ДВИЖЕНИЕ ЖИДКОСТЕИ И ГАЗОВ В ПРИРОДНЫХ ПЛАСТАХ

Закон Дарси, Пределы его применимости и уточнения

Основная характеристика фильтрационного движения — вектор скорости фильтрации и — определяется следующим образом. Выбе­рем точку М пористой среды и проведем через нее произвольную элементарную площадку AS с нормалью п. Через выделенную пло­щадку в единицу времени протекает масса жидкости AQ. Тогда про­екция вектора и на нормаль п к выделенной площадке равна пре­делу отношения AQ/pAS при AS 0. Здесь р — плотность жидкости

Подчеркнем, что предел понимается в указанном выше «про­межуточном» смысле и что масса жидкости делится на полную пло­щадь AS, а не на ее часть, занятую порами.

Основное соотношение теории фильтрации — закон фильтра­ции — устанавливает связь между вектором скорости фильтрации и тем полем давления, которое вызывает фильтрационное движе­ние. Здесь и далее, если не оговаривается специально против­ное, под давлением понимается разность между полным давлени­ем и гидростатическим; в отсутствие движения давление жидкости в порах распределено по гидростатическому закону. Как только начинается движение, избыточное (над гидростатическим) давле­ние становится переменным по пространству. Движение жидкости в пористой среде отличается от движений, рассматриваемых в обычной гидродинамике, тем, что в любом макрообъеме имеется неподвижная твердая фаза, на границе с которой жидкость также неподвижна. Поэтому система поровых каналов элементарного макрообъема гидродинамически эквивалентна системе сложным образом связанных труб. Скорость фильтрации характеризует расход через эту систему. С другой стороны, расход определяется давлениями на входах и выходах поровых каналов. Поскольку расход представляет собой суммарную по многим поровым кана­лам величину, он определяется перепадом, т. е. градиентом осред - ненного давления жидкости.

Именно поэтому, в отличие от уравнений обычной гидродина­мики, в теории фильтрации существует локальная зависимость между градиентом давления и вектором скорости фильтрации.

Некоторые сведения о форме закона фильтрации, связывающе­го скорость фильтрации и градиент давления, можно получить, исходя из самых общих представлений. Пористая среда описыва­ется геометрическими параметрами — характерным размером d и некоторыми безразмерными величинами: пористостью т, пара­метрами кривой распределения и др. Закон фильтрации должен следовать из уравнений движения жидкости в поровом простран­стве, поэтому система определяющих величин включает также те характеристики жидкости, которые входят в эти уравнения: плот­ность р и вязкость р. Таким образом, мы ищем форму зависимо­сти градиента давления grad р от вектора скорости фильтрации и, геометрических характеристик пористой среды т, d и т. д. и характеристик жидкости р и р. Среди величин, от которых за­висит grad р, только скорость фильтрации и является вектором. В силу изотропии среды вектор grad р должен быть направлен по одной прямой с вектором и. В самом деле, пусть вектор grad р составляет отличный от нуля угол с направлением вектора». Если повернуть выбранную произвольную систему координат вокруг вектора и на некоторый угол, то ни этот вектор, ни какой-либо другой из определяющих параметров не изменятся. Следователь­но, не должен измениться и вектор grad р, зависящий только от этих параметров. Но если grad р составляет отличный от нуля угол с направлением вектора и, то при повороте его направление относительно координатных осей обязательно должно измениться. Отсюда вытекает, что направления векторов и и grad р должны совпадать, так что

Grad р = —си, (1.2)

Где с — некоторая скалярная величина, зависящая от модуля век­тора скорости и, а также величин d, т, р,

Рассмотрим фильтрационные движения, когда несущественны силы инерции. К числу подобных безынерционных движений при­надлежит большинство фильтрационных течений, встречающихся на практике, поскольку они происходят медленно. При этом плотность р, характеризующая инерционные свойства жидкости, несущественна и исключается из числа определяющих параметров. Таким образом, при безынерционных движениях величина с зависит только от и, d, т и (а. Выпишем размерности интересующих нас величин:

