Физическая оптика

Излучение ансамбля осцилляторов

От динамики осциллятора к статистике ансамбля. Нелазерный источник света: интенсивность, поляризация, диаграмма направленности излучения. Статистика излучения независимых осцилляторов. Спектр излучения. Ме­ханизмы уширения спектральной линии. Естественное уширение. Доплеров - ское уширение. Уширение и сдвиг спектральной линии, обусловленные столк­новениями. Эффект Дики: столкновителъное сужение доплеровской спек­тральной линии в плотном газе.

От динамики осциллятора к статистике ансамбля. При описании из­лучения реальных источников света на первый план выходит проблема сумми­рования вкладов огромного числа отдельных осцилляторов (атомов, молекул). Эффективный путь решения этой задачи состоит в замене суммирования усред­нением и использовании правил статистики для вычисления средних.

Нелазерный источник света: интенсивность, поляризация, диа­грамма направленности излучения. Рассмотрим излучение совокупности осцилляторов в некоторой фиксированной точке пространства (рис. 6.1). На­пряженность светового поля в данной точке можно представить в виде

(6.1)

где N — число осцилляторов,

Ei = е, a, cos (wt — р і),

Еі — поле излучения отдельного осциллятора. Формулу (6.1) можно, очевидно, переписать в виде,

Ё = N(Ei)

где

(Ё{) — среднее по ансамблю осцилляторов значение поля. Вычислим эту ве-

личину, считая параметры е*, aі, рг независимыми случайными величинами. Получим

(Еі) = (еі)(аі)(cos(u>t - pi)) = О, поскольку фазы осцилляторов распределены равномерно (рис 6.2)

w(pi) = 1/27Г (-7Г < Pi < 7Г)

и, следовательно,

1- *

(sin^i) = Уsinipi dtpi = 0,

— 7Г

} (6-7)

(cos <pі) = / cos Pi w(Pi) dpi = 0,

— 7Г

(cos(tot - <^j)) = cosujt{cospi) + sinu;i(sm(^,) = 0.

Итак, вследствие хаотического распределения фаз среднее значение напряжен­ности светового поля, создаваемого ансамблем осцилляторов, оказывается рав­ным нулю. По этой же причине интенсивность излучения

/=^(Я2) (6.8)

оказывается равной сумме средних интенсивностей излучения отдельных ос­цилляторов:

I = N (іі), (6.9)

где

TOC o "1-5" h z </,) = ^(£,2), <s,2> = ^££?. (6-Ю)

t=l

В самом деле,

N N N N N

я2 = = £*?+£ £ =

t=l j'=l i=l *=l j^i=l

= N(Ef) + (АГ2 - N)(EiEj) — N{Ef). (6.11)

При выводе (6.11) мы использовали формулы (6.1), (6.5) и условие независи­мости осцилляторов

(ёгЁД = (EiHEj) (6.12)

Из (6.9) следует, что мощность излучения ансамбля осцилляторов равна сумме средних мощностей отдельных осцилляторов:

Р = N(Pi). (6.13)

Вследствие хаотической ориентации дипольных моментов осцилляторов диаг грамма направленности излучения изотропна.

Поляризация излучения. Спроектируем вектор Е, определяемый формулами (6.1), (6.2), на оси х, у, расположенные в плоскости фронта све­товой волны (рис. 6.1). Используя формулу Эйлера

COS (cut - tpi) = ^ exp [i(u)t — </9j)] + К. С., (6.14)

получим

Ех = ^£хеіші + К. с, Еу = ±£уеіші + к. с., (6.15)

где

TOC o "1-5" h z N N

£Х — ) ' £хі, £у - У ] Syi,

1=1 i= 1

£xi = COS СХійі exp (—І<Рі) , £yi = sin QjOi exp,

ai — угол между вектором e, и осью х (рис. 6.3).

Вычислим матрицу когерентности излучения (см. ч. I)

- <м;>

V (£„£;) (£,£,;> )

Подставляя (6.16) в (6.17) и используя процедуру, подобную (6.11), найдем

(6.18)

При выводе (6.18) мы считали величину а, случайным параметром с плотно­стью вероятности

w{ai) = 1/2тг (—7г <оц< я).

