Физическая оптика

Квантовая двухуровневая система и классический осциллятор

Двухуровневая система. Состояние квантовой системы. Физические величи­ны и операторы. Измеряемые величины. Уравнение Шредингера. Гамильто­ниан. Изолированный атом. Частица в потенциальной яме. Гармонический осциллятор. Атом в переменном внешнем поле. Матрица плотности. Урав­нение для матрицы плотности. Учет релаксации. Двухуровневая система в резонансном внешнем поле. Система уравнений для поляризации, населенно­стей и поля. Двухуровневая квантовая система и классический осциллятор.

Двухуровневая система — простейшая модель квантового объекта (ато­ма, молекулы или ансамбля частиц). В двухуровневом приближении объект имеет лишь два энергетических уровня с энергиями Ei, Е2 и характеризуется частотой перехода

И, = (Е2 - Ei)/h, (Д10.1)

где h — постоянная Планка. Уровни энергии системы показаны на рис. Д10.1.

Строго говоря, объекта с двумя энергетическими уровнями в природе не су­ществует. Реальные атомы и молекулы обладают значительно большим числом уровней энергии. Однако в резонансных условиях, когда частота света близ­ка к частоте перехода между определенной парой уровней энергии вещества, влиянием остальных уровней можно пренебречь, и мы получаем возможность ограничиться рассмотрением только двух выделенных уровней. Так возникает модель двухуровнего атома. В квантовой физике эта модель играет такую же роль, как гармонический осциллятор в классической физике. В оптике двух­уровневая модель применяется для описания лазера, а также взаимодействия лазерного излучения с веществом.

Прежде чем обсуждать двухуровневую систему, остановимся, коротко, на общих положениях квантовой модели взаимодействия света с веществом. Мы ограничимся рассмотрением полуклассической модели, в которой вещество описывается квантово-механически, а свет — как классическая электромаг­нитная волна.

Состояние квантовой системы. Состояние квантовой системы считается известным, если известна волновая функция системы

ф = ф{гД),

которая в случае одной частицы определяет вероятность найти частицу в точке с радиус-вектором г в момент времени t. Точнее, величина

dp = ip(r, t)2d3r (Д10.2)

есть вероятность того, что в момент времени t частица находится в бесконечно малом объеме с?3г около точки г.

Тио0

Рис. Д10.1. Квантовая двухуровневая система

Обратим внимание на принципиальное отличие способов описания состоя­ния систем в классической и квантовой физике. В квантовой модели состояние физической системы описывается на языке вероятностей.

Физические величины и операторы. Задача об определении стационар­ных состояний атома, характеризуемых определенными значениями энергии, есть задача, в которой определенные состояния системы выделяются из ряда остальных. В математике к такому типу задач относятся задачи на линейные операторы и их собственные значения. Оператор L есть правило, позволяющее по заданной функции ip(x) вычислить другую функцию

ф(х) = L[p{x)].

Уравнение вида

Lf = А/,

где А — постоянная, называется задачей на собственные значения и собствен­ные функции оператора. Решением этой задачи является, вообще говоря, дис­кретный набор собственных значений и собственных функций, т. е. ряд зна­чений некоторой величины сам собой выделяется из всех мыслимых значений. Эти дискретные значения и можно сопоставить дискретным квантовым состоя­ниям атома. Такого рода обоснование идеи квантования осуществляет кванто­вая механика, начиная с основополагающей работы Шредингера 1926 г. о кван­товании как задаче на собственные значения операторов. Квантовая механика сопоставляет каждой физической величине определенный линейный оператор.

Измеряемые величины. Среднее значение физической величины, изобра­жаемой оператором А, вычисляется по формуле

(ДЮ. З)

где ф — волновая функция. Средние вида (Д10.3) сопоставляются с измеряемы­ми величинами. Например, оператор координаты частицы определяется фор­мулой

хф = хф.

Нетрудно видеть, что в этом случае операция, выражаемая формулой (ДЮ. З), есть операция квантово-механического усреднения с плотностью вероятно­сти ф2.

Уравнение Шредингера. Волновая функция подчиняется уравнению Шредингера

(ДЮ.4)

где П — постоянная Планка, t — время, Н — оператор энергии или гамильтони­ан системы. Уравнение Шредингера описывает изменение волновой функции и, следовательно, состояния системы во времени. В квантовой механике это уравнение играет такую же роль, как второй закон Ньютона в классической механике.

