Физическая оптика

Дифракция на периодических структурах

Дифракционные решетки. Физика дифракции света на решетке. Уравнение дифракционной решетки. Математическое описание дифракции плоской вол­ны на решетке. Синусоидальная решетка. Ограниченная синусоидальная ре­шетка. Прямоугольная амплитудная решетка. Дифракция на двумерных пе­риодических структурах. Дифракция на трехмерных периодических струк­турах. Дифракция рентгеновских лучей в кристаллах. Рентгеновский струк­турный анализ.

Дифракция света на периодических структурах отличается резким, кон­трастным характером наблюдаемой дифракционной картины. Данное явление используется для измерений длины световой волны, а также для анализа спек­трального состава оптического излучения. В опытах по дифракции лазерного луча на дифракционной решетке наиболее отчетливо проявляется основная закономерность фраунгоферовой дифракции — формирование в дальней зо­не устойчивой угловой структуры поля, повторяющей форму углового спектра пучка. Дифракция рентгеновских лучей в кристаллах доказывает волновую природу этих лучей и является мощным инструментом исследования структу­ры кристаллов.

Дифракционные решетки. Дифракционная решетка представляет собой пространственную периодическую структуру, период которой соизмерим с дли­ной световой волны. Поскольку пространственная периодическая структура характеризуется дискретным угловым спектром, можно ожидать, что плос­кая волна, прошедшая через решетку, преобразуется в дискретный набор плос­ких волн, распространяющихся под разными углами относительно направле­ния распространения исходной волны. Опыт по дифракции лазерного пучка на дифракционной решетке подтверждает этот вывод: картина дифракции имеет характерный вид дискретного набора — “веера” световых лучей (рис. 16.1).

Различают пропускательные и отражательные, а также амплитудные и фа­зовые решетки. Пропускательные решетки работают на пропускание света, от­ражательные — на отражение. Амплитудные решетки пространственно моду­лируют амплитуду, а фазовые — фазу световой волны. Простейшая амплитуд­ная пропускательная решетка представляет собой систему щелей в непрозрач­ном экране (рис. 16.2, а). Отражательную амплитудную решетку изготавлива­ют путем нанесения штрихов на плоское или вогнутое зеркало (рис. 16.2, в). Фа­зовая решетка может представлять собой профилированную стеклянную пла­стину (пропускательная решетка — рис. 16.2, б) или профилированное зеркало (отражательная решетка — рис. 16.2, г).

Физика дифракции света на решетке. Элементарную теорию дифрак­ции света на решетке можно дать на основе представлений Гюйгенса-Френеля об интерференции вторичных волн.

Рассмотрим дифракцию плоской монохроматической световой волны на пе­риодической системе щелей, образующей амплитудную пропускательную ре­шетку (рис. 16.3). Процесс дифракции состоит в следующем. Падающая на решетку световая волна создает в щелях когерентные (сфазированные) источ­ники вторичных световых волн. Результирующее световое поле образуется в

результате интерференции этих волн. На рис. 16.3 показаны волновые фронты вторичных источников Гюйгенса. Продолжая построение, можно заметить, что точки пересечения волновых фронтов, т. е. точки синфазного сложения полей, выстраиваются в прямые линии, образующие в пространстве дискретный набор направлений, вдоль которых вторичные волны усиливают друг друга. В этих направлениях и формируются главные максимумы дифракционной картины. В то же время для всех остальных направлений интерференция вторичных волн носит деструктивный характер, т. е. фазовые соотношения между волнами та­ковы, что волны гасят друг друга. В результате узкие главные максимумы дифракционной картины оказываются разделенными широкими темными про­межутками. Так возникает “веер” лучей, наблюдаемый в опыте с лазерным пучком и дифракционной решеткой (рис. 16.1).

Уравнение дифракционной решетки. Пользуясь френелевскими пред­ставлениями об интерференции вторичных волн, нетрудно определить напра­вления на главные максимумы дифракционной картины. Очевидно, это будут те направления, для которых разность хода лучей, идущих от соседних щелей, кратна длине волны.

Обозначим период решетки буквой d. Из рис. 16.4 видно, что разность хода лучей, идущих от соседних щелей в направлении 0, равна d sin в. Следовательно, направления на главные максимумы определяются уравнением

dsin0 = mA, (16.1)

где т = 0, ±1, ±2,... и А — длина световой волны. Уравнение (16.1) называют уравнением дифракционной решетки.

