Физическая оптика

Классическая физика излучения

Опыт. Герца. Атом как элементарный источник света. Классическая модель атома. Излучение заряда. Условия излучения. Расчет поперечной компонен­ты поля. Строгое решение задачи об излучении диполя. Гармонические коле­бания диполя. Полная мощность излучения диполя. Радиационное затухание.

Как и почему возникает световое излучение? Что является источником электромагнитных волн? Исчерпывающие ответы на эти вопросы в состоянии дать только квантовая теория. Более того, исследование именно этих вопросов и привело в свое время к открытию квантовых законов природы. Само понятие “квант” было впервые введено Максом Планком в связи с исследованием излу­чения нагретых тел. Тем не менее, обсуждение физики излучения мы начнем с классической модели, развитой Максвеллом, Лоренцем, Герцем. Достоинство этой модели — простота и наглядность, возможность объяснить излучение све­та исходя из законов электродинамики макроскопических тел. Следует отме­тить также, что многие выводы классической теории находят качественное, а иногда и количественное подтверждение в квантовой теории излучения.

Опыт Герца. Первоначально излучение электромагнитных волн было про­демонстрировано на установке, называемой “вибратором Герца”. Вибратор Герца представляет собой пару металлических стержней с шариками на кон­цах, расположенных вдоль одной прямой на небольшом расстоянии друг от друга (рис. 5.1). Стержни укреплены на изолирующих подставках и разделе­ны разрядным промежутком. Через высокоиндуктивные дроссели к стержням подводится постоянное высокое напряжение. Между стержнями происходит искровой высокочастотный разряд, при этом вибратор излучает электромаг­нитную волну. Это излучение можно зарегистрировать с помощью аналогично­го приемного вибратора (рис. 5.2).

Атом как элементарный источник света. Частота излучения вибратора Герца составляет 107 — 108 Гц. Частота видимого света на несколько порядков выше и составляет 1014 —1015 Гц. Возникает вопрос: существуют ли “вибраторы Герца” с такими частотами? Если да, то они могли бы излучать свет. Посколь­ку частота излучения возрастает при уменьшении размеров вибратора, можно предположить, что элементарный источник света обладает чрезвычайно малы­ми размерами. Была высказана идея, что таким источником может быть атом или молекула.

Классическая модель атома. Классический образ атома — пара разно­именных зарядов, связанных между собой упругой силой. Как могла бы выгля­деть такая система? Один из возможных вариантов показан на рис. 5.3. Здесь точечный положительный заряд +q расположен в центре атома (“ядро”), а от­рицательный заряд — q равномерно распределен внутри сферы, охватывающей ядро (“электрон”). Система находится в равновесии, если центр сферы совпа­дает с ядром (рис. 5.3, а). Если же центр сферы смещается относительно ядра, то возникает кулоновская возвращающая сила, пропорциональная величине смещения и стремящаяся вернуть атом в положение равновесия (рис. 5.3, б). Таким образом, заряды взаимодействуют подобно шарикам, связанным пру­жинкой (рис. 5.3, в).

Движение электрона относительно ядра описывается уравнением колеба­ний

1 6

х 4- - х + и&х =—Е, (5.1)

г тп

где е, тп — заряд и масса электрона, Е — внешнее электрическое поле, х — смещение электрона относительно положения равновесия; шо иг — частота и время затухания свободных колебаний электрона. Точка над буквой обознача­ет дифференцирование по времени. Важной характеристикой атома является дипольний момент

б)

Рис. 5.3. Классическая модель атома

/

------- •-----------

/

б)

Рис. 5.4. Картина силовых линий электрического поля точечного заряда при равно­мерном прямолинейном движении: v 4С с (а), и и с (б)

p(t) =ex(t).

Итак, согласно классической модели, атом представляет собой систему связан­ных зарядов, в которой электрон способен совершать колебания относительно ядра. Обсудим теперь механизм того, как колеблющийся в атоме электрон по­рождает электромагнитную волну.