[m] = 1; [с] = ML-tT-1; [и] = LT~l\ [d\ = L; [[і] = ML~lT~l. (1.3)

Из четырех определяющих параметров три (и, d и ц) имеют независимые размерности. Тогда, согласно анализу размерностей, безразмерная комбинация cd2/p может зависеть только от единст­венной безразмерной величины среди определяющих параметров — пористости т:

Cd2,V = f (m); с = d~4f (т). (1.4)

После этого уравнение (1.2) можно представить в виде

Gradp =—pd~2f (т) и; и = —(&/|х) grad р; k — dVf. (1.5)

Соотношение (1.5) описывает закон фильтрации Дарси (по имени французского инженера А. Дарси, установившего его эксперимен­тально в 1856г.). Величина k называется проницаемостью (имеет размерность площади, не зависит от свойств жидкости и является чисто геометрической характеристикой пористой среды).

Если вместо р рассматривать истинное давление в жидкости Р = р — рgz, где g — ускорение свободного падения, z—высота рассматриваемой точки над некоторым расчетным уровнем, то (1.5) можно записать в виде

0 = -(%)grad(P +Pgz). (1.6)

В гидротехнических расчетах обычно используется напор Н =» = p/pg, тогда имеем

В = —С grad//, С = kpg/p, (1.7)

Где С — коэффициент фильтрации, имеет размерность скорости.

Как видно из приведенного вывода, закон Дарси — следствие предположения о безынерционности движения жидкости. Фильт­рационное течение, подчиняющееся закону Дарси,— частный слу­чай ползущего течения, для которого характерно преобладание вязких сил над инерционными (т, е. числа Рейнольдса очень ма­лы— Re<^l). Поэтому попытки вывода закона Дарси путем осреднения уравнений гидродинамики сводятся к вычислению проницаемости по задаваемой геометрической структуре пористой среды.

Чаще всего из формул этого типа используется уравнение Козени — Кармана, полученное на основе аналогии между пори­стой средой и системой параллельных трубок, выражающее про­ницаемость через удельную поверхность 2 и пористость т:

K = Km3 Е-2. (1.8)

Постоянная К определяется по опытным данным и оказывает­ся разной для пористых сред различной структуры. Формулу (1.8) используют главным образом в расчетах фильтрационных сопро­тивлений искусственных пористых сред, применяемых в химиче­ских аппаратах, а также при определении удельной поверхности порошков.

До сих пор предполагалось, что пористая среда изотропна. Для природных пластов часто характерна анизотропия, связанная либо с естественной слоистостью (для осадочных пород), либо с разви­тием систем параллельных микротрещин, вызванных напряжениями в породе. Если пористая среда не изотропна, то в произвольной ортогональной декартовой системе координат хь и ^компоненты вектора grad р выражаются через компоненты щ вектора и следу­ющим образом:

DpldXi= ----- Cia. Ua, (1.9)

Где сц — некоторый тензор (предполагается суммирование по всем значениям повторяющихся греческих индексов, так что с1аиа озна­чает с\\и\ + С12Ы2 + йз«з). В случае безынерционных движений ком­поненты тензора сц могут зависеть только от вязкости жидкости р. и тех или иных геометрических характеристик пористой среды.

Аналогично выводу формулы (1.9) можно показать, что сц = р. г</, где гц—тензор удельных фильтрационных сопротивлений, который зависит только от геометрических характеристик пористой среды. Компоненты его имеют размерность, обратную размерности площади. Выражая компоненты вектора скорости через компоненты вектора градиента давления, получаем

Щ — (ktJ\x) др1дха, (1.10)

Где k{ j—тензор проницаемости, обратный тензору г у, зависит только от геометрических характеристик пористой среды и имеет размерность площади. Зависимость (1.10) описывает закон Дарси для анизотропной пористой среды.

Тензоры сопротивлении Гц и проницаемости k ц сим­метричны[1].