Гамильтониан. Оператор Гамильтона определяется формулой

(Д10.5)

(Д10.6)

где р1 /2т — оператор кинетической энергии, U{r) — потенциальная энергия, т — масса частицы,

р = - ihV,

р — оператор импульса,

(Д10.7)

V — оператор “набла”.

П

Изолированный атом. Гамильтониан изолированного атома не зависит от времени. В этом случае решение уравнения (Д10.4) можно представить в виде,

(Д10.8)

где сп — постоянные. Подставив (Д10.8) в (Д10.4), получим уравнение

(Д10.9)

Ер ті — Еп<рп,

которое называется стационарным уравнением Шредингера. Функции <рп(г) есть собственные функции гамильтониана Н, соответствующие собственным значениям (энергиям) Еп. Индекс п нумерует стационарные состояния ато­ма. Каждое такое состояние характеризуется соответствующей координатной волновой функцией tpn и энергией Еп. Систему функций {рп} можно считать ортонормированной, так что

(Д10.10)

где 6тп — символ Кронекера.

10 Зак. 350

U

-1/2 0 1/2 *

Рис. Д10.2. Одномерная прямоугольная потенциальная яма

Частица в потенциальной яме. Рассмотрим в качестве примера движе­ние частицы в потенциальной яме. Потенциальную энергию запишем в виде

Г 0, |х| < 1/2,

ос, М>,А <Д10Л1>

где I — ширина ямы (рис. Д10.2).

Модель (Д10.11) соответствует яме с абсолютно жесткими стенками. По­скольку частица не может выйти за пределы ямы, волновая функция должна удовлетворять граничным условиям.

р(х = ±1/2) = 0. (Д10.12)

Стационарное уравнение Шредингера имеет вид Нр = Ер или

д2р 2 тЕ

+ = W10'13)

где т — масса частицы, Е — ее энергия. Решение задачи (Д10.12), (Д10.13), удовлетворяющее условиям (Д10.10), есть

/

2 Г cos(nnx/l), п = 1,3,5,...

Т si InJm. n = 2.4.6......................................................................................................... (Д10Л4>

sin(7r nx/l), п = 2,4,6,.... При этом энергия частицы принимает значения

Е"=(т )s - W10'1S)

На рис. ДЮ. З показаны несколько нижних энергетических уровней частицы и соответствующие им волновые функции.

Гармонический осциллятор. Рассмотрим одномерный гармонический ос­циллятор. Потенциальная энергия частицы в этом случае есть

U = ^то>ож2, (ДЮ.16)

п = 4

п = 3

п = 2

п = 1

О

4>(х)

ЧУ

/

і

У

Л

V

Л,

V

V

п = 1

п = 3

п = 4

-1/2 О 1/2 х

Рис. Д10.3. Волновые функции и уровни энергии частицы в потенциальной яме

где х — координата, т — масса осциллятора, шо — собственная частота коле­баний. Подставив (Д10.16) в стационарное уравнение Шредингера Н<р = Etp, получим уравнение

(ДЮ.17)

Ь? d? u> 1 22

“2S^+2m"»1 =Е*'

Ср(р

или

(Д10.18)

где введены обозначения

2 Е

hojо

(ДЮ.19)

£ = xy/mwo/h, є =

Решение стационарного уравнения Шредингера дает набор собственных зна­чений энергии

(Д10.20)

Еп — ( п + — ] hu>о

и волновых функций

где

Ап = тг-1/4(2”гг!)-1/2, (Д10.22)

А„ — нормировочные коэффициенты, обеспечивающие выполнение условия

ОО

(Д10.23)

J = 1,

Нп — полиномы Эрмита. Индекс п, нумерующий стационарные состояния ос­циллятора, пробегает значения 0,1,2,... .

