ДВИЖЕНИЕ ЖИДКОСТЕИ И ГАЗОВ В ПРИРОДНЫХ ПЛАСТАХ

Нестационарные задачи фильтрации неньютоновских жидкостей

Нестационарные процессы в пластовой системе при фильтра­ции неньютоновских жидкостей обладают определенными особен­ностями, позволяющими в некоторых случаях обнаружить наруше­ния закона Дарси, оценить их количественно и дать прогноз их возможного влияния на показатели разработки нефтяного место­рождения. Поэтому наблюдение нестационарных процессов — важный источник информации о свойствах пластовой системы.

Основные уравнения. Пусть Р (х, у, z) — распределение давления, отвечающее некоторому стационарному фильтрационному движению, а р (х, у, z, t) — распределение давления в нестационар­ном процессе, начинающемся в момент t — 0, причем

Р (х, у, г, 0) = P. (II 1.62)

Разность

Р=р — Р (III.63)

Назовем возмущением давления или отклонением от стационарного состояния.

Комбинируя уравнения неразрывности слабосжимаемой жид­кости

M/C-[7]A<+dive = 0 (III.64)

И закона фильтрации, которое запишем в виде

Gradр = —ПФ (ы/Х) и! и, и = —Х<|» (| Vp |/П) vp/| vp | (III.65)

(П — характерное значение градиента давления; X — характерное значение скорости фильтрации), получаем систему уравнений филь­трации неньютоновской жидкости при упругом режиме, которую можно привести к одному уравнению

(41.66)

Стационарное распределение, для которого p, t =0, также удовлетворяет уравнению (III.66) или системе (III.64) — (III.65).

Однако р, будучи разностью двух решений уравнения (III.66), вообще говоря, из-за нелинейности функций Ф и не является решением. Таким образом, при нелинейной фильтрации несправед­лив принцип суперпозиции решений, и характер возмущений за­висит, вообще говоря, не только от свойств пластовой системы и инициирующих возмущение внешних воздействий (например, пуск скважины), но и от начального состояния. Далее в тех случаях, когда особо не оговорено противное, будем считать начальное состояние отвечающим первоначально невозмущенному пласту [Р = Р0 =const), причем в силу того, что в уравнения (III.64)— (III.66) давление^ входит только под знаком производных, можно положить Ро = 0, р=р.

Бегущая волна. При распространении возмущения с той или иной степенью строгости выделяется фронт возмущения, от­деляющий невозмущенную область от области возмущения.

Выберем вблизи фронта возмущения некоторую малую область, движущуюся со скоростью фронта. В силу малости области распределение давления в ней можно в любой момент считать стационарным

Будем искать поэтому решение уравнений (111.64) — (III.65), соответствующее бегущей (равномерно распространяющейся в на­правлении оси Ох) волне:

Р = р (x — Vt), и = и(»), \ = х — Vt. (III.67)

Откуда

DU/dX = — (U), U = «/X, v = mVR/lK, X = —о(t/)/v, р = IIVh + Р-, a(t/) = J[®(t/)]-IrfЈ/. (III.69)

Из очевидных условий на бесконечности р = и = 0, $ оо по­лучаем р„ = 0. Дальнейшие выводы существенно зависят от ха­рактера закона фильтрации. Если Ф (U) при U -> 0 остается конеч­ным либо стремится к нулю достаточно медленно (например, как Us, s< 1), то интеграл в (III.69) сходится на нижнем пределе и, следовательно, существует граница X = на которой и правее ее р = и = 0, т. е. волна распространяется с конечной скоростью. В силу произвола в выборе начала отсчета X будем полагать Хо = 0. Вблизи фронта волны X = £о производная dl/dU обращается в бес­конечность, если Ф (0) = 0 (предельный градиент давления отсутст­вует), и конечна при фильтрации с предельным градиентом. Таким образом, на переднем фронте волны давление и скорость фильтра­ции обращаются в нуль плавно, если предельного градиента нет; при наличии предельного градиента на фронте волны распределение давления имеет угловую точку (рис. £8;.