Если анизотропия пористой среды связана с естественной слои­стостью, проницаемость вдоль слоев имеет одно значение, а в перпендикулярном направлении — другое, обычно значительно меньшее. Поэтому одна из главных осей тензора проницаемости — х3 перпендикулярна плоскости напластования, а две другие — х\ и х<і можно выбрать произвольно в плоскости напластования. Си­стема хи х2, х3 будет главной в каждой точке пористой среды; при этом имеем

Ku = &22 = k; k33 = ko\ kit = 0 {іф j). (1.11)

Закон Дарси в выбранной системе координат записывается в силу соотношений (1.11) следующим образом:

Ui — — (kip.) др! дх\\ и2 = —(&/u) др/дх2] и3 = — (k0/\>.) др/дх3.

При значительных скоростях, когда уже нельзя не учитывать инерционной составляющей сопротивления движению жидкости, предпосылки, заложенные при выводе закона Дарси, перестают быть справедливыми. К числу определяющих параметров следует добавить плотность р с размерностью ML~3. Тогда коэффициент с в (1.2) будет зависеть уже от пяти величин, из которых можно образовать две безразмерные комбинации, что дает

Grad= —(ц/k) ug(upd/\>., т). (1-12)

Комбинация upd!]x = Re представляет собой число Рейнольдса для фильтрационного микродвижения. Предполагая, что функция g'(Re) разлагается в степенной ряд, и ограничиваясь первыми двумя членами, получим уравнение двучленного закона фильт­рации:

— (Jfe/ji.) grad р = и + (ta'^-VB. (1.13)

Здесь в качестве характерного размера d принята величина kU2 и учтено, что при и 0 должен быть справедлив закон Дарси. Двучленный закон фильтрации впервые был предложен Форхгей - мером. Формула (1.13) хорошо описывает данные наблюдений даже для весьма больших значений чисел Рейнольдса. Так, для несце­ментированных (насыпных) пористых сред этот закон справедлив вплоть до чисел Рейнольдса порядка 10—100, тогда как отклонения от линейного закона начинаются при Re — 0,1—1,0. Неоднократно делались попытки выбрать характерный размер d таким образом, чтобы процесс фильтрации в пористых средах различной структуры описать единой формулой. Оказалось успешным введение в качестве характерного размера величины (klm)1/2, предложенное М. Д. Мил - лионщиковым. Тогда число Re оказывается равным pukU2m3/2/\>..

При этом удается единообразно описать закон фильтрации во многих средах различной проницаемости. Для несцементированных пористых сред коэффициенты двучленного закона фильтрации (1.13) можно записать в виде

А = А (1 — т)3 m-a/D, р = В (1 — т) m~3/D.

Здесь D — средний размер зерен породы, А и В—значения коэф­фициентов, близкие к постоянным для отдельных групп несцемен­тированных сред, но они зависят, например, от формы зерен.

Поэтому и такая форма записи двучленного закона не является уни­версальной.

Появление квадратичного члена в уравнении закона фильтра­ции до сих пор иногда объясняют турбулизацией течения. Однако порядок критических чисел Рейнольдса в теории фильтрации (0,1—10), рассчитанных по диаметру зерен или пористой среды, указывает на неправильность такого утверждения. Отсутствие турбулентности (т. е. флуктуаций скорости во времени) доказано и прямыми экспериментами. Этот неправильный взгляд обуслов­лен тем, что в гидравлике круглых цилиндрических труб откло­нение от линейной зависимости обязательно связано с турбули­зацией потока, но это не так даже для ламинарного течения в криволинейных трубах.

В задачах теории фильтрации нефти и газа в природных пла­стах применение двучленного закона ограничено движением в при - скважинной зоне высокодебитных скважин и фильтрацией в тре­щиноватых средах. Кроме нарушений закона Дарси, связанных с проявлением инерционных сил, линейный закон фильтрации можот нарушаться при очень малых скоростях, когда проявляют­ся аномальные реологические свойства движущихся жидкостей. Эти вопросы будут рассмотрены в гл. III.