Дифракция плоской волны на пропускательной решетке схематически по­казана на рис. 16.5. Лучи, идущие в разных направлениях, соответствуют раз­личным значениям числа m в формуле (16.1) или, как говорят, различным порядкам дифракции. Так, луч света, проходящий в прямом направлении, на­зывают нулевым порядком, ближайшие к нему отклоненные лучи — “первым”, и “минус первым” порядками и т. д. Как видно из уравнения решетки (16.1),

Рис. 16.4. К расчету направлений на главные максимумы дифракционной картины. Жирной линией показана разность хода лучей, идущих от соседних щелей решетки в направлении в
порядок дифракции указывает на то, сколько длин волн составляет разность хода лучей, идущих от двух соседних щелей решетки в данном направлении в.

Уравнение дифракционной решетки (16.1) позволяет сделать важные выво­ды. Во-первых, из этого уравнения следует, что решетка будет давать заметную дифракцию (значительные углы отклонения в) только в том случае, если пе­риод решетки соизмерим с длиной световой волны, т. е.

d ~ А ~ 10-4 см. (16.2)

Следовательно, оптическая дифракционная решетка должна иметь число штрихов (щелей) на миллиметр порядка 102 — 103. Изготовить такую решет­ку — сложная техническая задача. Поэтому неслучайно, что первые дифрак­ционные решетки хорошего качества появились лишь в XIX в. Из (16.1) следует, что решетка с мелким периодом должна отклонять лучи сильнее, чем решет­ка с крупным периодом. Вместе с тем, решетка со слишком мелким периодом (период меньше длины волны) вообще не будет давать дифракции, так как согласно (16.1) через такую решетку может проходить только неотклоненная волна (тп = 0, в = 0).

Во-вторых, из уравнения (16.1) следует, что положение главных максимумов дифракционной картины зависит от длины волны. Поэтому, если направить на решетку пучок немонохроматического излучения, то разные спектральные со­ставляющие излучения будут отклоняться решеткой на разные углы. Отсюда вытекает возможность использовать дифракционную решетку как спектраль­ный прибор, который, подобно призме, осуществляет пространственное разло­жение немонохроматического излучения по длинам волн.

Оба эти вывода подтверждаются экспериментом, в котором пучок излуче­ния аргонового лазера пропускается через дифракционные решетки с разным числом штрихов на миллиметр (рис. 16.6). Последовательно вставляя в лазер­ный пучок разные решетки, можно наблюдать увеличение углов отклонения лучей при уменьшении периода решетки. Так, при использовании решетки с числом штрихов 50/мм наблюдаем на экране большое количество дифракци­онных максимумов, отстоящих друг от друга на небольшие углы. Если вблизи решетки создать мутную среду, например напустить табачного дыма, то стано­вится отчетливо виден “веер” световых лучей, распространяющихся от решетки по разным направлениям. Решетка с числом штрихов 200/мм дает значительно более редкую картину максимумов, при этом число видимых максимумов ста-

• • • • • • • • • 600

Рис. 16.6. Опыт по наблюдению дифракции света на дифракционной решетке и вид дифракционных картин, наблюдаемых при использовании решеток с разным числом щелей на миллиметр,

новится значительно меньше. Наконец, решетка с числом штрихов 600/мм дает всего 3-4 максимума, разнесенных на большие углы. В последнем случае хо­рошо заметна спектральная структура излучения аргонового лазера (зеленые и желто-зеленые пятна). Из этого опыта видно, что дифракционная решетка с достаточно малым периодом может работать как сильный спектральный при­бор — анализатор спектра. Именно в этом качестве дифракционные решетки используются в современных спектрометрах.

Дифракционная решетка была изобретена в 1821 г. Фраунгофером. Первые решетки Фраунгофер изготавливал из проволоки, намотанной на два парал­лельно расположенных винта. Таким образом ему удалось получить решетки с числом штрихов от 40 до 340 на дюйм. Уже с этими решетками Фраунгофер определил длину волны D-линии натрия — 5886 А. Для изготовления более совершенных решеток Фраунгофер перешел к нанесению штрихов на тонком золотом слое, покрывавшем стекло, а затем непосредственно на стекле (ал­мазом). Лучшая решетка Фраунгофера была шириной в 1/2 дюйма и имела период около 3 мкм (8000 штрихов на дюйм). Фраунгофер указал на прин­ципиальную возможность изготовления отражательных решеток, хотя все его решетки работали как пропускающие.