Выражение (6.18) для матрицы когерентности показывает, что излучение ан­самбля осцилляторов имеет естественную поляризацию (см. ч. I). Такое состо­яние поляризации излучения, очевидно, есть следствие хаотичной простран­ственной ориентации дипольных моментов осцилляторов.

Статистика излучения независимых осцилляторов. Запишем поле из­лучения ансамбля осцилляторов в виде

Ё — xqEx + уоЕу,

где

(6.21)

Рассмотрим одну из компонент поля, например Ех. Выражение для Ех можно записать так:

Ех = a cos uit. + b sin ut,

где параметры а и Ь называются квадратурными компонентами колебания Ех и определяются формулами

(6.23)

Помимо квадратурных компонент для характеристики поля Ех введем поня­тия огибающей, фазы и интенсивности. Огибающая А и фаза ц> колебания Ех определяются формулой

Ех = Acos(<Ajt — ф) (А > 0). (6-24)

Интенсивностью I назовем величину

л р А 2

, = S£*! = TSr - <6-25>

где знак “ ~ ” обозначает усреднение по периоду световых колебаний Т — 2ж/ш, т. е.

t+T

1

El

= f J E2X dt. (6.26)

Из (6.22), (6.24) следует, что

a — Acosip, b = Asimp. (6-27)

Будем считать параметры а*, а*, pi в формулах (6.21), (6.23) случайными величинами. Тогда, как видно из (6.22), (6.23), (6.25), (6.27), параметры Ех, а, b, А, <р, I также будут случайными. Найдем распределения вероятности для этих величин.

Отдельные осцилляторы нелазерного источника света излучают свет неза­висимо друг от друга. Это дает основание считать параметры с*і, а*, ірі ста­тистически независимыми. Обратившись к формулам (6.21), (6.23), видим, что напряженность светового поля Ех, а также квадратурные компоненты а и Ь представляют собой суммы большого числа независимых случайных величин. В силу центральной предельной теоремы теории вероятностей это означает, что Ех, а, b имеют гауссово распределение вероятности:

"(E’)=^b“p (■!!)• (6-28)

”<<,) = ;ж“р= <6-29)

Здесь обозначено (Ех) = а2 и учтено, что

{Ех) = (а) = (Ь) = 0, (а2) = (b2) = (Ех), (аЬ) = 0. (6.30)

Считая квадратурные компоненты статистически независимыми, найдем двумерную плотность вероятности

д; w(a, b) = w(a)w(b). (6.31)

Подставляя (6.29) в (6.31), получим

wM = 2baP(-^-)- (6'32)

Далее нетрудно найти распределения вероятностей w(A), w(p), w(I). Исполь­зуя правило замены переменных в распределении вероятностей (см. дополне­ние 7) и формулы (6.25), (6.27), (6.32), получаем

(6.33)

(6.34)

(6.35)

(6.36)

(I) = j Iw(I)dI,

о

(I) — средняя интенсивность. Распределение вероятности вида (6.34) называ­ется распределением Рэлея.

Суммируя результаты этого раздела, отметим, что основные характеристи­ки излучения нелазерного (например, теплового) источника света имеют следу­ющие распределения вероятности: напряженность светового поля и ее квадра­турные компоненты — гауссово распределение, огибающая — распределение Рэлея, фаза — прямоугольное распределение, интенсивность — экспоненци­альное распределение. Графики соответствующих плотностей вероятности по­казаны на рис. 6.4.

Спектр излучения. Излучение ансамбля независимых осцилляторов есте­ственно рассматривать как стационарный случайный процесс. В этом случае спектр излучения определяется теоремой Винера-Хинчина (см. дополнение 8)

(6.38)

где

B(r) = (Ex(t)Ex(t + T)),

В(т) — корреляционная функция светового поля.

