ДВИЖЕНИЕ ЖИДКОСТЕИ И ГАЗОВ В ПРИРОДНЫХ ПЛАСТАХ

Уравнение неразрывности и основные уравнения теории фильтрации

Система уравнений общей гидродинамики состоит из уравне­ний сохранения массы, импульса и энергии и уравнений состоя­ния. При движении жидкостей и газов в пористой среде уравнение сохранения импульса сводится к формуле закона фильтрации. Уравнение энергии существенно лишь в тех случаях, когда нельзя пренебрегать изменением температуры. В последующем, кроме специально оговоренных случаев, принимается условие постоян­ства температуры Т=const с учетом незначительности скоростей движения и высокой теплоемкости пород, окружающих проница­емые пласты. В связи с этим уравнения состояния сводятся к вы­ражениям, связывающим при заданной температуре плотность жидкости и пористость среды с напряжениями в этой среде и дав­лением жидкости в порах. Запишем теперь уравнение неразрыв­ности, выражающее условие сохранения массы жидкости при фильтрации.

Рассмотрим баланс массы жидкости в произвольном элементе объема пористой среды V, ограниченном поверхностью S, пред­полагая, что скоростью частиц твердого скелета можно пренеб­речь.

Приравнивая приращение массы жидкости в элементе V за время dt

(1.14)

Притоку массы жидкости через поверхность элемента за то же время

—dtUundS (1.15)

S

Н преобразуя поверхностный интеграл в объемный, получаем ин­тегральное соотношение

J(^ + div<p*))rfV = Of

V

Откуда в силу произвольности элемента V и непрерывности всех полей вытекает дифференциальное уравнение неразрывности

(/яр), < + div (рв) = 0. (1.16)

Окончательная формулировка большинства задач теории фильтрации заключается в составлении на основе уравнения не­разрывности и закона фильтрации дифференциальных уравнений для распределения давления и в установлении соответствующих начальных и граничных условий. При составлении этих уравнений и формулировке задач необходимо знать зависимость от давления характеристик пористой среды и насыщающей ее жидкости.

Рассмотрим прежде всего влияние давления на свойства жид­кости — плотность р и вязкость р.

Для однородных капельных жидкостей — воды и нефти — из­менения плотности в пластовых условиях обычно невелики: встре­чающиеся в фильтрационных движениях перепады давления (еди­ницы МП а) весьма малы по сравнению с модулями объемного сжатия Кр капельных жидкостей (5-Ю2 — 2-Ю3 МПа). Поэтому обычно достаточно ограничиться линейной зависимостью

Р(р) = Ро[1-0>-/*>)/Яр]. (1.17)

Хотя сжимаемость капельных жидкостей мала, она играет зна­чительную роль в тех случаях, когда возмущения давления захва­тывают обширные области (здесь существенно то, что нефтяные залежи обычно граничат с пластовой водой, суммарный объем ко­торой значительно больше объема нефти в залежи; в результате этого за счет расширения воды со снижением давления может пол­ностью компенсироваться извлекаемый объем нефти). Зависи­мостью вязкости капельных жидкостей от давления при изменении давления в тех же пределах можно обычно пренебречь[2].

Фильтрационные движения газа характеризуются тем, что ввиду больших абсолютных значений давления и перепадов газ часто нельзя считать идеальным. Уравнение состояния газа обыч­но записывается в виде:

Р = p/z(p, T)RT. (1.18)

Здесь Я = 8,314 Дж/(молЬ'К) — универсальная газовая посто - я нная.

Преимущества такой записи связаны с тем, что для коэффи­циента сверхсжимаемости 2 (р, Т) составлены таблицы и графи­ки, охватывающие ряд практически важных случаев, и имеются простые способы приближенного вычисления его для газовых смесей. Отклонение z от единицы (отличие газа от идеального) значительнее для более тяжелых углеводородных газов.

Согласно кинетической теории газов, вязкость их не должна зависеть от давления. Это утверждение также неприменимо к условиям, характерным для газового пласта. При фиксированной температуре вязкость газа может изменяться на десятки процен­тов при изменении давления на единицы МПа.