Излучение заряда. Условия излучения. Попытаемся выяснить, при ка­ких условиях движение заряда может вызывать появление электромагнитной волны. Не обращаясь пока к уравнениям Максвелла, рассмотрим более эле­ментарную картину силовых линий.

Покоящийся или равномерно движущийся заряд не излучает. Хорошо из­вестно, что силовые линии электрического поля неподвижного заряда предста­вляют собой прямые лучи. Если заряд движется равномерно и прямолинейно, то силовые линии также имеют вид прямых лучей, направленных от мгновен­ного положения заряда. Поскольку силовые линии нигде не имеют “изломов”, при таком движении невозможно образование поперечной электромагнитной волны, необходимой для излучения.

Если скорость движения заряда много меньше скорости света, то электри­ческое поле описывается формулой

(5.2)

где г — радиус-вектор, проведенный из точки мгновенного положения заряда в точку наблюдения, ft = г/г — единичный вектор, направленный вдоль г. При скорости движения заряда близкой к скорости света электрическое поле выражается формулой (см. дополнение 6, формулу (Д6.117)):

где 0 = v/c, в — угол между векторами г и». Картины силовых линий элек­трического поля заряда, движущегося прямолинейно и равномерно, показаны на рис. 5.4.

К появлению поперечных компонент поля и излучению приводит ускоре­ние заряда. Рассмотрим теперь прямолинейное ускоренное движение заряда.

Допустим, что заряд q первоначально покоился, затем в течение промежутка времени At двигался с ускорением, а потом равномерно. Последовательность различных состояний движения заряда такова:

—оо < t < 0 заряд покоится в точке х = О,

О < t < At заряд движется вдоль оси х с постоянным ускорением а,

At < t < оо заряд движется равномерно со скоростью v = a At.

Предположим, что скорость заряда много меньше скорости света и рассмо­трим момент времени t 3> At. Картина силовых линий электрического поля заряда в этот момент показана на рис. 5.5. За пределами сферы с центром в начале координат и радиусом г = ct электрическое поле совпадает с по­лем заряда, покоящегося в начале координат. Это объясняется тем, что воз­мущение силовых линий, вызванное смещением заряда, распространяется в пространстве со скоростью света с и, следовательно, к моменту времени t не успевает выйти за пределы сферы радиуса ct. Внутри сферы меньшего ради­уса г' = c(t — At), центр которой находится в точке мгновенного положения заряда х « vt, электрическое поле совпадает с полем неподвижного заряда, расположенного в точке х. Следовательно, в области пространства, заключен­ной между двумя указанными сферами, силовые линии электрического поля заряда претерпевают излом (рис. 5.5).

Появление излома означает появление поперечной компоненты электриче­ского поля заряда. Именно эта компонента поля ответственна за излучение. Излом силовых линий распространяется в пространстве со скоростью света с. Согласно уравнениям Максвелла, переменное электрическое поле порождает вихревое магнитное поле. Поэтому распространяющиеся от заряда изломы си­ловых линий это фактически импульс электромагнитного излучения, распро­страняющийся в виде сферической волны.

Подчеркнем, что появление изломов силовых линий и, следовательно, излу­чения связало с ускорением заряда, поскольку силовые линии равномерно дви­жущегося заряда всюду прямолинейны. Таким образом, приходим к выводу, что причиной электромагнитного излучения является ускорение заряженных частиц.

Расчет поперечной компоненты поля. Рассмотренная выше модель движения заряда позволяет не только качественно объяснить механизм излуче­ния электромагнитных волн, но и количественно рассчитать электромагнитное поле, возникающее при ускоренном движении заряда.