Запишем Ex(t) в виде суммы полей, испускаемых отдельными осциллято­рами:

(6.40)

Тогда

Ex(t)Ex(t + т) = N(Exj(t)Exj(t, + т)),

Рис. 6.4. Распределения вероятности, характеризующие излучение нелазерного ис­точника света

где N — полное число осцилляторов, угловые скобки обозначают усреднение по ансамблю осцилляторов. При выводе (6.41) мы учли независимость осцил­ляторов и заменили суммирование сатистическим усреднением. Смысл этой операции можно выразить формулой

1 N

Jj Exj(t)Exj(t + т) = (Exj(t)Exj(t + т)) = Во(т). (6.42)

3=1

Подставляя (6.41), (6.42) в (6.38), (6.39), получаем формулы

В{т) = NB0(t), (6.43)

S(lj) = JVSoM,
где

ОО

So И = ^ J Во(т)єГішгсіт, (6.45)

— ОО

или, в силу четности корреляционной функции,

оо

So и = і J в0(т) (eiWT + е~ішт) dr. (6.45а)

о

Таким образом, расчет спектра излучения сводится к вычислению корреляци­онной функции Во(т), определяемой формулой (6.42).

Механизмы уширения спектральной линии. Как видно из формул

(6.38) , (6.42), (6.43), частотный спектр излучения определяется характером из­менения во времени напряженности светового поля EXj(t). Вид этой зависимо­

сти, в свою очередь, определяется такими физическими факторами как радиа­ционное затухание колебаний, тепловое движение осцилляторов, столкновения, сбивающие фазу колебаний, разброс осцилляторов по частотам и т. п. Каждый из этих факторов обусловливает свой механизм уширения спектральной линии: естественное, доплеровское, столкновительное, неоднородное уширения и т. п. Рассмотрим некоторые из этих механизмов.

Естественное уширение. Этот, наиболее фундаментальный, механизм уширения спектральной линии обусловлен радиационным затуханием колеба­ний излучающего осциллятора.

Представим излучение осциллятора в виде последовательности вспышек стандартной формы F(t), возникающих в случайные моменты времени tpj. То­гда можно написать

П

Exj{t) = Y, F{t-tpj), (6/46)

Р=1 ;

где п — число вспышек (импульсов) за некоторое время Т. Процесс вида (6.46) называется случайной импульсной последовательностью, и нам необходимо вычислить корреляционную функцию этого процесса.

Исходя из физической картины излучения ансамбля независимых осцил­ляторов, возбуждаемых, например, за счет столкновений, можно сделать неко­торые предположения относительно статистических характеристик случайного процесса EXj (t). А именно, будем считать, что отдельные импульсы появляются независимо друг от друга, случайные моменты времени tpj имеют равномерное распределение вероятности на интервале времени 0 < t < Т, число импуль­сов п есть независимая случайная величина, подчиняющаяся распределению Пуассона. Кроме того предположим, что длительность отдельного импульса значительно меньше времени наблюдения Т, а среднее значение функции F(t) равно нулю. Тогда

Во(т) = n{F(t - tpj)F{t + т - tPj)), (6-47)

или

оо

Во(т) = % J F(9)F(9 + r)d9,

— ОО

где п — среднее число импульсов, испускаемых осциллятором за время Т. Под­ставляя (6.48) в (6.45), получим

ОО

5оИ = 7 // FW F(0 + т)е~™т<1в<1т

—оо

00

= - f d9F(9)eiu, e f F(9 +т)е-іи{в+т)dr = -|F(w)|2, (6.49)

7Г J J 7Г

—oo

F(w) — спектральная амплитуда, определяемая формой отдельного импульса.

Итак, мы приходим к выводу, что спектр случайной импульсной последова­тельности определяется спектральной плотностью отдельного импульса. Физи­чески это связано с тем, что случайный момент появления импульса, как легко показать, не влияет на его спектральную плотность.

В частности, полагая

F(t) = a(t) cosw0t,

где

(6.52)

wo — собственная частота, т — время радиационного затухания колебаний осциллятора, получим

(6.53)

Таким образом, естественный спектр имеет лоренцеву форму, центральную ча­стоту wo и ширину Г = 1/т (рис. 6.5). Мощность излучения пропорциональна числу осцилляторов N, а также средней частоте вспышек отдельного осцилля­тора П. Поскольку в оптическом диапазоне т = 10-8 с (см. лекцию 5), типичная величина естественного уширения составляет

Д/е = Г/2тг = 1,6 х 107 Гц.

