Физическая оптика

Дифракция в дальней зоне

Формирование устойчивой картины дифракции в дальней зоне. Дифракция Фраунгофера как пространственное преобразование Фурье. Дифракция Фраун­гофера на одномерных структурах. Дифракция на щели. Дифракция Фраун­гофера на двумерных структурах. Дифракция на прямоугольном и круглом отверстиях. Дифракция гауссова пучка.

Лекция посвящена фраунгоферовой дифракции. Показано, что при распро­странении светового пучка в дальней зоне возникает устойчивая картина ди­фракции, повторяющая по форме угловой спектр поля. Рассматриваются при­меры фраунгоферовой дифракции на одномерных и двумерных структурах. Сопоставляются данные теории и эксперимента.

Формирование устойчивой картины дифракции в дальней зоне.

Опыты по дифракции световых пучков показывают, что в дальней зоне угловое распределение интенсивности излучения перестает зависеть от координаты z, отсчитываемой вдоль оси пучка. Картина дифракции приобретает устойчивую структуру, вид которой зависит только от распределения поля в начальном сечении. Дифракцию в дальней зоне называют дифракцией Фраунгофера. Рас­смотрим особенности дифракции в дальней зоне с позиций теории, изложенной выше (см. лекцию 14).

Пусть плоская монохроматическая световая волна нормально падает на экран с отверстием, расположенный в плоскости z = О (рис. 15.1). Вычислим распределение интенсивности излучения в некоторой плоскости Хо, уо, парал­лельной экрану с отверстием и расположенной на достаточно большом рассто­янии z от него.

ОО ОО

—оо —ОО

Используя формулы (14.2), (14.3), запишем дифракционное световое поле в виде

(15.1)

где £о(х, у) — распределение поля в сечении z = 0, определяемое формой от­верстия в экране, Л — длина световой волны, к = 2тг/ — волновое число,

(15.2)

Р = /z2 + {х - х0)2 + (у - Уо)2,

х, у — координаты некоторой точки М в плоскости экрана с отверстием, x0,yo, z — координаты точки наблюдения поля.

Пусть О — некоторая точка в плоскости экрана с отверстием, которую мы примем за начало отсчета, а 6 — расстояние от точки О до точки наблюдения поля Р. Как видно из рис. 15.1,

Следовательно, в параксиальном приближении, когда

Рис. 15.1. Постановка задачи дифракции

(15.4)

г » х, у,х0,уо,

можно записать

(15.5)

Xі + у2 ХХо + УУо

р = Ь +

26 6

Формула (15.5) отличается от (14.5) лишь тем, что в качестве нулевого прибли­жения величины р выбрана величина 6, а не z. Такое уточнение необходимо сделать из-за того, что в дальней зоне размеры картины дифракции, вообще говоря, весьма велики, а потому разница между величинами Ь и z становится существенной.

Подставив (15.5) в (15.1), получим

£(хо, Уо, г) - ехр (—ikb) х

ОО ОО

У У £о(х, у)

г к

2 , 2 ~2Ь +!,)

{хх0 - I - ууо)

dx dy. (15.6)

ехр

ехр

Здесь, как обычно, мы пренебрегли отличием р от 6 в знаменателе подынте­грального выражения.

В частности, при дифракции на одномерных структурах

ОО

(i +1) Г ( ik (ik

E{xo, z) = —j=r ехр (-ikb) J Ео(х)ехр х2 ) ехр f —ххоJ dx (15.7)

— ОО

(ср. с формулой (14.12)), или

ОО

(г + 1) Г ( ik

£{в, z) = —j=-ехр (-ikb) j £д(х)ехр fx2J exp(i7;xsin0)da;, (15.8)

где введен угол в, определяемый формулой

(15.9)

sin ^ = хо/Ь,

и имеющий смысл угловой координаты точки наблюдения поля.

