ДВИЖЕНИЕ ЖИДКОСТЕИ И ГАЗОВ В ПРИРОДНЫХ ПЛАСТАХ

Устойчивость вытеснения несмешивающихся жидкостей

Для того, чтобы реально осуществлялись движения, описыва­емые приведенными выше решениями уравнений двухфазной филь­трации, они должны быть устойчивы, по крайней мере, к малым возмущениям. Возмущения, связанные с неоднородностью среды и непостоянством скорости фильтрации, всегда возникают при течении жидкостей в реальных пористых средах. Они могут быть немалыми, тогда устойчивость к малым возмущениям есть необхо­димое, но не достаточное требование.

1. При исследовании устойчивости решения Баклея — Леверет­та в крупномасштабном приближении нужно ограничиваться воз­мущениями, длина волны которых (кривизна фронта скачка) ве­лика по сравнению с толщиной стабилизированной переходной зоны. Рассмотрим устойчивость плоскопараллельного вертикаль­ного вытеснения несмешивающихся жидкостей с учетом силы тя­жести. Уравнения двухфазной фильтрации в крупномасштабном приближении запишем в виде

U, = - (kf, (s)/[a/) grad (p + Pigx), /=1,2, (IV. 134) mds/di + div u\ = 0; div« = 0; и — щ + и2- (IV. 135)

Компоненты векторов и по ссям X, у, Z обозначим Uj, Vj, Wj. Ось х направлена вертикально вверх.

Течением, устойчивость которого исследуется, является плоско­параллельное движение вдоль оси х с постоянной скоростью фильт­рации «о = «ю + «20- Позади и впереди скачка, движущегося со скоростью V, насыщенность постоянна и равна соответственно s— = sc, s+ = So. При этом выполняются соотношения (см. § 2 дан­ной главы):

V = u0 (<lie — фо)/m (sc — so),

«1 = "To = «офс С < 0, u\ = «іо = "офо, С >0,

Где = ф (Se); фо = ф (so); ^(s) = F(s)ll~Wh(s)!u0]; W = kApg/^; Др = pi — p2, С = x — Vt.

Распределение давления описывается соотношениями, вытекаю­щими из уравнений (IV. 134) и непрерывности давления на скачке

Ро = - (н! к) (ио/ус + WFC) С + + Ро, (С < 0),

Pt = — Ом/*)(«о/то + WF0): + P2g: + Ро, (оо),

Где срс = ср (sc); ®о = <? (so); Fc = F (sc); F0 = .F(so); P0 = const; <p (s) = = /і (s) + И0/2 (s), но = !*l/H2.

Рассмотрим решение уравнений (IV. 134) и (IV. 135), отличаю­щееся от описываемого соотношениями (IV. 136)—(IV. 138) малыми возмущениями всех переменных, кроме насыщенности, т. е. положим

Я,- = И/о + £Я/, Р =/7о + / = 1, 2. (IV. 139)

Здесь є — малая величина; вектор »/ имеет компоненты ы,-, у/, ю/. Уравнение возмущенного фронта скачка примем в виде Zc = xc—Vt=BX*{y, z, t). (IV. 140)

Подставляя выражения (IV. 139) в уравнения (IV. 134) и (IV. 135), получим, что в первом приближении по в возмущения (величины, обозначенные звездочкой) удовлетворяют системе уравнений

Я/ = (kfi (Sc)/W) grad p', С < о, / = 1, 2 (IV. 141)

Щ = — (kfi (so)/w) gradp*, С > 0, div «' = 0. (IV. 142)

Поскольку искажения фронта малы, условия на скачке можно снести на плоскость С. Тогда с точностью до малых величин по­рядка є получим условия для возмущений при С = 0:

И\~— и\+ = т (sc — so) dx'/dt. (IV. 143)

ИГ+и'2~ = и]++ и2+ = и, (IV. 144)

Р'~ - р'+ = v-x/k [1,V - 1/сро) ио + W (2 - Fo - Fc)] х\ (IV. 145) Кроме того, возмущения должны обращаться в нуль при С -»-

-> + со.

Произвольное возмущение фронта скачка может быть разложено в интеграл Фурье по у и z. Поэтому для исследования устойчи­вости достаточно рассмотреть развитие синусоидального возмуще­ния, которое выразим в комплексной форме

Х* = X (t) exp (ifay + tpaz). (IV. 146)

Тогда нетрудно показать, что возмущение давления р', удовле­творяющее уравнениям (IV. 141) и (IV. 142) и стремящееся к нулю при С-> ± со, должно выражаться в виде

_ РТ (t) exp (ifay + ife ± PC). (IV. 147)

Где р = Уф* + pi- Возмущения скоростей фильтрации получаются из (IV. 147) и уравнения (IV. 141).