Рассмотрим более детально одну из силовых линий электрического поля заряда в момент времени t At (рис. 5.6). Проведем радиус-вектор г из точки первоначального положения заряда (х = 0) в точку наблюдения поля. Смеще­ние заряда за время t можно приближенно записать в виде х = vt, поскольку при t » At выполняется неравенство a(At)2/2 vt. Обозначим через нц и vj. продольную и поперечную компоненты скорости заряда по отношению к на­правлению радиус-вектора г. Аналогичным образом введем продольную £ц и поперечную Ех. компоненты электрического поля. Из рис. 5.6 видно, что в обла­сти излома силовой линии продольная и поперечная компоненты поля связаны соотношением

TOC o "1-5" h z — = — (5 4)

..... „ £ц cAt' ( '

Используя формулы

Щ — 9Л-2! г = ct, v = aAt, v±_t = vt sin0, (5.5)

получаем

E, = (5.6)

Итак, мы вычислили поперечную компоненту электрического поля, связанную

с ускорением заряда. В формуле (5.6) а — ускорение заряда q, i расстояние

от заряда до точки наблюдения поля, в — угол между направлением ускоре­

ния и радиус-вектором, проведенным от заряда в точку наблюдения поля, с — скорость света.

В силу уравнений Максвелла, переменное электрическое поле порождает магнитное поле. Можно показать (см. дополнение 6), что для достаточно уда­ленной точки наблюдения магнитное поле перпендикулярно поперечной ком­поненте электрического поля и радиус-вектору г, а по абсолютной величине совпадает с электрическим полем (как и для плоской световой волны):

Н± = Ех. (5.7)

Пользуясь формулами (5.6), (5.7), можно вычислить плотность потока энер­гии электромагнитного излучения ускоренно движущегося заряда

S = ± ЕхЯі = (5.8)

Ате Ате&г*

Направление вектора 5 совпадает с г, т. е. поток энергии направлен от заряда. Из формулы (5.8) видно, что плотность потока энергии уменьшается пропор­ционально квадрату расстояния от заряда (при этом полный поток энергии сохраняется), а наиболее интенсивное излучение распространяется в напра­влении перпендикулярном ускорению заряда: 5тах = 5(0 = 7г/2). Из формул (5.6), (5.7) видно, что напряженность электромагнитного поля, излучаемого за­рядом, убывает пропорционально расстоянию от заряда г, что характерно для сферической волны.

Применяя полученные результаты к частному случаю колебательного дви­жения заряда, можно сделать вывод, что осциллирующий электрический заряд (или диполь) излучает в пространство сферическую электромагнитную волну, частота которой совпадает с частотой колебаний диполя.

Строгое решение задачи об излучении диполя. Имея ввиду клас­сическую модель атома, рассмотрим излучение пары электрических зарядов +q и —q, связанных между собой упругой силой. Такую систему будем назы­вать диполем. Основной характеристикой диполя является дипольний момент, определяемый формулой

Р = Цqifi = q№ - ъ), (5.9)

І

где г и г 2 — радиус-векторы зарядов. Динамика дипольного момента атома описывается уравнениями (5.1), (5.1а). В векторной форме можно записать

p(t) = f0 p(t), p(t) = qx(t), (5.10)

где fo — единичный вектор, направленный вдоль линии, соединяющей заряды.

Строгое решение задачи об излучении диполя может быть получено путем решений уравнений Максвелла с учетом переменного тока, вызванного движе­нием зарядов:

-* 1 ЭН

rot Ё =----------------------------------------- —, div Е = 47гр,

С? (5.11)

rot Я = - —■ + —j, div Н = 0. с ot с

Это решение имеет вид (см. дополнение 6)

Ё = ^ [”> [Я’^ ~ г/с)]] ’ й = - г/с)] . (5.12)

В формулах (5.12) г — радиус-вектор, проведенный от диполя в точку наблю­дения поля, п = г/г, с — скорость света, точка над буквой обозначает диф­ференцирование по времени. Решение (5.12) справедливо для так называемой дальней зоны, т. е. области пространства, находящейся от диполя на расстоянии много большем размера диполя и длины волны излучения.

Структура поля излучения диполя показана на рис. 5.7. Заметим, что она фактически совпадает со структурой поля, найденной выше на основе анализа картины силовых линий.

Гармонические колебания диполя. Вычислим энергетические характе­ристики излучения считая, что диполь совершает гармонические колебания:

x(t) = X coscjf. (5.13)

Используя формулы (5.10), (5.12), (5.13), получим

Е = eAcosco(t - г/с), Н = hAcosoj(t — г/с), (5-14)

где

■A=—§—sin$, е = -п, Я], Я = , (5.15)

err L J sm<?