Формулы (15.6)—(15.8) соответствуют френелевскому приближению. Из формулы (15.8) следует, что угловое распределение поля в дифракционной кар­тине, вообще говоря, меняется по мере изменения расстояния z. Однако в обла­сти больших z это изменение становится все более и более слабым и, наконец, при

(15.10)

kd2/2b 1,

ОО

где d — начальный поперечный размер пучка, устанавливается устойчивое угловое распределение поля, определяемое формулой

(15.11)

Используя (15.3), (15.4), неравенство (15.10) можно представить в виде

(15.12)

где параметр

(15.13)

2Д = Ы2/2

называется дифракционной длиной пучка. Область пространства, определяемая условием (15.12), называется дальней зоной дифракции или зоной Фраунгофе­ра. Таким образом, мы показали, что в дальней зоне формируется устойчивое угловое распределение поля, не меняющееся при дальнейшем распространении светового пучка.

Выражение для дифракционного светового поля (15.11) носит название ди­фракционного интеграла в приближении Фраунгофера. Это приближение спра­ведливо в дальней дифракционной зоне. •:

Дифракция Фраунгофера как пространственное преобразование Фурье. Разумеется, возникающая в дальней зоне картина дифракции пред­ставляет для оптики первостепенный интерес, хотя бы потому, что вследствие устойчивости этой картины ее проще всего наблюдать экспериментально.

(15.14)

С математической точки зрения выражение (15.11) представляет собой про­странственный интеграл Фурье. По аналогии с интегралом Фурье по времени (см. дополнение 4) величину k sin в назовем пространственной частотой. Фи­зический смысл этого понятия раскрывает рис. 15.2, из которого видно, что величина

кх = к sin в

есть поперечная компонента волнового вектора, направленного из точки О (от­верстия) в точку наблюдения поля Р.

Формула (15.14) показывает, что между пространственной частотой кх и угловой координатой в точки наблюдения поля имеется взаимно однозначное соответствие. Это позволяет записать комплексную амплитуду поля в точке наблюдения следующим образом:

Рис. 15.2. К анализу физического смысла пространственной частоты

(1 + 0,-

£(Р) =

(15.15)

е~м£0 (**),

где

оо

So(*») = J £0(x)eik‘xdx,

£0(kx) — пространственная спектральная амплитуда, соответствующая рас­пределению поля £q(x).

Итак, дифракционное поле в дальней зоне пропорционально пространствен­ной фурье-амплитуде исходного пучка. Используя (15.15), нетрудно вычислить распределение интенсивности излучения в дальней зоне:

(15.17)

(15.18)

(15.19)

So(kx) — пространственная спектральная плотность, или угловой спектр излучения.

Итак, угловое распределение интенсивности излучения в дальней зоне по­вторяет форму углового спектра светового пучка. Этот вывод раскрывает фи­зический смысл фраунгоферовой дифракции как пространственного разложе­ния ограниченного светового пучка на плоские волны. Картину преобразования углового спектра при дифракции плоской волны на отверстии иллюстрирует рис. 15.3.

Согласно спектральным представлениям, поперечная компонента волново­го вектора возникает вследствие ограничения апертуры (т. е. поперечных раз­меров) пучка отверстием. Представление ограниченного пучка в виде набора

(15.16)

т = -£(р)2.

Подставив (15.15) в (15.17), получим

где

So(kx) = £0{kx)2,

Рис. 15.3. Картина преобразования углового спектра при дифракции плоской волны на отверстии

плоских волн, распространяющихся в разных направлениях, вполне аналогич­но представлению импульса конечной длительности в виде суммы гармониче­ских колебаний разных частот.

Дифракция Фраунгофера на одномерных структурах. Дифракция на щели. Теперь обратимся к конкретным примерам фраунгоферовой дифрак­ции. Начнем с рассмотрения дифракции плоской волны на одномерной струк­туре — щели шириной d (рис. 15.4). Полагая

(15.20)

по формуле (15.16) получим

d/2

£o{kx) = £о / ехр (ikxx) dx = £0dsmc(kxd/2), (15.21)

-d/2

где использовано стандартное обозначение

(15.22)

Р

d

г

Свет

Рис. 15.5. Начальное распределение амплитуды поля £о(х) и пространственная спек­тральная амплитуда £о(кх) при дифракции плоской волны на щели шириной d

Графики функций £о(х) и Ео(кх) показаны на рис. 15.5. По формулам (15.15), (15.17) находим амплитуду поля

£{Р) = Е0 <±±Ме~м sinc(M/2) (15.23)

V2 Xb

и интенсивность света в точке Р:

I(P) = /тах sine2 (kxd/2). (15.24)

Здесь использованы обозначения

/шах = Iod?/b, /0 = f|£0|2, (15.25)

о7Г

где /о — интенсивность падающей волны.