Используя условия (IV. 143)—(IV. 145) и исключая Р+ (t), по­лучим уравнение, описывающее изменение амплитуды произволь­ного синусоидального возмущения:

DX/dt = —N$X/m (sc — s0) (чҐ + то-1). (IV. 148)

Где

N = (1/<ре— 1/сро) "о + W (2~Fo — Fc). Решение уравнения (IV. 148) при условии Х(0) = Х0

X = Х0 exp [— N$t/m (sc — s0) (1/<ре + 1/сро)]. (IV. 149)

Таким образом, если

N = (1/<ре - 1/сро) «о + 07(2 —F0 — Fc)> 0, (IV. 150)

То начальные малые возмущения со временем затухают, в против­ном же случае возрастают. Поскольку в условие (IV. 150) не вхо­дит волновое число р, то оно справедливо для малых начальных возмущений произвольной формы.

Условие устойчивости (IV. 150) получено без учета возмущений насыщенности. Можно показать, что малые возмущения насыщен­ности распространяются, не затухая и не разрастаясь, и поэтому не меняют вида условия устойчивости.

Величину fep(s)/[Ai принято называть подвижностью фильт­рующейся двухфазной жидкости, функцию ср (s) = f\ (s) + Р-о/г (s) — относительной подвижностью. Условие (IV. 150) означает, что при №=0 (бэз влияния силы тяжести) фронт вытеснения ус­тойчив, если подвижность вытесняющей жидкости за фронтом срс меньше, чем подвижность вытесняемой фазы впереди него. Если W > 0, т. е. плотность вытесняющей жидкости больше, чем вытес­няемой, а вытеснение происходит снизу вверх, то действие силы тяжести способствует стабилизации фронта, и наоборот. Условие (IV. 150) было получено впервые И. А. Чарным несколько иным путем.

Отношение подвижностей на скачке М* = <ро/<Рс зависит от вида кривых относительной проницаемости и отношения вязкостей фаз М = ц2/|м = 1 /но* С ростом М отношение подвижностей М* также растет, но критическое значение ЛГ = 1 достигается при М = Мкр, обычно превышающем единицу.

Например, если относительные проницаемости имеют вид:

/l(s) = (s-s.)2/(l-s.)2; /2(s) = (s*-s)2/s*2, ^ ^ (/1 = 0 при s<s„, /2 = 0 при s>s*), a So = s„, то из формулы (IV.45) нетрудно получить

Sc = s, + (s* - s.) (Af, + 1)~~1/2; М - = 2 [1 - (M, + l)-l/2], M, = Ms'2/(1 — s,)2.

Заметим, что если s* =1 —s,, то M} = М. Отношение подвиж­ностей М* равно единице при = 3. Таким образом, для квадра­тичных относительных проницаемостей вытеснение устойчиво при М^ < 3 и неустойчиво при Мі > 3.

Если относительные проницаемости выражаются в виде куби­ческих функций соответствующих насыщенностей, то критическое значение отношения вязкости составляет около 9,8, а если в ви­де четвертых степеней — то около 18,3.

2. Условие устойчивости (IV. 150) было получено без учета капиллярных сил. Капиллярные силы, обладающие диссипативным действием на распределение насыщенности, способствуют стаби­лизации фронта вытеснения. Точное исследование их влияния на устойчивость аналитическим путем провести не удается. Здесь даны результаты асимптотического исследования при принятом выше условии, что длина волны возмущения велика по сравне­нию с протяженностью переходной (стабилизированной) зоны.

Действие капиллярных сил в таком приближении учитывается в граничных условиях на скачке.

Чтобы избежать громоздких выкладок, рассмотрим течение без учета сил гравитации, описываемое системами уравнений (IV. 19) и (IV.20). Второе из этих уравнений запишем в виде

Mds/dt + F' (s) (и grad s) — а2тДФ (s) = 0. (IV. 152)

Пусть невозмущенное движение направлено вдоль оси х и опи сывается (IV. 136)—(IV. 138).