Чтобы проанализировать зависимость от давления свойств пористой среды — пористости и проницаемости, рассмотрим пове­дение насыщенного жидкостью образца при одноосном нагруже - нии. Предположим, что нагрузка F на цилиндрический образец площадью поперечного сечения S, заключенный в непроницаемую оболочку, создается непроницаемым поршнем. Снизу на проница­емое основание действует давление р, равное давлению в жидко­сти (рис. 3). Тогда из условий равновесия образца в пренебреже­нии силами трения о боковые стенки следует

F=*pS+Fi. (1.19)

Здесь Fі — сила, действующая на проницаемое основание. Оче­видно, F = aS, где о — полное напряжение в насыщенном образце; Fі —afS, где at—напряжение, воспринимаемое твердым скелетом (в расчете на всю площадь S). Из (1.19) получаем

О / = « — />, (1.20)

Где а! — эффективное напряжение. Изменение пористости в условиях одноосного нагружения происходит под действием этого напряжения, вызывающего перестройку скелета пористой среды. Изменение пористости в зависимости от давления при фиксированной нагрузке, обус­ловленное сжимаемостью зерен, мало по сравне­нию со сжимаемостью пористой среды в целом, обусловленной переупаковкой зерен: жесткость материала зерен для таких сред, как песчани­ки ит. п., очень велика.

Аналогичные соображения применимы и в более общих случаях. Опытные данные, по­лученные в условиях произвольного нагруже­ния пористого образца, позволяют определить зависимость пористости не от тензора истин­ных напряжений, действующих в скелете по­ристой среды, а от тензора эффективных на­пряжений. Так как при действии на пористую среду только приложенного внутри нее гидро­статического давления касательные напряже­
ния не возникают, касательные компоненты тензора истинных на­пряжений и тензора эффективных напряжений совпадают, а нор­мальные компоненты отличаются на величину р. Поэтому имеем

О'ц = о£/ — pbih (1.21)

Где ац — соответственно компоненты тензора эффективных на­пряжений и тензора истинных напряжений (Ьц = 1 при і — /; Ьц = = 0 при і ф /).

Пористость и проницаемость как скалярные величины могут зависеть только от инвариантов тензора эффективных напряже­ний.

В линейном приближении зависимостью от второго и третьего инвариантов обычно пренебрегают, так что

M = m(6, ру, k = k(i, р)-, fl = (l/3)oL (1.22)

Можно установить связь между средним нормальным эффектив­ным напряжением 6 и давлением, если рассмотреть напряженное - состояние в пласте. Пусть Н — глубина залегания пласта, h — его толщина, а р0 — средняя плотность горных пород. Обычно толщина нефтяных пластов много меньше глубины их залегания, т. е. Л<#. Вес горных пород, лежащих над пластом, уравновешивается систе­мой напряжений в пористой среде и гидродинамическим давлением жидкости. Систему жидкость — пористая среда можно представить себе как некоторую деформируемую сплошную среду, в которой к нормальным напряжениям, действующим в пористой среде, добав­ляются нормальные напряжения, воспринимаемые жидкостью. Ком­поненты суммарного напряжения ац выражаются с помощью соот­ношения (1.21)

°U = °fij + phh (1.23)

Где Ьц — единичный тензор.

Запишем уравнение равновесия системы жидкость — пористая среда с учетом силы тяжести в виде:

DoiJdxa + pgi = dolJdXa + дрідхі + pgv = 0, (1.24)