Устремим теперь U к бесконечности. При ЭТОМ, если а (со) = оо, то X —оо; если же а(оо)< со (так будет, например, при Ф (U) — ~ С > 1), то давление и скорость фильтрации в равномерно движущейся волне обращаются в бесконечность в конечной точке. Выбрав точку, совпадающую в начальный момент с фронтом волны, за входное сечение (х = 0) пласта и полагая в полученных соотно­шениях X = —Vt, найдем, по какому закону нужно менять во вре­мени давление в этом сечении для того, чтобы волна в пласте дви­галась равномерно. Обращение этого давления в бесконечность за конечное время означает, что добиться равномерного движения волны давления в течение более длительного времени невозможно; она должна начать замедляться.

В рассмотренном решении наиболее существенным моментом является характер изменения давления и скорости фильтрации вблизи фронта волны. Скорость распространения возмущений конечна, если интеграл (III.69) сходится на нижнем пределе (в частности, при законе фильтрации с предельным градиентом), и
распределение давления имеет на фронте угловую точку, Ф(0)=^0, причем при приближении к границе из области движения градиент давления стремится к предельному. Эти существенно для правильного понимания качественных особенностей решения и для их приближенного построения выводы подтверждаются анализом известных решений более сложных задач. В некоторых случаях такие выводы можно строго обосновать.

Течение вблизи скважины. При исследовании пла­стов наибольший интерес представляют течения вблизи возыуща - ющей скважины. Считая начальное состояние пласта невозмущен­ным, имеем одномерное плоско-радиальное течение, определяем соотношениями

Др_ _ /а_1_ А

Ді т г дг

Р (г, 0) = 0; lim[2i:r/AV(II->/>.,)] = Q(/) или /? (р, f) = pw (III.70)

R-0

(при условиях задания на скважине дебита или давления соответ­ственно). Указанная задача автомодельна в следующих случаях. 1) при степенном законе фильтрации; 2) при произвольном зако не фильтрации, если дебит изменяется по закону Q=AtV - (см. далее задачу 1). Поскольку этим условиям не удовлетворяю практически важные задачи, их приходится исследовать либо приближенно методом интегральных соотношений (см. гл. II), либо численно.

Для отыскания приближенного решения задачи (III.70) примем распределение скоростей фильтрации в виде

1 —щ]' (1П-71)

Где l{t) — граница зоны возмущения. Выберем l(t) таким обра­зом, чтобы в каждый момент удовлетворялось следующее из (III.70) первое интегральное соотношение: соотношение материаль­ного баланса

ЖІ^Г-Р^ t)dr=-Q(f). (111.72)

О

Здесь с учетом условия р (I, t) — 0 вместо р (г, t) следует под­ставить выражение

Т

P(r, t) = - J ПФ(|Ц((' (III.73)

Где и (г, t) дается соотношением (III.71). Выражение (111.71) для скорости фильтрации правильно отражает особенности распределе­ния ее вблизи скважины и на границе зоны возмущения. Поэтому можно получить при таком приближенном решении достаточную точность.

В частности, для закона фильтрации с предельным градиентом при Q = const получим (П = G, X = kG/p, Ф(і/) = U+l):

^o-SK+t'-^O-f)].'*'.

P + 2P/l* = 12*/, /* = IxQ (2rMG)-\ * = kK/mp,

P* = p(Р-О^ІіК + '-т) (IIL74)

На рассматриваемом примере отчетливо видна роль, которую играет дополнительный размерный параметр — предельный градиент давления G. В комбинации с дебитом на единицу мощности пласта с помощью этого параметра получаются характерный линейный размер /* и характерное время t* = /*2/х.

Решение задачи оказывается качественно различным при 1

И > 1. При малых временах имеем I < Пренебрегая в (II 1.75) членами порядка ///*, можно убедиться, что формально это экви­валентно предположению G = 0, т. е. при малых временах решение задачи фильтрации с предельным градиентом оказывается подобным решению линейной задачи:

= 1п т?; 1 = (12х^1/2«<IIL75>

Причина такого совпадения решений линейной и нелинейной задач состоит в том, что при малых временах изменение давления происходит в узкой зоне, где градиенты давления весьма велики; при таких обстоятельствах поправка, вносимая предельным градиен­том, пренебрежимо мала. Со временем область движения расширя­ется, и все большую долю ее составляет область малых градиентов (напомним, что скорость фильтрации на расстоянии г от скважины, очевидно, не превосходит Q!(2r. rh). Поэтому все более существенным оказывается вид закона фильтрации при малых скоростях. Если t > t*, имеем

1 I r. khG J '*' ~ /3^(х(ЗУ/3 , pQ, %khGр3 , 3ixQ /TTI _с.

Таким образом, для значительных времен закон изменения давления в скважине оказывается уже не логарифмическим, а степенным. График pw(In t) показан на рис. 29, распределение давления в функции от расстояния от скважины имеет логариф­мическую асимптотику вблизи скважины, а на границе зоны воз­мущения градиент давления равен предельному.