При этом положим Й7 = 0, откуда ф (s) =F(s). Определим воз­мущения скоростей и давления формулами (IV. 139). В линейном приближении относительно в возмущения по обе стороны фронта удовлетворяют уравнениям (IV. 141) и (IV.142). Чтобы получить для них граничные условия, проинтегрируем уравнения (IV. 19) и (IV.152) по х вдоль переходной зоны, считая, что граница раз­дела слабо искривлена. При этом пренебрегаем членами порядка ширины зоны и квадратами производных по у и г. Переходя в полученных выражениях к возмущениям, снова получим условия (IV.144) и (IV.145). Однако вместо (IV.143) из уравнения (IV.152) следует

Dx'/dt — u'V/uo — а2 [(Фс — ®0)/(sc — s0)] (d2x'/dy2 + d2x'/dz2) = 0

(Фс = Ф (Sc), Фо = Ф (so)). (IV. 153)

Х* и р*~ по-прежнему выражаются формулами (IV. 146) и (IV. 147). Условия (IV.144), (IV. 145) при W = 0 и (IV. 153) приводят к сле­дующему уравнению для X (t):

DX/dt + рх [V (1 — ЛГ)/( 1 + ЛГ) + а2р (Фс — ®0)/(s° — s0)] = 0.

(IV. 154)

Из уравнения (IV. 154) следует условие устойчивости

V (1 - ЛГ)/(1 + ЛГ) + а2р (Фс - Фс)/(* - so) > 0. (IV. 155)

Условие (IV. 155) совпадает с (IV. 150), если отсутствуют капил­лярные и гравитационные силы. При М* > 1, когда без воздейст­вия капиллярных сил фронт скачка неустойчив, они обеспечивают устойчивость возмущений, длина волны которых меньше критиче­ского значения Хс, определяемого, в соответствии с условием (IV. 155), формулой

К = 27Г/|3С = [2«а2 (Ф£ - Ф0)/У (Sc - So)] (ЛІ* + 1 )/(ЛГ - 1). (IV. 156)

Вывод условия (IV. 155) и формулы (IV. 156) был сделан в пред­положении, что ширина переходной зоны много меньше длины волны возмущения. Согласно результатам, изложенным в § 3 на­стоящей главы, протяженность стабилизированной переходной зоны 8/, пропорциональна a2/V. Поэтому предположение кс 8/ выпол­няется только при ЛГ, близком к единице, т. е. лишь вблизи гра­ницы устойчивости по параметру М*. В общем же случае крити­ческая длина волны возмущения \с, разделяющая области устойчи­вого и неустойчивого вытеснения, является функцией параметров а2, V и Л4 = |і2/щ. Из соображений размерности следует

■кс = аЦ{М)1У. (IV. 157)

Вид функции <|> (М) может быть получен в результате числен­ного исследования [14].

На устойчивость фронта вытеснения влияют и неравновесные эффекты описанные в предыдущем параграфе. Они оказывают стабилизирующее влияние на мелкомасштабные (коротковолно­вые) возмущения в гетерогенных средах.

Нелинейная стадия развития неустойчивости. Приведенный нелинейный анализ устойчивости указывает на воз­можность возникновения экспоненциально разрастающихся при малых временах искажений фронта вытеснения (скачка) при нару­шении условия (IV.150) или (IV.155). Дальнейшее развитие воз­мущений фронта может быть исследовано методами физического или численного моделироваия.

Экспериментальные исследования, проведенные в 1950— 1960 гг. Саффманом и Тейлором, Чуоком и другими, показали, что развитие возмущений плоского фронта вытеснения в пористой среде при нарушении устойчивости происходит в виде неограни­ченно разрастающихся «языков обводнения». Эксперименты Б. Е. Кисиленко на насыпных пористых средах показали, что на­рушение устойчивости происходит при отношении вязкости нефти и воды, превышающем критическое значение Мкр, находящееся в пределах 10—15. В то же время при малых скоростях вытеснения возмущения затухают даже при отношениях вязкостей больших критического, что согласуется с условием (IV.155).

Искажение фронта вытеснения нефти водой приводит к сни­жению нефтеотдачи и росту обводненности, что обусловливает практическую важность изучения неустойчивости вытеснения.

Единственным методом теоретического исследования нелиней­ного развития возмущений при нарушении устойчивости остается численное моделирование, начатое в работах Рэчфорда и позже М. И. Швидлера, Р. М. Кацг. П. В. Индельмана.

Приведем некоторые результаты численных расчетов неустойчи­вого вытеснения, выполненых В. М. Битовым и В. Б. Таранчуком.

Моделировалось вытеснение без учета капиллярных и гравита­ционных сил в плоской прямолинейной области между двумя гале­реями с заданным расходом д0 на входной галерее х = 0. Относи­тельные проницаемости задавались в виде (IV. 151) при s,= 0, s*= 1, чему соответствует критическое отношение вязкостей МКр = 3.

На входе формировалось малое синусоидальное возмущение фронта с амплитудой хо и длиной волны L, а затем прослеживалась его эволюция. Было установлено, что справедливо условие устой­чивости (IV. 150), т. е. при М< 3 амплитуда возмущений фронта
со временем затухает, при М > 3 растет, при М = 0 — со временем не меняется.