Подставляя (15.14) в (15.24), находим угловое распределение интенсивности излучения в дальней зоне

1(6) = Jmaxsine2 ^ifcdsin#^ , (15.26)

или

1(0) = /шах Sine2 _ (1.5.27)

График распределения (15.27) показан на рис. 15.6. Заметим, что дифракцион­ная расходимость пучка в дальней зоне оказывается порядка

Д0 = A/d (15.28)

в соответствии с общим результатом, полученным выше (см. лекцию 13).

Теоретически рассчитанное угловое распределение интенсивности излуче­ния, показанное на рис. 15.6, можно проверить экспериментально. На лекции демонстрируется дифракция излучения аргонового лазера на. щели (рис. 15.7). Наблюдаемая дифракционная картина имеет вид центральной светлой поло­сы и боковых чередующихся темных и светлых полос убывающей яркости. В лекционной демонстрации имеется возможность плавно изменять ширину ще­ли с помощью специального микрометрического винта. При этом наблюдает­ся изменение дифракционной картины, которое происходит в соответствии с

предсказанием теории: чем уже щель, тем шире светлые полосы на экране и,

Рис. 15.6. Дифракция плоской волны на щели: угловое распределение интенсивности света в дальней зоне; d ■— ширина щели, А — длина световой волны

следовательно, тем больше угловая расходимость излучения в дальней зоне. Таким образом, изложенная выше теория фраунгоферовой дифракции полу­чает экспериментальное подтверждение.

Дифракция Фраунгофера на двумерных структурах. Изложенную выше теорию нетрудно обобщить на случай дифракции световой волны на дву­мерной структуре. Постановку задачи дифракции иллюстрирует рис. 15.1. Ди­фракционное световое поле в приближении Френеля (слаборасходящийся пу­чок) описывает формула (15.6). В дальней дифракционной зоне, определяемой условием

z » zA = kdP/2, (15.29)

где 2Д — дифракционная длина, к — волновое число, d — максимальный попе­речный размер отверстия в экране, формула (15.6) упрощается и приобретает вид

гк,

'-(ххо+ууо)

dxdy. (15.30)

ОО ОО

£(Р) = J j £0(х, у)ехр

— ОО —ОО

Введем угловые координаты в и ф точки наблюдения поля Р, определив их следующим образом (рис. 15.8):

sin в = х0/Ь, simp = уо/Ь, (15.31)

а также пространственные частоты

кх = к sin в, ку = к sin ф. Тогда формулу (15.30) можно переписать в виде

б) в)

Рис. 15.7. Опыт по наблюдению дифракции света на щели. Схема опыта (а), вид дифракционной картины при узкой (б) и широкой (в) щели

ОО ОО

// £0(x, y)exp[i(kxx + kvy)]dxdy, (15.34)

—оо —ОО

So(kx, ky) — пространственная спектральная амплитуда, соответствующая дву­мерному начальному распределению поля £о(х, у). Итак, при дифракции на двумерной структуре распределение поля в дальней зоне имеет вид двумерно­го преобразования Фурье исходного распределения поля Ео{х, у).

В соответствии с (15.17), (15.33) интенсивность света в точке наблюдения выражается формулой

Рис. 15.9. К расчету картины дифракции света на прямоугольном отверстии

I(P) — &о(кх, ky), (15.35)

где

So(kx, ky) = £0{kx, ky)2, (15.36)

So(kx, ky) — пространственная спектральная плотность или угловой спектр из­лучения. Таким образом, как и в одномерном случае, пространственное распре­деление интенсивности излучения в дальней зоне имеет форму углового спек­тра излучения.