Позднее вернемся к анализу найденного решения. Воспользуемся тем же приближенным подходом для того, чтобы рассмотреть пуск скважины с постоянным забойным давлением pw = P°w < 0. Приняв вновь приближенное распределение скорости фильтрации в виде (III.71), после несложных выкладок получим

Q{t) = _^iPw + Gl)/(inj—l); P»>-G/;P«/,

+ = (III.77)

Где p — радиус скважины.

Последние соотношения приводятся к обыкновенному дифферен­циальному уравнению первого порядка для I. При малых временах, р < / < —A»/G предельный градиент давления не проявляется. При этом

/^(12х01/2> Q ~ — 2vkhPw/^ ln(//p). (III.78)

С другой стороны, при I -> —Pw/G = дебит Q О, и из (111.77) легко находим, что с увеличением времени (t со) граница зоны возмущения асимптотически стремится к Iраспределение давле­ния при этом стремится к предельному

P-(r) = Pw + (r — 9)G, r<L. (III.79)

При этом дебит Q с возрастанием t стремится к нулю экспо­ненциально, и, следовательно, суммарный отбор жидкости из скважины V за бесконечное время при фиксированной депрессии Pw конечен. Этому соответствуют конечность воронки депрессии и области дренирования скважины после прекращения притока. Из соображений баланса находим предельный суммарный отбор жидкости из скважины

,, с" 2nhmr.. , ЧлтЬ. Ръ.... от

= і (г) = Тте5" ( }

Конечность зоны дренирования может приводить к заметному снижению степени извлечения жидкости из пласта при разработке на истощение. Имеется ряд указаний на то, что этот эффект существен при разработке также и газовых месторождений, при­уроченных к глинизированным коллекторам, когда для газа обна­руживается пороговый градиент давления (см. далее задачу 3).

Взаимодействие воз­мущений с внешним по­током. Взаимодействие эффек­тов нелинейной фильтрации и не­однородности фильтрационного потока может определяющим об­разом влиять на характер неста­ционарных процессов. Из всего многообразия возникающих здесь вопросов мы рассмотрим только влияние внешнего потока на рас­пространение возмущений от скважины. Поскольку в данном случае речь идет, главным обра­
зом, о сложных двумерных течениях, ниже приводятся в основном результаты численного решения соответствующих задач. Однако некоторые существенные моменты удается обнаружить на следу­ющем сравнительно простом примере. Допустим, что в начальный момент в пласте существует стационарное течение без застойных зон (ы>0), которому отвечает распределение Р(х, у, z) а в мо­мент / = 0 начинается нестационарный процесс, характеризуемый возмущением давления р (х, у, z, t). Будем полагать это возмуще­ние малым, так что в любой точке пласта

Wl«lvn

Относительно возмущения р. В частности, если невозмущенное те­чение представляет собой однородный поток с градиентом давления П0, уравнение (II 1.82) принимает вид

(III.83)

Уравнение (III.83) — линейное уравнение теплопроводности в анизотропной среде с коэффициентами проводимости, различными по осям х и у. Коэффициенты проводимости составляют: *о по оси у И Хо'Ро/ЧГо по оси х. Их отношение равно отношению угловых коэффициентов касательной к кривой ЧГ (С) в точке С = П0/П и секу­щей, проведенной из начала координат в ту же точку. Для псевдо­пластического характера закона фильтрации (Ф" > 0) это отношение всегда больше единицы. Вообще говоря, оно зависит от интенсив­ности невозмущенного течения и, в частности, для закона фильтра­ции с предельным градиентом (<Р(С) = С—1, П = G) монотонно убывает от бесконечности до единицы с ростом интенсивности те­чения от П = G до бесконечности.

