Діючі й середні значення періодичних напруг і струмів
4.3.1. Діючі значення періодичних напруг і струмів. Для оцінки ефективності дії періодичного струму використовують його теплову або електродинамічну дію і порівнюють з аналогічною дією постійного струму за той самий інтервал часу, рівний одному періоду.
Значення періодичного струму, що дорівнює такому значенню постійного струму, яке протягом одного періоду робить той же тепловий або електродинамічний ефект, що й періодичний струм, називають діючим значенням періодичного струму. Діючі значення струму, напруги й ЕРС позначають прописними буквами без індексів: I, U, E.
При оцінці періодичного струму і, користуючись тепловим ефектом, приймають, що постійний струм I і періодичний струм і того самого резистивного елемента з активним опором R виділяють однакову кількість тепла за час T, який дорівнює одному періоду
T
|
|
|
R • 12 • T = J R2 dt. |
|
0 |
|
З цього рівняння одержують діюче значення струму: |
(4.9)
яке дорівнює середньоквадратичному значенню періодичного струму.
Аналогічно діючі значення напруги й ЕРС є середньоквадратичними значеннями періодичних напруги й ЕРС:
|
1 T — f и 2dt TJ |
|
1 T - f62dt. T |
|
і E = |
|
(4.10) |
|
U = |
|
A |
|
A |
|
4.3.2. Середні значення періодичних напруг, струмів і потужності. У загальному випадку під середнім значенням періодичних функцій розуміють їхні середні арифметичні значення за період. Середнє значення потужності за період визначається рівнянням |
|
1 T 1 T Рсер = T j pdt = T juidt |
|
TT 00 |
|
Якщо позитивні й негативні напівхвилі кривої потужності не рівні, то середнє значення визначають різницею площ, що обмежені кривими напівхвиль і віссю абсцис. Як правило, негативні напівхвилі періодичних струмів, напруг і ЕРС повторюють їхні позитивні напівхвилі. Тому під середніми значеннями періодичних струмів напруг і ЕРС розуміють середні значення їхніх напівхвиль: г 2 т 2 T |
|
Ecep = T jеЛ |
|
4.4. Комплексна форма подання синусоїдальних напруг і струмів При розрахунках електричних кіл з синусоїдальними ЕРС, напругами й струмами досить ефективним є комплексний метод аналізу. При зображенні обертових векторів синусоїдальних величин на комплексній площині вісь абсцис площини декартових координат сполучають з віссю дійсних величин (вісь +1) комплексної площини. Тоді миттєві значення синусоїдальних величин одержують на осі уявних величин (вісь +j). Для того, щоб подати синусоїдальну ЕРС е — Em sin(<»t + /) (4.15) з початковою фазою /, проведемо на комплексній площині (рис. 4.2) з початку координат під кутом / до осі дійсних величин вектор, довжина якого в масштабі побудови дорівнює амплітуді ЕРС Em. Кінець цього вектора перебуває в точці, якій відповідає певне комплексне число - комплексна амплітуда ЕРС: |
|
Em = E е]/ = E Zw mm |
|
При збільшенні в часі фази ЕРС cot + / кут між вектором і віссю дійсних величин зростає, тобто виходить обертовий вектор |
|
(4.11) |
|
T/2 |
|
I = — f idt сер rp J T0 2 T/2 U = — f udt сер |
|
(4.12) |
|
< |
|
0 T/2 |
|
V. |
|
(4.16) |
|
j (ot+/) |
|
Ее |
: Em cos(ot + /) + jEm sin(ot + /)
Як бачимо, уявна складова обертового вектора дорівнює заданій синусоїдальній ЕРС.
|
Рис. 4.2 - Зображення синусоїдальної ЕРС обертовим вектором на комплексній площині |
Вектор на комплексній площині, довжина якого в масштабі побудови дорівнює діючому значенню синусоїдальної ЕРС, називається комплексним діючим значенням синусоїдальної ЕРС
Е = ^ = Eew = EZw v2
(4.17)
Так само позначається і сам вектор на комплексній площині (рис.4.2). Використовують три форми запису комплексного значення синусоїдальних ЕРС, струмів і потужностей. Розглянемо їх на прикладі синусоїдальної ЕРС.
• • •
Алгебраїчна форма запису E = ReE + j Im E, або в іншому позначенні
• • •
E = E'+jE", де E' = ReE = Ecosw й E" = ImE = Esinw - дійсна й уявна складові
комплексного значення синусоїдальної ЕРС,
|
E = д/ (Re E) + (Im E) ; w = arctg- |
Im E Re E
Алгебраїчна форма запису більш зручна при додаванні й відніманні комплексних чисел.
Тригонометрична форма запису є похідною від алгебраїчної і зручна при переході від показової до алгебраїчної форми запису. З урахуванням того, що cos^
=E'/ E, sin^ = E"/ E тригонометрична форма запису має вигляд E = E cosw + sin w. Показова форма запису є похідною від тригонометричної й має вигляд
Е = Ее = E^w. Ця форма запису більш зручна при множенні, діленні, добуванні кореню комплексних чисел.
Перехід від показової форми запису синусоїдальних величин до тригонометричної виконують за допомогою формули Ейлера:
eJw = cosw + j sinw.
При аналізі кіл синусоїдального струму застосовують головним чином комплексні діючі значення синусоїдальних величин, скорочено їх називають комплексними значеннями, а відповідні вектори на комплексній площині - векторами комплексних значень.
Користуючись векторною діаграмою, додавання і віднімання комплексних значень можна замінити додаванням і відніманням відповідних векторів. Це спрощує розрахунки і робить їх наочними.
Напрямок синусоїдальних величин у колі періодично змінюється, але один з двох напрямків приймають за позитивний. Цей напрямок вибирають довільно й показують стрілкою на схемі відповідної ділянки кола.
При обраному позитивному напрямку синусоїдальну величину представляють миттєвим значенням (наприклад, для напруги е — —Emsin(rot + у)) і відповідним комплексним
значенням (E = EZ/ - рис. 4.3).
Отже взаємно однозначному поданню синусоїдальних струмів, напруг та інших величин у вигляді миттєвих і комплексних значень
Рис.4.3 - Вибір позитивного
відповідають їхні однакові позитивні напрямки напрямку синусоїдальної ЕРС (рис 43)
