному значению этой величины.

Теория Бора дает также оценку размера атома водорода. Полагая п = 1 и используя формулы (Д9.6), (Д9.10), получаем для радиуса электронной орбиты в основном состоянии

h[25]

г = —5- = а0 = 0,529 А (Д9.17)

те/

(1А = 1 ангстрем = 1СГ8 см). Эта величина, называемая боровским радиусом, служит основным масштабом атомных размеров.