Дифракция на прямоугольном отверстии. Пусть плоская монохрома­тическая световая волна дифрагирует на прямоугольном отверстии, длины сторон которого равны d и d2 (рис. 15.9). Записав начальное распределение амплитуды поля в виде

Ct л_с / ІЖІ < ІУІ < 6І2/2,

So(*г? у) — So л (15.ЗТ)

О, вне этой области

и подставив (15.37) в (15.34), получим

di/2 d2/2

So{kx, kv)-S0 J dx J dy exp [i(kxx 4- kyy)] =

-di/2 - di/2

= Sodd2 sine(kxdi/2) sine(fcj, d2/2). (15.38)

Подставляя (15.38) в (15.35), (15.36) и учитывая (15.32), получим следующую формулу для углового распределения интенсивности излучения в дальней зоне:

т/а / т • 2 / ?гф Sin <Л • 2 ('Kd2 sin lb

I(в, ip) = 7max sine (---------------------------------------- J sine2 I —- J, (15.39)

Рис. 15.10. Дифракция Фраунгофера на прямоугольном отверстии. Форма отверстия (о), картина дифракции (5)

а) б)

■^шах — Iq (di d>2 / АЬ) ,

где

(15.40)

1о — интенсивность падающей волны.

Экспериментально наблюдаемая картина дифракции на прямоугольном от­верстии полностью совпадает с предсказаниями теории (рис. 15.10).

Дифракция на круглом отверстии. Введем полярные координаты г, if на плоскости отверстия х, у и г0, <ро на плоскости наблюдения Хо, уо (рис. 15.11). Тогда можно написать

X = Г COS V?, Жо = 7*0 COS <£>о>

(15.41)

у = r sin 1р, Уо = Го sin іро-

Далее введем угол в между осью z и направлением из центра отверстия на точку наблюдения (рис. 15.12). Из рисунка видно, что

Рис. 15.12. К расчету дифракции на круглом отверстии

(15.42)

(15.43)

sin# = r0/b. k sin в — fcx •

Обозначим

Тогда величины kx, ky, входящие в формулу (15.34), можно записать следую­щим образом:

кх = кх0/Ь = kj_ cos р0, ку = ky0/b = к± sinро■ (15.44)

Из (15.41), (15.44) следует, что

кхх + куу = кх_г cos (р — ро). (15.45)

В новых переменных пространственная спектральная амплитуда поля прини­мает вид

ОО 27Г

£(к±,р0) = / rdrj £о(г, р) ехр [г/схг cos(<p — ро)] dtp. (15.46)

о о

Ограничимся рассмотрением случая осесимметричного начального распре­деления поля, полагая

(15.47)

£о (г, ф) = £о (г).

Подставив (15.47) в (15.46), получим

2тг

£(к±,ро) = J £o(r)rdr J ехр [ikj_rcos(tp - tp0)] dtp. (15.48)

о о

Используя табличный интеграл

2тг

J ехр [iacos(p — tp0) dp = 27rJo(a),

где Jo(ot) — функция Бесселя нулевого порядка, получаем

ОО

£(k±) = 2nj £o{r)Jo(k±.r)r dr. (15.50)

о

Преобразование вида (15.50) называется преобразованием Фурье-Бесселя или преобразованием Ханкеля нулевого порядка. Таким образом, мы показали, что в случае изотропного начального распределения поля двумерное преобразова­ние Фурье сводится к преобразованию Ханкеля.

В формуле (15.50) функция £о{г) описывает начальное осесимметричное распределение поля. В частности, для круглого отверстия радиуса R

{ 1, т < R,

£o(r)=£o п _ (15.51)

( 0, г > R.