в — угол между векторами п и х0. Формулы (5.14), (5.15) показывают, что

излучение диполя линейно поляризовано, причем вектор Е лежит в плоскости векторов п и lo, а вектор Й ортогонален этой плоскости (рис. 5.7). Вектор потока энергии

s=Ь И’ ■й] = ^ [е'*1 "(‘ - г/с)■

Учитывая формулы (5.15), можно записать

[е, = [Я, [n, j = nh2 = n.

Интенсивность излучения

сА2 q2X2w4

I = (S) =

8тг вяс^г2

Диаграмма направленности излучения показана на рис. 5.8.

Полная мощность излучения диполя. Используя формулу (5.18), не­трудно найти полную мощность излучения диполя, т. е. суммарную мощность излучения, испускаемого диполем во всех направлениях. Для этого следует проинтегрировать интенсивность излучения по поверхности сферы, охватыва­ющей диполь. Проведем вокруг диполя сферу радиуса г и введем углы сфери­ческой системы координат в, р (рис. 5.9). Задавая приращение углов d6, dp, получим на сфере элемент поверхности с площадью

da = г2 sin в сШ dip.

Полная мощность излучения диполя выражается формулой

В этой формуле q — заряд диполя, X и ш — амплитуда и частота колебаний, с — скорость света, Р — мощность излучения. Обратим внимание на сильную зависимость мощности излучения от частоты колебаний диполя.

Радиационное затухание. Излучал электромагнитные волны, диполь те­ряет энергию, что приводит к затуханию свободных колебаний. Затухание ко­лебаний атомного осциллятора, связанное с потерей энергии на излучение, по­

лучило название радиационного затухания. Время радиационного затухания можно оценить как отношение начальной энергии осциллятора к мощности из­лучения:

т = W/P. (5.22)

Из механики известно, что энергию гармонического осциллятора можно пред­ставить в виде

W = тш2Х2/2, (5.23)

где ш — масса осциллятора, X и ш — амплитуда и частота его колебаний. Под­ставляя (5.21) и (5.23) в (5.22), получим для времени радиационного затухания оценку

Зтс3 /_Л. ч

Т = (5'24)

Интересно оценить по этой формуле время затухания колебаний электрона в

атоме на оптической частоте. Полагал т = 9,1 х 10~28 г, с = 3 х Ю10 см/с, q = е = 4,8 х Ю-10 СГСЭ, ш = 4 х 1015 с-1, получим

г = 1(Г8 с. (5.25)

Итак, согласно нашей оценке, время высвечивания классического атома соста­вляет примерно 10-8 с. Экспериментальные исследования подтверждают этот результат.

Согласно уравнению (5.1), затухание свободных колебаний атомного осцил­лятора можно приближенно описать формулой

x(t) = х0е coswot (5.26)

или

x(i) = X cos u0t, (5-27)

где амплитуда колебаний

X = х0е~фт (5.28)

уменьшается с течением времени (рис. 5.10). Подставляя (5.28) в (5.23), нахо­дим закон изменения энергии осциллятора

W = W(i) = W0e~t/T, (5.29)

где

Wo = тпшІхЦ 2 = W(t = 0), (5.30)

Wo — начальная энергия осциллятора.

Заметим, что в масштабе периода световых колебаний (То « 10~15 с) умень­шение амплитуды колебаний происходит очень медленно (т и 10-8 с). Поэтому поле излучения отдельного атома можно приближенно записать в виде

E(t) = а0exp cos[w(i - і0) - Ф], (5.31)

где to — момент возбуждения колебаний (возбуждение атомного осциллято­ра может быть вызвано, например, столкновением атома с другим атомом или

электроном), аотлф — начальные амплитуда и фаза колебаний электрическо­го поля в точке наблюдения, шит — частота и время затухания свободных электронных колебаний. Зависимость поля излучения отдельного атома от вре­мени подобна зависимости, показанной на рис. 5.10. В фиксированной точке пространства поле излучения имеет вид модулированного колебания.