На рис. Д10.4 показаны потенциал U(x), уровни энергии Еп и волновые функции <рп(0 одномерного гармонического осциллятора. Отличные от нуля матричные элементы координаты х W (

хпк = J V*nxipk dx (Д10.24)

имеют вид

nh

2тю0

(Д10.25)

Хп, п—1 — Хп— п —

В частности,

хог

= Хо =

2ти0'

(ДЮ.26)

Атом в переменном внешнем поле. Гамильтониан атома, находящегося в переменном внешнем поле, например поле световой волны, запишем в виде

H = H0 + V(t), (Д10.27)

где Но — гамильтониан изолированного атома, V (t) — энергия взаимодействия атома с полем. Волновую функцию запишем как

ф = ^2 Cn(t)<pn(r) ехр Ent) . (Д10.28)

П ' '

Здесь координатные волновые функции tpn(r) и энергии Еп описывают стаци­онарные состояния изолированного атома и подчиняются уравнению

:,:3

H0(fin = Еп<Рп - (Д10.29)

Система функций {<рп} удовлетворяет условию (Д10.10). Формула (Д10.28)

подобна формуле (Д10.8). Однако, в отличие от (Д10.8), коэффициенты с„ в (Д10.28) зависят от времени, что учитывает возможность изменения состояния атома под действием поля. Конкретная зависимость cn(t) определяется видом возмущения V(t).

U

Рис. Д10.4. Потенциал, уровни энергии и волновые функции одномерного гармониче­ского осциллятора

Матрица плотности. Обозначив

(Д10.30)

bn = сп ехр (~^Entj,

перепишем (Д10.28) в виде

п

Подставив (Д10.31) в (Д10.3), получим

w = EE ЬпЪшАпт^ (Д10.32)

т п

где величина

Апт = J {PnA'-prn d? r (ДЮ. ЗЗ)

называется матричным элементом оператора А.

Обычно на практике мы имеем дело с большим числом частиц (атомов, мо­лекул). В этом случае, для того чтобы вычислить измеряемое значение величи­ны А, нужно выполнить не только усреднение (Д10.3), относящееся к отдель­ной частице и связанное с принципиально вероятностным описанием событий в квантовой механике, но и обычное статистическое усреднение по ансамблю частиц. Обозначая это усреднение чертой над буквой, представим измеряемое значение величины А в виде

W=EE (Д10.34)

т п

ИЛИ

{А) ~ У ^ У ] РтпА ПГПч (Д10.35)

т п

где введена матрица

Ртп — ЬтЬ^, (ДЮ.36)

называемая матрицей плотности.

Используя правило умножения матриц, согласно которому элементы матри­цы-произведения С = АВ выражаются через элементы матриц-сомножителей А и В по формуле

Стп = Y, AmkBkn (Д10.37)

к

и вводя определение следа матрицы как суммы ее диагональных элементов

Ъ(А) = Е (Д10.38)

п

представим (Д10.35) в виде

(I) = Тг(рА). (Д10.39)

Итак, формула (Д10.39) позволяет вычислить измеряемое значение величины

А для большого ансамбля частиц.

іТі У' Ьп<рп — У * ЬПН(рп.

п п

Уравнение для матрицы плотности. Подставив (Д10.31) в (Д10.4), по­лучим уравнение

Здесь точка над буквой обозначает дифференцирование по времени. Умножим это уравнение слева на <р*п и проинтегрируем по всему пространству. Прини­мал во внимание условие ортонормированности волновых функций (Д10.10), получим уравнение

гАЬго = £>„Ятп, (Д10.41)

П

где

Нтп = J ip*mH(pn<Pr, (Д10.42)

Нтп — матричный элемент гамильтониана.

Пользуясь формулами (Д10.36), (Д10.41), нетрудно получить следующее уравнение для матрицы плотности:

ifbPrnn ~ - PmkKk), (ДЮ.43)

к

или

ifapmn = ^ '(НупкРкп РткНкп)і (ДЮ.44)

к

где учтено свойство эрмитовости оператора Н, выражаемое формулой

Нкп = н*пк. (ДЮ.45)

(Н) = Е= /

Покажем, что оператор Н эрмитов. Для этого запишем выражение для средне­го значения гамильтониана (энергии системы). Пользуясь формулой (ДЮ. З), получим

іф*Нгр(Рг. (Д10.46)

Подставив (Д10.31) в (Д10.46), преобразуем это выражение к виду

*=££ (Д10.47)

ТП П

где матричный элемент гамильтониана определяется формулой (Д10.42). Энер­гия системы должна быть действительной величиной, т. е.

Е = Е*. (Д10.48)

Подставив (Д10.47) в (Д10.48), приходим к равенству (Д10.45). Аналогичным образом можно показать, что любой оператор А, соответствующий измеряе­мой физической величине, эрмитов, а его матричные элементы удовлетворяют соотношению типа (Д10.45). Заметим, что матрица плотности также является эрмитовой:

Ртп — Рпт■ (Д 10.49)

Эта формула непосредственно вытекает из определения матрицы плотно­

сти (Д10.36).