Нетрудно убедиться непосредственно в том, что локально в каж­дой точке неоднородного потока структура уравнения для возму­щений будет близка к (III.83), если под х и у понимать оси, ориен­тированные по невозмущенному потоку и по нормали к нему.

Уравнение (II 1.83) преобразованием

(III.84)

В частности, если начальное возмущение создается в начале координат (х = у = 0), то в системе XOY задача осесимметрична:

Р = p(R, t); R2 = X2 + Y2. (III.85)

С учетом (III.84) это означает, что в исходной системе хОу линии уровня возмущения р(х, у, t) — эллипсы, определяемые уравнением {x/w'o)2 + (y/Vof = const. (III.86)

Следовательно, возмущение давления распространяется по однородному начальному потоку с различной скоростью в разных направлениях — нестационарный процесс обладает «наведенной анизотропией». Приведенный анализ нельзя непосредственно ис­пользовать для исследования основной задачи о возмущении одно­родного потока при пуске скважины, поскольку в этом случае возмущения градиента давления вблизи скважины не малы. Однако можно ожидать, что характер изменения давления качест­венно будет таким же, как и в рассмотренной линеаризованной задаче.

Численные расчеты[8] возмущения, вносимого в однородный фильтрационный поток пущенной в работу скважиной, в основном подтверждают эти предположения. На рис. 30 показано распрост­ранение линии уровня возмущения, отвечающей /7 = 0,05 QG/K при различных значениях интенсивности исходного потока.

Помимо предсказанной нами заранее анизотропии распростра­нения возмущений (тем сильнее выраженной, чем меньше интен­сивность внешнего потока) наблюдается и своеобразный их «снос» внешним потоком. Этот существенно нелинейный эффект объяс­няется тем, что внешний поток и поток от скважины с одной сто­роны от нее (см. рис. 30, слева) противоположно направлены, в результате чего образуется застойная зона. Последствия такого локализованного вблизи скважины взаимодействия проявляются и на удалении от нее, где линии уровня давления оказываются смещенными по потоку.

Анализ динамики изменения давления в скважине при пуске ее в работу показывает, что внешний поток может оказывать на нее существенное влияние. Из рис. 29 видно, прежде всего, что достаточно сравнительно слабого внешнего потока для того, чтобы кривая изменения давления (т. е. зависимость давления в скважи­не от времени) стала существенно отличной от кривой, рассчитан­ной для осесимметричного притока в невозмущенном пласте. С увеличением интенсивности внешнего потока это различие рас­тет, и кривая изменения давления приближается к кривой, отвеча­ющей линейному закону фильтрации.

Анализ данных исследования скважин. Как уже говорилось, основная цель исследования нестационарных
процесов состоит в том, чтобы дать методы опре­деления параметров плас­тов по данным исследо­вания скважин. В тех слу­чаях, когда речь идет о те­чениях, не следующих за­кону Дарси, эта задача, не­простая сама по себе, ста­новится особенно трудной.

Главная трудность со­стоит в том, что нельзя за­ранее указать, какого рода отклонения от идеальной мо­дели упругого режима филь­трации присущи исследуемому объекту. Так, искривление инди­каторных диаграмм скважин может быть вызвано не только нели­нейностью закона фильтрации, но и разгазированием нефти, нели­нейно-упругой деформацией пласта в целом или раскрытием тре­щин в прискважинной зоне и т. д. Далее, если даже установлено, что нелинейность обусловлена нарушением закона Дарси, остается проблема выбора между, допустим, законом фильтрации с пре­дельным градиентом давления и степенным законом фильтрации.

В настоящее время нет законченной методики анализа резуль­татов наблюдений, позволяющей решать сформулированную выше проблему выбора. Более того, уже ясно, что такая методика не может быть чисто гидродинамической, а должна использовать всю совокупность сведений о пласте для уменьшения числа конкуриру­ющих гипотез.

Ниже рассматривается только вопрос о различении эффектов нарушения закона Дарси и нелинейно-упругого режима по данным исследования скважин. Этот вопрос был детально исследован в последнее время численно.