Переход от примитивных решеток Фраунгофера к современным дифракци­онным решеткам явился сложной технической задачей, в решении которой при­нимали участие многие исследователи. Важный шаг был сделан Роуландом, построившим специальные делительные машины для изготовления тончайших решеток большого размера. Роуланд первым стал делать вогнутые отражатель­ные решетки, выполняющие одновременно роль решетки и собирающей линзы. Решетки Роуланда имели до 20000 штрихов на дюйм при ширине до 10 см и превосходном качестве. Дальнейшие усовершенствования в машинах Роуланда ввели Андерсон, Вуд и др.

В современных спектрометрах обычно используют отражательные решетки с треугольным профилем штриха — так называемые эшелетты (рис. 16.2, г),

Рис. 16.7. Схема изготовления голографической дифракционной решетки

концентрирующие до 70-80% падающего на решетку света в дифракционный максимум какого-либо одного ненулевого порядка. Изготавливаются решетки для различных областей спектра, от инфракрасной (А » 1 мкм) до ультрафи­олетовой (A w 100 нм) и ближней рентгеновской (А « 1 нм), с размерами до 400 х 400 мм2 и с числом штрихов (в зависимости от области спектра) от 4 до 3600 на миллиметр. Широкое распространение получили копии с гравирован­ных решеток (реплики), которые получаются путем изготовления отпечатков решеток на специальных пластмассах с последующим нанесением на них ме­таллического отражающего слоя. По качеству реплики почти не отличаются от оригиналов.

В 70-х гг. была разработана новая технология изготовления решеток, осно­ванная на интерференции лазерного излучения. В результате интерференции двух когерентных лазерных пучков создается периодическое распределение ин­тенсивности света в пространстве, которое записывается на специальном фо - точувствительном материале. Такого рода решетки, называемые голографиче­скими, имеют высокое качество и изготавливаются для видимой и ультрафи­олетовой областей спектра с числом штрихов от 600 до 6000 на миллиметр и с размерами до 600 х 400 мм2. Схема изготовления голографической дифракци­онной решетки показана на рис. 16.7.

Нетрудно рассчитать период голографической решетки. Запишем электри­ческое поле двух неколлинеарных плоских волн (лазерных пучков) в виде

Е = Acos(ut - kr) + j4cos(w< - к^г). Тогда интенсивность результирующего поля

I = 270[1 - I - cos(Akf)],

Рис. 16.8. К анализу картины дифракции при наклонном падении лучей на решетку

2 sin а

Как видно из этой формулы, период голографической решетки имеет порядок длины световой волны и может варьироваться при изменении угла а. Ясно, что для изготовления качественных решеток необходимо лазерное излучение с высокой степенью когерентности.

Наклонное падение лучей на решетку. Выше мы рассмотрели случай нормального падения плоской волны на дифракционную решетку. Те­перь обобщим наше рассмотрение на случай наклонного падения. Обозначим угол падения через во, а угловую координату точки наблюдения, как и прежде, будем обозначать 6 (рис. 16.8). Приравнивая разность хода лучей, идущих от соседних щелей решетки в направлении в, целому числу длин волн, получим уравнение

d( sin 9 - sin 60) = mA,

где ш = 0, ±1, ±2,... и d — период решетки. Формула (16.3) определяет напра­вления на главные максимумы дифракционной картины при наклонном па­дении. Из нее следует, что при скользящем падении, когда угол во близок к прямому,

во « я/2,

даже грубая решетка, период которой много больше длины световой волны, может давать заметную дифракцию. В самом деле, полагая d » Л, получим из

(16.3) 6 к, 6о и следовательно,

(0_0о) cog ^0 + 00^ ^ (в - 0о) COS0O

— d cos во ^ ',-

<4 — эффективный период решетки. В силу (16.4) (L, < d, т. е. эффективный период может быть много меньше d. Это и создает условия для возникновения дифракции.