При этом

Л

£(к±) = £02п [ J0{kxr)rdr = £02nR2 . (15.52)

J k±R

о

Здесь мы использовали табличный интеграл

X

JxJq(x) dx = xJ(x). (15.53)

о

Вычислим угловое распределение интенсивности света в дифракционной картине. Используя формулы (15.35), (15.36), (15.52) и полагая в 1, sin в = в,

кх = ksn9 = кв, получим

J^eR/Xy2

(15.54)

ж 6R/X

m = /„

где

4^ = 4^^) , (15.55)

4 — интенсивность падающей волны. Вид распределения (15.54) показан на рис. 15.13, это распределение называется картиной Эри. Полная угловая ши­рина центрального максимума дифракционной картины (по основанию)

Ав = 1,22А/R, (15.56)

где А — длина световой волны, R — радиус отверстия.

О

1,0

т/іпшж

в

О 0,61 Я/Я

б)

Рис. 15.13. Фраунгоферова дифракция на круглом отверстии. Вид отверстия (а), на­блюдаемая дифракционная картина (“картина Эри”) (б), теоретически рассчитанное угловое распределение интенсивности света в дифракционной картине (в)

ВД/W

в

На лекции демонстрируется фраунгоферова дифракция на отверстиях пря­моугольной и круглой формы. Схема эксперимента аналогична показанной на рис. 15.7, в качестве источника света используется непрерывный аргоновый ла­зер. В опыте с прямоугольным отверстием дифракционная картина имеет вид крестообразной сетки пятен, яркость которых убывает от центра к периферии

картины (рис. 15.10). В опыте с круглым отверстием наблюдаемая дифракци­онная картина имеет вид центрального светлого пятна круглой формы, окру­женного концентрическими темными и светлыми кольцами убывающей ярко­сти (рис. 15.13). В обоих случаях наблюдаемые картины хорошо согласуются с результатами теоретического расчета.

Д ифракция гауссова пучка. Излучение лазера, как правило, имеет гаус­сово распределение интенсивности по поперечному сечению пучка. Рассчитаем картину дифракции в дальней зоне для гауссова пучка. Полагая

(15.57)

So (г) =£0ехр(—г2/2ро),

по формуле (15.50) получим

(15.58)

£(kj_) = S0 2жрІ ехр (~к2±рІ/2).

Полагая далее в 1, fcx = кв, найдем угловое распределение интенсивности излучения в дальней зоне

(15.59)

1(0) = Im&x exp [-(27Г0До/Л)2]

где

(15.60)

Jo — интенсивность на оси пучка при z = 0, ро — начальный радиус пучка. Таким образом, профиль интенсивности гауссова пучка сохраняет свою фор­му в процессе дифракции. По мере распространения пучка его радиус увели­
чивается, а интенсивность на оси уменьшается. Этот вывод подтверждается наблюдением свободной дифракции лазерного пучка.

Физическая оптика

Из истории физической оптики

Цитаты из оригинальных работ Франкена, Бломбергена, Ахманова, Хохлова. Питер Франкен. Генерация второй оптической гармоники. Развитие импульсных рубиновых оптических мазеров1,2 сделало возможным получение монохроматических (6943 А) световых пучков, которые при фокусировке …

Нелинейная пространственная динамика световых полей

Самоорганизация светового поля в нелинейных системах с обратной связью. Оптическая синергетика. Оптическое моделирование нейронных сетей. В течение длительного времени в нелинейной оптике исследовались про­блемы временной динамики светового поля. При этом …

Оптика фемтосекундных лазерных импульсов

Предельно короткие импульсы света и сверхсильные световые поля. Генера­ция фемтосекундных световых импульсов. Новое поколение твердотельных фемтосекундных лазеров. Фемтосекундные технологии. Фемтосекундные ла­зерные импульсы в спектроскопии. Управление амплитудой и фазой молеку­лярных колебаний …

Как с нами связаться:

Украина:
г.Александрия
тел./факс +38 05235  77193 Бухгалтерия
+38 050 512 11 94 — гл. инженер-менеджер (продажи всего оборудования)

+38 050 457 13 30 — Рашид - продажи новинок
e-mail: msd@msd.com.ua
Схема проезда к производственному офису:
Схема проезда к МСД

Оперативная связь

Укажите свой телефон или адрес эл. почты — наш менеджер перезвонит Вам в удобное для Вас время.