Где р — суммарная плотность системы жидкость — пористая сре­да. Учитывая, что плотности слабосжимаемых горных пород и жид­кости изменяются незначительно, а значение ее для газа по сравне­нию с твердым скелетом мало, в уравнении (1.24) можно поло­жить р = const, т. е. это уравнение, не содержащее явно время. Суммарные напряжения на кровле и подошве пласта (т. е. на верхней и нижней ограничивающей пласт поверхностях) также можно считать не зависящими от времени. Физически обоснова­ние последней гипотезы сводится к следующему. Если упругие постоянные пород пласта и кровли примерно одинаковы, смещение кровли, обусловливаемое изменением давления жидкости, насы­щающей породу пласта и пропорциональное, очевидно, его толщи­не, распределяется на всю огромную толщу вышележащего массива горных пород. Поэтому соответствующие относительные деформации в этом массиве малы и, следовательно, малы возни­кающие в нем дополнительные напряжения (в частности, напряжения на кровле и подошве пласта). Однако когда выше­лежащая толща в отличие от пород пласта сложена из очень жестких пород, при локальном понижении давления могут обра­зоваться своды, и при изменении давления жидкости напряжения на кровле и подошве пласта будут меняться.

Поскольку уравнения равновесия системы жидкость — пористая среда и напряжения на кровле и подошве пласта не зависят от времени, суммарное напряженное состояние в системе жидкость — пористая среда (оу) также оказывается не зависящим от времени.

Поэтому

Д (а[у + pb{,)/dt = 0. (1.25)

Полагая і = /= 1, 2, 3, имеем

Д (о{і + <4 + °зз + 3p)ldt = 0, откуда вытекает важное соотношение

(8+ ?).< = 0, в., = —/>.,. (1.26)

Если первоначальное напряженное состояние, как это обычно можно предполагать для нефтяных и газовых пластов, и началь­ное давление постоянны по пласту, то из (1.26) следует

6 + р = const. (1.27)

Зависимость пористости и проницаемости пород-коллекторов от среднего нормального напряжения обычно определяется на приборах одноосного или двухосного сжатия. В дифференциаль­ной форме эти зависимости можно выразить уравнениями

M0_1m, в = —ті (Є), kolk е = — .pa (6). (1-28)

Таким образом, в условиях, когда справедливо соотношение (1.27), приращения пористости и проницаемости выражаются че­рез приращения давления. (При этом учитывается и непосредст­венная зависимость пористости от давления, вызываемая сжимае­мостью зерен твердого скелета.)

Рассмотрим случай фильтрации слабосжимаемой жидкости в упругодеформируемой однородной пористой среде, когда относи­тельные изменения параметров этой среды и жидкостей малы. В этих условиях можно считать производные их по давлению постоянными

Dp/dp = К71 ро', dm/dp = Km1 т0; (1.29)

Причем (р — Pq)I Km <С 1; (р — Ро)/Кр С 1 во всем диапазоне измене­ния давления. Значения /Ср имеют порядок 104 МПа, Кт и Kk — от 103 до 104 МПа, а Ар (в задачах нестационарной фильтрации) —
от 0 до 20 МПа. Тогда из (1.16), пренебрегая малыми величинами, находим

Kn................................................................

= 0. (1.30)

Если bp — характерное изменение давления, a L — характерная длина, то первый член в скобках имеет, очевидно, порядок bp/L2^ а второй (Ър)21Ь2К■ Поскольку значение ср/К мало, следует, чта в принятом приближении вторым членом в квадратных скобках также следует пренебречь. Окончательно линеаризованное уравне­ние для давления (уравнение упругого режима или, по предложе­нию В. Н. Щелкачева, уравнение пьезопроводности) имеет вид

Р, t = *Др, * = (kolmopo) (11Km + 1 /Kf)-1, (1.31)

Где A — символ оператора Лапласа; *— коэффициент пьезо­проводности. Заметим, что в формулу для коэффициента пьезо­проводности и в уравнение (1.31) не входит производная dkjdp, хотя проницаемость может в большей степени зависеть от давле­ния, чем пористость. Такое кажущееся несоответствие объясняет­ся тем, что проницаемость входит в уравнение множителем при членах первого порядка малости, а изменения пористости — с множителем порядка единицы. Зависимость проницаемости от дав­ления может быть существенной для процессов, происходящих в призабойной зоне, где велики перепады давления, или для весьма длительных процессов.