Сказанное подтверждает опыт, показанный на рис. 16.9, в котором наблю­дается дифракция света на граммофонной пластинке. В этом опыте концен­трически расположенные бороздки звукозаписи выполняют функции штрихов отражательной дифракционной решетки. Период такой решетки значительно превышает длину световой волны. Тем не менее, располагая пластинку почти параллельно световому лучу, удается наблюдать дифракцию. Дифракция про­является в том, что пучок белого света, отражаясь от пластинки, приобретает радужную окраску.

Отражательная решетка. Отражательная решетка представляет со­бой зеркало со штрихами. Изготовить такую решетку проще, чем пропуска - тельную, поэтому отражательные решетки получили широкое распростране­ние. Как и решетки, работающие на пропускание света, отражательные решет­ки могут быть амплитудными и фазовыми. Примеры отражательных решеток показаны па рис. 16.2, в, г.

Математическое описание дифракции на отражательных решетках подоб­но изложенному выше для пропускательных решеток. В частности, уравнение отражательной решетки имеет вид (16.3), где во — угол падения, в — угол отражения света (рис. 16.10).

Отражательные решетки имеют следующую полезную особенность. Подби­рая форму штриха, можно добиться перераспределения энергии между раз­личными порядками дифракции. В частности, можно сделать наиболее ярким

Желтый Зеленый

Рис. 16.11. Спектр излучения ртутной лампы, полученный с помощью отражательной дифракционной решетки

не нулевой, а первый или второй порядок дифракции. Такие решетки назы­ваются эшелеттами, они широко применяются в оптической спектроскопии. В качестве примера на рис. 16.11 показан вид спектра излучения ртутной лампы, полученного с помощью фазовой отражательной решетки. Решетка, использу­емая в этой демонстрации, имеет период 0,002 мм. Форма штриха подобрана так, что наиболее ярким оказывается второй порядок дифракции. На экране хорошо видны дискретные цветные линии спектра ртути, в том числе дублет желтых линий.

На рис. 16.12 показано применение отражательной дифракционной решетки в качестве дисперсионного элемента резонатора лазера. В лазере на красителе с помощью такой решетки можно плавно менять длину волны генерируемого излучения.

Итак, наиболее важные закономерности дифракции света на дифракцион­ной решетке могут быть поняты на основе наглядных френелевских предста­влений об интерференции вторичных волн. Теперь перейдем к более полному математическому описанию дифракции света на решетке.

Математическое описание дифракции плоской волны на решет­ке. Ограничимся рассмотрением дифракционной картины в дальней зоне. Об­щая схема расчета фраунгоферовой дифракции изложена в лекции 15. Задавая начальное распределение амплитуды поля £о(х), находим пространственную спектральную амплитуду £о(кх), затем угловой спектр S(kx) и угловое распре­деление интенсивности 1{6). Рабочие формулы имеют вид

(16.5)

Рис. 16.12. Схема применения отражательной дифракционной решетки в лазере на красителе

Рис. 16.13. Картина дифракции плоской волны на синусоидальной решетке

Рассмотрим для определенности пропускательную дифракционную решетку. Характеристикой решетки является ее комплексный коэффициент пропуска­ния, определяемый как отношение комплексной амплитуды прошедшей волны £о(х) к амплитуде падающей волны £q:

Т(х) = £0(х)/£0.

Начнем с рассмотрения элементарной пространственной периодической струк­туры — синусоидальной решетки.

Синусоидальная решетка. Так называется решетка, коэффициент про­пускания которой имеет вид

Т(х) = cos(xx),

где х = /d, d — период решетки. Подставив (16.6), (16.7) в (16.5), получим

So(kx) = ж£0[8{кх + х) + 6(кх - х)].

Итак, спектральная амплитуда дифрагированной волны представляет собой сумму двух дельта-функций, т. е. пару бесконечно узких спектральных линий, расположенных на пространственных частотах ±х. Этим пространственным частотам соответствуют углы

в = ±А/<*,

где А — длина световой волны, d — период решетки. Картина дифракции плос­кой волны на синусоидальной решетке показана на рис. 16.13.

Ограниченная синусоидальная решетка. Выясним теперь как влияет на вид дифракционной картины ограниченность размера решетки. Это важно понять, поскольку в реальных условиях как дифракционная решетка, так и падающий на нее световой пучок имеют конечные поперечные размеры.