На практике, однако, редко можно наблюдать столь узкие спектральные ли­нии. Обычно естественное уширение маскируется другими, более сильными ме­ханизмами уширения. Одним из них является доплеровский механизм.

Доплеровское уширение спектральной линии обусловлено хаотическим тепловым движением атомов или молекул. Оно наиболее характерно для раз­реженных газообразных светящихся сред. В частности, доплеровский спектр имеет излучение, испускаемое в боковых направлениях газоразрядной трубкой гелий-неонового лазера.

Вычислим форму и ширину доплеровской спектральной линии. Излучение ансамбля осцилляторов будем, как и прежде, описывать формулой (6.40). При­нимая во внимание тепловое движение частиц и пренебрегая (для простоты) радиационным затуханием колебаний, запишем

Exj = ао cos(w0і - k0Zj), (6.55)

где ко = wo/с — волновое число световой волны, zj — координата осциллятора по отношению к оси z, проведенной от источника света в точку наблюдения (рис. 6.1). В отсутствие столкновений, изменяющих скорость молекулы,

Zj — Zj (/) — zoj - f - vzjt, (6.56)

где t — время, z0j — начальная координата, vzj — скорость данной молекулы в проекции на ось z. Подставив (6.56) в (6.55), получим

EXj(t) = оо cos(wjt - ipj), (6.57)

где

ipj = k0z0j, Wj = w0 - kovZj. (6.58)

Для вычисления корреляционной функции (6.42) предположим, что случайные величины zoj и vzj статистически независимы, а фаза распределена равно­мерно на интервале периодичности —п < ipj < я, т. е. w(<pj) = 1/2ж. Нетрудно показать, что в этом случае

2 2

В0(т) = ^(cosiOjT) = ^(exp (iw^r)) +К. С. (6.59)

Подставляя (6.58) в (6.59), получим

А>(т) = ехр(гш0т)(exp(-ikQvZjT)) +к. с.

Декартова компонента скорости газовой молекулы имеет гауссово распределе­ние вероятности

= —7S=exp i~v2zj/2al), £Г„/27Г

где

= kT/m,

о — дисперсия тепловой скорости, к — постоянная Больцмана, Г — абсолют­ная температура газа, т — масса молекулы. Следовательно,

(exp{-ik0vzjT)) = exp ^-^CTt2r2j (6.63)

SHAPE * MERGEFORMAT

В0(т) = ^ exp ^ICJqT -

Наконец, подставляя (6.64) в (6.45), получаем (в области положительных ча­стот):

Функция Sq(lu) изображена на рис. 6.6.

Итак, доплеровская спектральная линия имеет вид гауссовой кривой с цен­тром на частоте шо и полной шириной по полувысоте

Оценим доплеровскую ширину спектральной линии излучения гелий-неонового лазера. Полагая Л = 6328 A, m = 3 х 10-23 г (масса атома неона), Т — 300 К, к = 1,38 х 10~16 эрг/град, с = 3 х Ю10 см/с, получим по формуле (6.66):

A/d = Ю9 Гц, или Аии = 0,04 см-1, или ДАо = 0,016 А. (6.67)

Заметим, что доплеровское уширение примерно на два порядка превышает естественное уширение спектральной линии.

і

Уширение и сдвиг спектральной линии, обусловленные столкно­вениями. При столкновении излучающего осциллятора с другой частицей, осциллятор испытывает внешнее силовое воздействие, которое модулирует ча­стоту и вызывает сбой фазы колебаний. Столкновения, быстро следующие одно за другим, приводят к случайной фазовой модуляции колебаний, что, в свою очередь, вызывает уширение спектральной линии излучения.

Оценим величину столкновительного уширения. Для этого запишем поле излучения осциллятора в виде колебания со случайно модулированной фазой

EXj(t) = a0cos[u;o£ + <fij{t)]. (6.68)

Подставляя (6.68) в (6.42), получим

а2

В0(т) = - j-ехр (ш0т) (ехр[гД^-(і, т)]) + к. с., . (6.69)

где

Дtpj (t, т) = ipj(t + т) - ipj (t), (6.70)

Atpj (t, r) — фазовый набег за время т.