На основе численного моделирования была получена зависи­мость относительной амплитуды фронта скачка X/L (L — длина волны возмущения) от безразмерного времени х = tptk/m\>.\L2, где pt — давление во входной галерее. Расход q0 выбирался таким, что qop\L! kpt = 0,3. Соответствующие зависимости Z = In (X/L) от т при различных значениях параметров приведены на рис. 50.

Для кривых 1 и 2 начальные амплитуды = 0,051 (при т = 2), для кривых 3 и 4 Хо = 0, 1L.

На рис. 50 видно, что на начальном участке зависимость Z(x) прямолинейна, что согласуется с формулой (IV. 150). Угловой коэф­фициент прямой Z(x) согласно формуле (IV. 150) при М = 10 со­ставляет 0,357, при М = 7 — 0,244, а при численном моделировании соответственно 0,345 и 0,249. Предсказываемый линейной теорией экспоненциальный закон роста возмущений оказывается справед­ливым даже для возмущений, амплитуда которых сопоставима с длиной волны. Однако при достаточно больших возмущениях экс­поненциальный закон роста нарушается.

В тех случаях, когда амплитуда возмущения сравнима с дли­ной волны или больше нее (кривые 3 и 4 на рис. 50), заметно по­степенное снижение ускорения роста возмущений и переход к режи­му их равномерного роста. Этот режим соответствует изученному Саффманом и Тейлором стационарному движению языков боль­шой протяженности относительно окружающей их вытесняемой жидкости.

Процесс вытеснения после потери устойчивости, по крайней мере, при одномерной фильтрации, происходит в виде хаотически расположенных языков. Для упрощенного описания такого процес­са сделаем следующие предположения: во-первых, протяженность

Языков в направлении потока будем счи - РИС. 50. Зависимость тать намного большей их ширины (рас - протяженности «языков» сматривается стадия развитого языкооб - от безразмерного времени: разования); во-вторых, течение в среднем j^J — лі = ю; 2 и 4— будем считать одномерным, поэтому ско­рость фильтрации каждой из жидкостей, осредненная по некоторому представитель­ному сечению, направлена вдоль оси х; в-третьих, насыщенность внутри каждого «языка» принимается постоянной.

При таких предположениях для осред - ненного течения получим обычные уравнения двухфазной фильтрации, но с относительны­ми проницаемостями, линейно зависящими от соответствующих насыщенностей. Решение Баклея — Леверетта для линейных зависи­мостей Д от s приведено в § 2 данной главы, см. (IV.155). Напомним, что при этом для М < 1 вытеснение оказывалось поршневым

А для М > 1 протяженность зоны переменной насыщенности (зоны языков) пропорциональна величине

X = (M*—l)t/M. (IV.158)

Линейный рост языков со временем согласуется с приведен­ными результатами численного моделирования.

Дальнейшим обобщением осредненного описания неустойчиво­го вытеснения на случай неоднородных пластов является модель Хэрна, А. К. Курбанова так называемых фиктивных относитель­ных проницаемостей. Согласно этой модели, пористая среда пред­ставляется в виде набора слоев различной проницаемости, сво­бодно сообщающихся между собой, т. е. в одномерном потоке в каждом сечении давление (гидродинамический потенциал) пред­полагается постоянным. Кроме того, предполагается, что вытесня­ющая фаза в первую очередь занимает высокопроницаемые про­слои. На основе сделанных предположений, очевидно, можно при заданной средней по сечению насыщенности вытесняющей фазой найти среднюю проницаемость для каждой фазы, т. е. определить осредненные относительные проницаемости в зависимости от сред­ней насыщенности. Вид функций относительных проницаемостей тогда полностью определяется статистической функцией распре­деления проницаемости по сечению. Например, если функция рас­пределения проницаемости Ф{к/к0), линейна в интервале k = 0— —k = k0, т. е.

Ф = 0 (& < 0); Ф = k/k0(0<k< Ао); Ф = 1 (k>k0), (IV. 159) то осредненные (фиктивные) относительные проницаемости имеют вид /, = 1- (1-5)2; /2==(1_S)2; s=(s-st)/(s'-s,). (IV. 160)

Легко убедиться, используя формулы § 2 данной главы, что при таком виде относительных проницаемостей при М > 0,25 F" (s) везде меньше нуля и скачок насыщенности не возникает; такая ситуация соответствует образованию развитой системы языков. При М < 0,25 образуется скачок насыщенности, интенсивность которого растет с уменьшением М, а при М ->- 0 характер вытеснения при­ближается к поршневому.