Обозначив полную ширину решетки буквой £>, запишем начальное распре­деление амплитуды поля в виде

(16.10)

Подставив (16.10) в (16.5) и предполагая, что D > d, в - С 1, получим для 1(в) следующее приближенное выражение

где

и sinc(x) = sina:/a:. График зависимости 1(0) показан на рис. 16.14. Из этого рисунка видно, что дифракционная картина имеет два главных максимума, соответствующих углам (16.9), однако теперь эти максимумы имеют конечную угловую ширину, определяемую формулой

Д 0 = А/А

где А — длина волны, D — апертура решетки.

Прямоугольная амплитудная решетка. Эта решетка представляет со­бой систему щелей в непрозрачном экране. Функция пропускания на каждом периоде имеет вид прямоугольника (рис. 16.15), чем и объясняется термин “прямоугольная” решетка. Коэффициент пропускания прямоугольной решет­ки можно записать в виде

Д(х)

Рис. 16.15. Амплитудная прямоугольная решетка и ее функция пропускания; I ширина щели, d — период решетки

N

Т(х) = ^t(x - хп),

П=0

где N — число щелей,

xn=nd, n — 0,l,...,N, хп — координаты центров щелей, d — период решетки,

1, х<1/2,

О, |х|>//2,

t(x) — коэффициент пропускания одной щели, ширина которой обозначена бу­квой I. Подставив (16.14)—(16.16) в (16.5), получим

£o(kx) = £ (kx)fN(kx),

где

£i(kx) = £0l sinc(kxl/2),

£(kx) — пространственная спектральная амплитуда волны, испытавшей ди­фракцию на отдельной щели,

N

fN(kx) = ^2 ехр (ikxnd),

п=0

/и{кх) — фактор многолучевой интерференции, описывающий совокупное дей­ствие всех щелей. Вычислив этот фактор по формуле для суммы конечной гео­метрической прогрессии

N

у - eine = 1 - exp(tATe) І 1 — ехр(гє) !

получим окончательно

1{в) = ImF^FuiO),

Fi (в) = sine2 (^kl sin,

sin ( - NkdsinO

Вид функций Fi (0), Fw(e), 1(9) показан на рис. 16.16. В дополнение к рисун­кам укажем основные характеристики дифракционной картины. Направления на главные максимумы

sind = Xm/d, т = 0, ±1, ±2,... . Угловая ширина главных максимумов

Ав = X/Nd.

Интенсивность света в максимуме

т - г

•мпах — 1ш1У •

Рис. 16.17. Построение двумерной периодической структуры путем наложения скре­щенных решеток и качественный вид дифракционных картин после первой и второй решеток при освещении системы лазерным пучком

Число главных максимумов

(16.26)

Последняя формула показывает, что число главных максимумов дифракцион­ной картины может быть как порядка единицы, так и много больше единицы в зависимости от соотношения параметров d и I.

Дифракция на двумерных периодических структурах. Двумерная периодическая структура (“двумерная решетка”) может быть получена путем наложения двух скрещенных дифракционных решеток. В частности, если ще­ли одной решетки направлены перпендикулярно щелям другой, то получается прямоугольная структура, показанная на рис. 16.17. Вид дифракционной кар­тины, возникающей при дифракции лазерного пучка на скрещенных решетках, показан на рис. 16.18. Такая картина демонстрируется на лекции с помощью пары дифракционных решеток, вмонтированных во вращающиеся оправы, и пучка непрерывного аргонового лазера.

Качественное объяснение наблюдаемой дифракционной картины дано на рис. 16.17. Оно состоит в том, что первая дифракционная решетка, штрихи которой направлены вертикально, разворачивает лазерный луч в “веер” лучей, лежащих в горизонтальной плоскости. Затем вторая решетка, штрихи которой

>•

Рис. 16.18. Вид дифракционной картины, возникающей при дифракции лазерного пуч­ка на скрещенных пропускательных дифракционных решетках. В лекционной демон­страции в качестве источника излучения используется непрерывный аргоновый лазер

направлены горизонтально, каждый из падающих на нее лучей разворачивает в “веер”, лежащий в вертикальной плоскости. В итоге возникает двумерная дифракционная картина, показанная на рис. 16.18.

Нетрудно определить направления на главные максимумы дифракционной картины. Введем декартовы хо, уо и угловые 9, ip координаты точки наблюдения поля Р, как показано на рис. 16.19. Тогда, в соответствии с изложенным выше для одномерных решеток, направления на главные максимумы дифракционной картины определятся формулами

sin# — miX/di,

(16.27)

sin ip = шгА/^г,

где А — длина волны света, Д — период решетки вдоль оси х, d2 — период решетки вдоль оси у, mi и m2 — целые числа. Углы в и гр, показанные на рис. 16.19, определяются формулами

sin в = хо/Ь,

(16.28)

sin^ = уо/Ь.