Рассматривается пуск в работу скважины в первоначально невозмущенном пласте с постоянным начальным давлением Р0, причем предполагается, что проницаемость k и пористость т зави­сят от давления и использована экспоненциальная аппрокси­мация

K (р) = k0 exp \ak (р — Ро)]; т (р) = т0 exp [ат (р — Ро)]- (И 1.87)

Одновременно допускается, что движение следует закону фильт­рации с предельным градиентом вида (111.9) с постоянным значе­нием G. Были рассмотрены различные режимы изменения дебита скважины во времени и соответствующие им режимы изменения давления в скважине и на удалении от нее.

На рис. 31 показаны кривые относительного изменения давления Лр/Q при пуске скважины с постоянным дебитом при нелинейно - упругом режиме (G = 0) и слабо меняющейся пористости (ат = 0>
для различных значений единственного безразмерного параметра задачи (Q > О отвечает закачке, Q < 0 — отбору жидкости)

С ростом параметра А относительное изменение давления умень­шается. Если учесть, что в широком диапазоне изменения А зави­симость Др/Q от In t достаточно близка к линейной (см. рис. 31), то при любой интерпретации результатов исследований с ростом интенсив­ности закачки увеличивается эффективная гидропроводность пласта (fc/i/ji), определенная по кривым изменения давления (соответственно уменьшается гидропроводность с увеличением интенсивности отбора).

Если не учитывать зависимости проницаемости и пористости от давления, но считать закон фильтрации нелинейным псевдо­пластическим (рост относительной подвижности с ростом скорости фильтрации, Ф"(С/)<0), то анализ кривых изменения давления при пуске скважины по стандартной методике [11] приводит к выводу, что эффективная гидропроводность возрастает с увеличе­нием абсолютного значения дебита, при котором проведено иссле­дование скважины. Причем, если закон фильтрации аппроксими­руется степенной зависимостью Ф(U) = US, то зависимость эффект­ной гидропроводности от дебита также степенная:

(£%)эф~|<21с, С = 2 (s— 1)/(3 — s). (III.88)

Таким образом, основное отличие между эффектами нелиней­но-упругого режима и нелинейной фильтрации при исследовании

Скважин проявляется в том, что первым соответствует рост эф­фективной гидропроводности с ростом дебита при закачке и па­дение при отборе; вторым — рост гидропроводности с ростом деби­та как для закачки, так и для отбора (рис. 32). Легко убедить­ся, что это — общий факт, не за­висящий от принятых аппрокси­маций. Такое отличие служит своего рода «диагностическим признаком» для различения двух причин нелинейности.

Можно предположить методи­ку выделения каждого из этих эффектов, выделяя четную и не­четную по Q части зависимости Ap/Q от Q.

Другим важным диагносциру - ющим признаком может быть ха­рактер распространения возмуще - ний на больших расстояниях от

РИС. 32. Изменение эф­фективной гидропровод - ности при нелинейно-уп­ругом режиме (/) и не­линейной фильтрации (//)

Скважины. В этой области давление мало отклоняется от невоз­мущенного, а скорости фильтрации близки к нулю. Поэтому оче­видно, что здесь нелинейно-упругие эффекты слабы, а эффекты нелинейной фильтрации, в особенности типа предельного градиен­та давления, выражены особенно сильно. Так, на рис. 33 показа­но изменение давления на различных расстояниях от возмуща­ющей скважины при периодическом (со сменой знака) изменении дебита в ней.

Помимо относительно быстрого затухания возмущений и конечности расстояния, на которое они распространяются, суще­ственно, что с растоянием последовательные импульсы давления не сглаживаются, а все более приближаются по форме к прямо­угольным. Этот качественный признак можно использовать для установления наличия в пластовых условиях предельного гра­диента давления.

Задача 1. Показать, что решение задачи о притоке к скважине, пущенной в работу с постоянным дебитом Q, автомодельно при степенном законе фильтра­ции. Исследовать зависимость давления в точке наблюдения от времени. Получить зависимость (III.88).

Задача 2. Объяснить качественно эффект перестройки импульсов в прямо­угольные при фильтрации с предельным градиентом.

Задача 3. Определить максимальный возможный отбор газа в расчете на одну скважину, если начальное пластовое давление р0, минимально допустимое давление на забое р и движение газа следует закону фильтрации

^=-4~(Vp2-nVp2J\Vp2\); | Vp2 | > п, pu = 0, IV/f2 1 < п.