Используя правило умножения матриц (Д10.37) и знак коммутации

[А, В] = АВ - В А, (Д10.50)

можно записать (Д10.44) в более компактном виде

гПр=[Н, р]. (Д10.51)

Это уравнение, описывающее эволюцию матрицы плотности, называется урав­нением Неймана.

Учет релаксации. Тепловое движение атомов и молекул, столкновения между ними приводят к появлению релаксационных процессов, стремящихся привести систему к состоянию термодинамического равновесия, при котором элементы матрицы плотности — постоянные величины. Для того чтобы учесть эти процессы, дополним уравнение Неймана релаксационным членом и пере­пишем его следующим образом

p=l-[p, H)+R. (Д10.52)

Здесь R — релаксационный оператор (релаксационная матрица).

Итоги. Итак, сформулируем окончательно уравнения, описывающие ди­намику квантовой системы в переменном внешнем поле. Эти уравнения имеют

вид

(АУ = Тг(рА) = £ J2 PrnnAnm, (Д10.53)

m п

^ = p=l[p, H]+R. (Д10.54)

Двухуровневая система в резонансном внешнем поле. Применим те­перь общие результаты к случаю двухуровневой квантовой системы, находя­щейся в резонансном внешнем поле.

Выведем уравнение для поляризации двухуровневой среды. Ограничиваясь для простоты одномерной задачей, запишем

Р = Ne(x), (Д10.55)

<х) = TV {рх) РгппХпт, (Д10.56)

771 П

р=^[р, Н). (Д10.57)

Последнее уравнение записано без учета релаксации; соответствующую поправ­ку мы сделаем в конце расчета. В двухуровневом приближении из (Д10.57) получаем

/>11 = ^(/Э12#21 — H12P21),

(Д10.58)

/>22 = -^(P2lHi2 — H21P12),

І і

/>12 = ^(-^22 — Нц)рі2 + ^Яі2П,

'І і

Р21 — (Я22 — Нц)р2і - ^Ягіп,

где введена величина

(Д10.59)

п = />11 _ />22,

имеющая смысл разности населенностей уровней, отнесенной к полному числу частиц.

Записав гамильтониан в виде

(Д10.60)

(Д10.61)

Я = Я(0> +V{t), где ЯW — гамильтониан невозмущенного атома,

V(t) = - рЕ,

V(t) — энергия возмущения, Е — напряженность электрического поля свето­вой волны,

(Д10.62)

(Д10.63)

р = ех,

р — дипольный момент атома, получим

Нтп = Я<°> + Vmn.

Матричные элементы в (Д10.63) вычисляются по системе собственных функ­ций <рп оператора. Эти функции подчиняются стационарному уравнению Шредингера

(Д10.64)

j7<°Vn = ЕпЧ>п,

где Еп — энергии стационарных состояний, и условиям ортогональности и нор­мировки

(Д10.65)

(ДЮ.66)

(Д10.67)

J VmVndx — 5тп.

В силу (Д10.64), (Д10.65) матричные элементы оператора

H£l = J'P*mHW<pndx '

равны

гт(0) _ г,__________________________ р їД®) ТТ^ П

Яц —^1, л22 — д<2, Л12 — Л21 —и.

Матричные элементы оператора возмущения, в силу (Д10.61), (Д10.62), выра­жаются через матричные элементы электронной координаты

^ТПП —

—еЕхтп, (Д10.68)

где

= J ip*mxipndx. (ДЮ.69)

Предположим, что волновые функции стационарных состояний атома дей­ствительны

<рп{х) = <(х) (Д10.70)

и являются либо четными, либо нечетными функциями координаты х:

4>п(х) = ±ч>п(-х). (ДЮ.71)

Такими свойствами обладают, например, волновые функции частицы в потен­циальной яме (рис. Д10.3), а также гармонического осциллятора (рис. Д10.4). Поскольку атом обладает центральной симметрией, для него также должно выполняться условие (Д10.71). В этом случае

Жц = Х22 = о, ХУ2 = Х21- (ДЮ.72)

Итак, матричные элементы гамильтониана имеют вид

Нц = Ei, Н22 = Е2, Н12 = Н21 = - еЕх 12. (Д10.73)

Величина (х), согласно (Д10.56) и (Д10.72), определяется формулой

(х) = (рі2 + Р2і)хі2- (Д10.74)

Подставив (Д10.73) в (Д10.58), получим уравнения

P2l)Hl2,

(Д10.75)

h ^Hi2n,

(ДЮ.76)

- %-H12n,

(ДЮ.77)

Р21 — -гщ

где использованы обозначения (Д10.1), (Д10.59).