Для дальнейшего удобно ввести также другие угловые координаты точки Р, а именно, углы между прямой ОР и осями координат x, y,z. Назовем эти углы, соответственно, а,/9,7- Они показаны на рис. 16.20. Для углов а,/3,7 можно записать

cosa = хо/Ь = sin#, cos/3 = уо/b = sin -0, C0S7 — zfb, cos2 a + cos2 /3 + cos2 7 = 1.

Последняя формула выражает теорему Пифагора и показывает, что из трех углов а, /3,7 независимыми являются только два, например, а, /3. Направления на главные максимумы дифракционной картины в этих переменных выража­ются формулами

di cos a = mi А, d2 cos/3 = m2 А.

Математическое описание дифракции плоской волны на скрещенных решетках. Пользуясь общими формулами, описывающими дифракцию Фраунгофера на произвольных двумерных структурах (см. лек­цию 15), нетрудно математически рассчитать картину дифракции в дальней зоне, возникающую при дифракции плоской волны на скрещенных прямоуголь­ных решетках. Напомним общую схему расчета. Задаваясь начальным распре­делением амплитуды поля £о(х, у), вычисляем пространственную спектраль­ную амплитуду поля £o(kx, ky), затем спектральную плотность S(kx, ky) и, на­конец, угловое распределение интенсивности излучения I{e,/>). Рабочие фор­мулы имеют вид

(16.31)

кх — к sin в — к cos a, ky = к sin ф — к cos ІЗ.

Начальное распределение поля можно представить как

£о (х, у) = £0Т(х, у),

где £о — амплитуда падающей плоской волны, Т(х, у) — коэффициент пропус­кания двумерной решетки. В частности, для случая ортогонально скрещенных решеток можно написать

Т(х, у) = Т1(х)Т2(у),

где Т(х) и Т2(у) — коэффициенты пропускания одномерных решеток. При этом двойной интеграл в (16.31) распадается на произведение двух однократ­ных интегралов, и дальнейший расчет фактически повторяет сделанный вы­ше для одномерной решетки. Используя обозначения, смысл которых ясен из рис. 16.21, окончательно получаем:

1(в, ф) = 10(в, ф)Р(в, ф), 10(в, ф) = ImFi{e,4О,

-*($)’•

Р{в, ф) = sine2 ( ^kli sinfl ) sine2

Формулы (16.34) допускают прямую экспериментальную проверку. Опыт пока­зывает, что они хорошо описывают экспериментальные данные.

Дифракция на трехмерных периодических структурах. Дифрак­ция рентгеновских лучей в кристаллах. Кристаллы представляют собой естественные трехмерные периодические структуры с периодом d ~ lA. По­скольку длина волны видимого излучения (10-4 см) на несколько порядков превышает период кристаллической решетки (10-8 см), видимое излучение не испытывает дифракции в кристаллах. Иначе обстоит дело с рентгеновским излучением, длина волны которого соизмерима с периодом кристаллической решетки. В соответствии с уравнением дифракционной решетки, такое излуче­ние должно испытывать сильную дифракцию в кристаллах.

Выясним основные закономерности дифракции электромагнитных волн на трехмерных периодических структурах. Предположим, для простоты, что эле­ментарная ячейка кристалла имеет форму прямоугольного параллелепипе­да. Длины ребер параллелепипеда (периоды решетки) обозначим ф, d2, (із (рис. 16.22).

Пусть на кристалл падает плоская монохроматическая электромагнитная волна, как показано на рис. 16.22. Определим направления на главные макси­мумы дифракционной картины. Кристаллическую решетку можно, очевидно, рассматривать как последовательность двумерных плоских решеток, отстоя­щих друг от друга на расстояние d2. Воспользуемся системой координат, по-

казанной на рис. 16.20. Тогда направления на главные максимумы дифракци­онной картины, возникающей при дифракции волны на отдельной двумерной решетке, определяются формулами (16.30). Однако выполнение этих условий еще не дает гарантии того, что в соответствующих направлениях а и /3 будут возникать дифракционные максимумы. Это зависит от того, как будут интер­ферировать между собой волны, дифрагированные на разных атомных плос­костях.