Будем считать <pj(t) стационарным случайным процессом. Тогда среднее в формуле (6.69) не зависит от t и можно обозначить

(exp[iAv? j(t, T)]) = 6(т). (6.71)

Рассмотрим бесконечно малый промежуток времени dr и вычислим дифферен­циал функции Ь(т% Используя (6.70), (6.71), получим

db(r) = (exp [iA(pj(t, r) (ei£ - 1)), (6.72)

где

є = Д<pj(t, т + dr) - Ay>j(t, г), (6.73)

є — набег фазы за время dr.

Предположим далее, что приращение фазы в результате столкновения ни­как не связано с фазой колебания до столкновения. Тогда величины Aipj и е можно считать статистически независимыми и записать

ой>(т) = Ь(т)(еіг - 1). (6.74)

Усреднение по ансамблю частиц в формуле (6.74) можно заменить усреднени­ем по параметрам, характеризующим процесс столкновения. Главным из этих параметров является принципиальное расстояние R, которое определяется как минимальное расстояние между центрами масс сталкивающихся частиц. Вы­полним усреднение по этому параметру.

Пусть газ имеет плотность N, а средняя скорость относительного движений частиц равна (v). Тогда за время dr осциллятор испытывает

dn = 2ж N(v)R dR dr (6.75)

столкновений, для которых прицельный параметр лежит в области от R до R + dR. Обозначим через e(R) набег фазы в результате столкновения, харак­теризуемого прицельным параметром R. Тогда можно записать

ОО

(е* - 1) = 2irN{v)dT J |>(я) - l] RdR (6.76)

или

{eis - 1) = —N{v)dr(cri - ia2), (6.77)

где

oo oo

cri = 2ж J [1 — cos є(R)]RdR, o2 = 2ж J sin e(R)RdR. (6.78)

Подстановка (6.77) в (6.74) приводит к следующему дифференциальному урав­нению для функции 6(т):

db(r) = —b(r)N(v)(ai - io2)dr, (6.79)

откуда

Ь(т) = exp [~N(v)(ai - гсг2)т]. (6.80)

Теперь нетрудно вычислить спектр излучения. Используя формулы (6.45), (6.69), (6.71), (6.80) и учитывая четность корреляционной функции, получаем (для области положительных частот)

олл_£о___________________________________ N(v)tr і

> 2тг (и-ио - N(v)a2)2 + (N(v)ах)2' ( }

Формула (6.81) показывает, что спектр излучения, обусловленный упругими столкновениями осцилляторов, имеет лоренцеву форму, ширину

Дшст = 2N(v)a1 . (6.82)

и сдвиг центра линии

5ш = N(v)a2. (6.83)

Как ширина, так и сдвиг спектральной линии излучения пропорциональны плотности газа N и средней скорости относительного движения частиц (и).

Эффект Дики: столкновительное сужение доплеровской спек­тральной линии в плотном газе. Расчет доплеровского уширения спек­тральной линии, выполненный выше, был сделан в предположении, что тепло­вые скорости молекул не меняются с течением времени. Это допущение оправ­дано для газов низкой плотности, в которых столкновения между молекулами
сравнительно редки и молекулы имеют возможность свободно перемещаться на большие расстояния. Если же плотность газа повышается, то столкновения ме­жду молекулами происходят чаще, что ограничивает возможность свободных перемещений осцилляторов. В очень плотных газах, а также в конденсирован­ных средах осцилляторы практически локализованы. Естественно, что изме­нение характера движения осцилляторов (от свободного к локализованному) должно привести к изменению формы и ширины спектральной линии излуче­ния. В этом пункте мы рассмотрим вопрос о том, как изменяется доплеровский спектр излучения при повышении плотности газа.