Система уравнений для поляризации, населенностей и поля. Скла­

дывая последние два уравнения, и вычитая одно из другого, получим

(Pi2 + Р21) = *a>o(pi2 — Р21), (ДЮ.78)

(pi2 ~ Р21) = iuo(pi2 + P21) + - j^Hi2n, (Д10.79)^

откуда следует, что

о / 2 C&Jq

(Pl2 + P2l) + ^о(Рі2 + P2l) = Г Н2^'

(Д10.80)

Из (Д10.75) и (Д10.78) получаем уравнение

Л = г—(ріг + P2l)#12- nuJo

Итак, для поляризации среды Р получаем следующие уравнения:

Р = Ne(x),

(х) +wl(x) = ^еЕх2п,

(Д10.81)

(Д10.82)

-(х)еЕ,

п =

huji

или

2 р _ ^plEAN,

Р + и$Р =

(Д10.83)

где обозначено

(Д10.84)

Nn = AN.

ЄХ12 = РО,

Величина ро есть матричный элемент дипольного момента атома р = ех, соот­ветствующий переходу 1 —> 2; величина AN имеет смысл разности населенно­стей уровней.

С учетом процессов релаксации уравнения (Д10.83) записываются в виде

Р+£-Р + ш1Р= ^ф-EAN,

12 П

(Д10.85)

AN - AN0

AN +

-ЕР,

Tvujo

где ANo — равновесное значение разности населенностей в отсутствие поля; І2 — время релаксации поляризации, Ті — время релаксации населенностей.

Итак, уравнения (Д10.85) описывают состояние среды, возникающее под действием резонансного светового поля. Вместе с волновым уравнением

1 Э2Е _ 4тг д2Р с2 dt2 с2 dt2

АЕ-

(Д10.86)

(см. ч. IV) эти уравнения составляют основную модель в теории лазера.

Двухуровневая квантовая система и классический осциллятор. Со­гласно (Д10.82), в отсутствие движения населенностей, когда

(Д10.87)

щ = const

(это условие выполняется при достаточно слабом поле Е), среднее значение электронной координаты х подчиняется уравнению осциллятора

(х) + ul(x) = const • Е. (Д10.88)

Таким образом, при не слишком сильном световом поле квантовое уравнение движения электрона переходит в классическое. С точки зрения теории этот факт является главным аргументом в пользу классической модели атома. Как показывает наш расчет, условием применимости классической модели являет­ся отсутствие заметного изменения населенностей квантовых энергетических уровней вещества под действием светового поля. При этом двухуровневая кван­товая система оказывается прямым аналогом классического гармонического осциллятора.

Физическая оптика

Из истории физической оптики

Цитаты из оригинальных работ Франкена, Бломбергена, Ахманова, Хохлова. Питер Франкен. Генерация второй оптической гармоники. Развитие импульсных рубиновых оптических мазеров1,2 сделало возможным получение монохроматических (6943 А) световых пучков, которые при фокусировке …

Нелинейная пространственная динамика световых полей

Самоорганизация светового поля в нелинейных системах с обратной связью. Оптическая синергетика. Оптическое моделирование нейронных сетей. В течение длительного времени в нелинейной оптике исследовались про­блемы временной динамики светового поля. При этом …

Оптика фемтосекундных лазерных импульсов

Предельно короткие импульсы света и сверхсильные световые поля. Генера­ция фемтосекундных световых импульсов. Новое поколение твердотельных фемтосекундных лазеров. Фемтосекундные технологии. Фемтосекундные ла­зерные импульсы в спектроскопии. Управление амплитудой и фазой молеку­лярных колебаний …

Как с нами связаться:

Украина:
г.Александрия
тел./факс +38 05235  77193 Бухгалтерия
+38 050 512 11 94 — гл. инженер-менеджер (продажи всего оборудования)

+38 050 457 13 30 — Рашид - продажи новинок
e-mail: msd@msd.com.ua
Схема проезда к производственному офису:
Схема проезда к МСД

Оперативная связь

Укажите свой телефон или адрес эл. почты — наш менеджер перезвонит Вам в удобное для Вас время.