Условие интерференционного усиления волн, идущих от двух соседних атом­ных плоскостей, имеет вид (рис. 16.23)

d3 - d3 cos 7 = m3A, (16.35)

где m3 — целое число. Формула (16.35) выражает требование того, чтобы раз­ность хода лучей, идущих от двух соседних атомных плоскостей в направлении 7, была кратна длине волны. Если это условие выполнено, то волны, дифра­гированные на разных атомных плоскостях кристалла, будут складываться в фазе и усиливать друг друга. Для направлений 7, не удовлетворяющих усло­вию (16.35), произойдет взаимное погашение интерферирующих волн. Таким образом, полная система уравнений для углов а, /3, 7, определяющих направле­ния на главные максимумы дифракционной картины при дифракции плоской волны в кристалле, имеет вид

dicosa = miA, <32 cos/3 = m2A, d3(l — COS7) = m3A,

, , , (16-36)

cos2 a + cos'1 /3 + cos2 7=1.

Уравнения (16.36) называются уравнениями Лауэ. Здесь они записаны для слу­чая, когда падающая на кристалл волна распространяется вдоль оси z, перпен­дикулярной атомным плоскостям кристалла. Нетрудно обобщить эти уравне­ния для произвольного направления падающей волны (а0, /?о, 7о) относительно осей кристалла x, y,z. В этом случае уравнения Лауэ приобретают вид

di(cosa — cos од) = mi А, d2 (cos (3 - cos Ро) = m2 A, ds(cos7 - COS70) = m3 A, cos2 a + cos2 /3 4- cos2 7 = 1

Система уравнений (16.37) имеет решения лишь для некоторых определен­ных значений длины волны излучения Л или определенных значений углов Оо, Аь 7сь определяющих ориентацию кристалла относительно падающей вол­ны. Поэтому для получения дифракционных картин на практике использу­ют рентгеновское излучение с широким частотным спектром либо вращают кристалл относительно монохроматического пучка рентгеновского излучения с помощью специального гониометрического устройства. Схема установки для получения картины дифракции рентгеновских лучей в кристалле — так назы­ваемой лауэграммы — показана на рис. 16.24. Типичная лауэграмма кристалла представлена на рис. 16.25.

Дифракция рентгеновских лучей в кристаллах впервые наблюдалась не­мецкими физиками М. фон Лауэ, В. Фридрихом и П. Книппингом в 1912 г. Их опыты послужили экспериментальным доказательством волновой приро­ды рентгеновских лучей. В настоящее время дифракция рентгеновских лучей широко применяется для исследования структур кристаллов.

Рентгеновский структурный анализ. Применительно к дифракции рентгеновских лучей в кристаллах большое значение имеет решение обратной задачи дифракции, т. е. определения структуры кристалла по виду наблюдае­мой дифракционной картины. Получение такой информации составляет пред­мет рентгеновского структурного анализа.

В основе рентгеноструктурного анализа лежат формулы, описывающие фраунгоферову дифракцию на трехмерной структуре:

ОО

£„(*)= J £0(г)е*Ч3г. (16.39)

— ОО

Здесь 1(h) — распределение интенсивности излучения в дифракционной кар­тине, к — вектор, направленный от объекта на точку наблюдения, £о(г) — исходное распределение поля в пространстве. Последнее определяется струк­турой объекта, на котором дифрагирует рентгеновская волна, а именно, пространственным распределением электронной плотности р(г) в кристалле: £о(г) ~ р(г). Формулы (16.38), (16.39) можно рассматривать как обобщение формул (16.5), (16.31) на случай трехмерной исходной структуры поля.

Обращая формулу (16.39), напишем

3 00

£o(r) = J £0(к)е-*Ч*к. (16.40)

— ОО

*

Итак, формула (16.39) описывает фурье-анализ электронной плотности кри­сталла, выполняемый автоматически в рентгеновском дифракционном экспе­рименте, а формула (16.40) — фурье-синтез структуры кристалла, который может быть выполнен численно на ЭВМ. В настоящее время рентгеновский структурный анализ представляет собой хорошо разработанную методику, с помощью которой определено строение многих минералов и сложных молекул, включая биологические молекулы (ДНК, гемоглобин и т. п.).