Обобщая формулу (6.56) на случай, когда скорость молекулы изменяется с течением времени, запишем

t

Zj = Zj{t) = z0j + J vzj(0)d0. (6.84)

о

Подставляя (6.84) в (6.55), получим

EXj = a0 cos Ці - <Pj(t)], (6.85)

где

t

<Pj(t) = koz0j + ко JvZj{6) dB. (6.86)

о

По формуле (6.42) находим

a2

В0{т) = exp (ш0т) (exp [-iAipj(t, т)]) - I - к. c., (6.87)

где

t+r

A<Pj(t, r) = (fj(t + t) - ipj(t) = ко J vzj{6)dB. (6.88)

t

Тепловую скорость молекулы v~j (t) естественно рассматривать как стацио­нарный случайный процесс. В этом случае среднее в формуле (6.87) не зависит от і и можно обозначить

<ехр[—iAipj{t, T)]) =Ь(т).

Случайный процесс vZj (t) имеет нулевое среднее значение и гауссово распреде­ление вероятности. Известно, что при линейных преобразованиях гауссова шу­ма его статистика сохраняется. Следовательно, случайный процесс Дpj(t, T), связанный с vZj(t) линейным преобразованием (6.88), есть также гауссов про­цесс с нулевым средним. Отсюда

Ь(т) = ехр

Подставив (6.88) в (6.90), получим
или

т

(Д<p2(t, T)) = 2k2 J(т - e)Bv(9)de, (6.92)

о

где

Bv[6) - (vzj{t)vzj(t + в)), (6.93)

Bv (в) — корреляционная функция тепловых скоростей молекул. Эта функция

характеризуется двумя основными параметрами: дисперсией а2 = кТ/тп и вре­

менем корреляции т„ тепловых скоростей. Смысл этих параметров иллюстри­рует рис. 6.7. Пользуясь этим рисунком и формулами (6.90), (6.92), нетрудно показать, что

~(к0а „т)2

т «С т„,

ехр [-(т - T0)klD], т » Ту,

где

оо оо

D = J Bv{r)dr = cr2rv, т0 = D'1 J TBv(r)dT.

о

Параметр D называется корреляционной постоянной или коэффициентом диф­фузии. Первую формулу (6.95) можно рассматривать как определение времени корреляции т„.

Проанализируем полученные результаты. В предельном случае сильно раз­реженного газа, когда столкновения между молекулами отсутствуют, можно положить tv = оо. В этом случае, как видно из формул (6.87), (6.94), для Во(т) восстанавливается выражение (6.64) и, следовательно, спектр излучения опи­сывается формулой (6.65). Таким образом, рассматриваемая модель правильно описывает предел низких давлений газа.

В противоположном предельном случае т„ -*■ 0 (плотный газ) из (6.45),

(6.87) , (6.89), (6.94) получаем (для области положительных частот):

а Г( Л._ а0 k%Dexp(T0k%D)

Как видно из этой формулы, спектр излучения имеет лоренцеву форму и ши­рину

Аш = 2 k20D = 2kl<j2vTv. (6.97)

Время корреляции тепловых скоростей (время свободного пробега молекул га­за) уменьшается с ростом плотности газа N согласно формуле

г"1 = N(v)S, (6.98)

где (v) — средняя тепловая скорость относительного движения, 5 — газокине­тическое сечение молекул. Поэтому по мере увеличения плотности газа спек­тральная линия излучения будет становиться все более узкой. Этот эффект получил название “столкновительное сужение спектральной линии” или “эф­фект Дики” — по имени американского физика Р. Дики, впервые исследовав­шего его в 1953 г.

Для того чтобы вычислить спектр излучения при произвольном давлении газа, следует задаться определенной моделью корреляционной функции тепло­вых скоростей молекул. Пусть, например,

Bv(t) = ехр (-|т|/т„). (6.99)

Тогда по формулам (6.90), (6.92) получим

Ь(т) = ехр [—/3(у - 1 + e-w)] , (6.100)

где

Р = (koovrv)2, у = t/tv. (6.101)

Спектр излучения определяется формулами (6.45а), (6.87), (6.89), (6.100).

На рис. 6.8 показана зависимость ширины спектральной линии спонтанного комбинационного рассеяния в водороде от давления газа. Хорошо видно суже­ние спектральной линии в области давлений 0,1-3 атм, обусловленное эффек­том Дики. Уширение спектральной линии при высоких давлениях обусловлено столкновительным механизмом.