ДВИЖЕНИЕ ЖИДКОСТЕИ И ГАЗОВ В ПРИРОДНЫХ ПЛАСТАХ

Теория вытеснения неньютоновских жидкостей. Влияние вязкопластических свойств нефти на нефтеотдачу [9]

Оценка влияния реологических аномалий на процессы разра­ботки пласта в частности, вытеснения нефти водой,— один из цен­тральных вопросов, который приходится решать в том случае, если нефть обладает неньютоновскими реологическими свойства­ми (см. гл. III). Очевидно, что если нефть обладает предельным напряжением сдвига (или вообще псевдопластична), в пласте об­разуются застойные зоны, которые будут обходиться потоком вы­тесняющей жидкости, превращаясь в так называемые целики оста-

Точной нефти. Целики будут разрастаться с ростом предельного напряжения сдвига и с уменьшением интенсивности движения. По­этому существенно заранее оценить возможные вредные последст­вия этого явления и принять меры к их предотвращению путем рационального выбора режима разработки.

Двухфазное течение неньютоновских жидкос­тей. Прежде всего обобщим теорию двухфазного течения на слу­чай, когда обе фазы или одна из них обладают неньютоновскими свойствами. Будем считать в качестве основного допущения, что, как и при «обычной» двухфазной фильтрации, на микроуровне по­ристой среды капиллярные силы значительно превосходят гидро­динамические (включая сюда, возможно, и силы пластического сопротивления). Иными словами, будем по-прежнему полагать, что распределение фаз в элементе пористой среды происходит под действием капиллярных сил. Сохраним и второе основное поло­жение теории двухфазного течения, а именно, примем, что каж­дая из фаз движется в «своей» части порового пространства так, как если бы вторая фаза отвердела. Наконец, положим допол­нительно, что для каждой из фаз при фиксированном значении насыщенности (т. е. при фиксированном распределении жидкос­тей по поровому пространству) справедлив принцип реологичес­кого подобия (см. § 1 гл. III). Из первых двух допущений имеем общую систему

Vpi = — Фі («1, s) tti/uu

V/?2 = — Ф2 («2, s) U2/U2, P2 — P\= Pc (s). (IV. 161)

Из-за наличия двух эмпирических функций двух переменных Ф] и Ф2, описывающих законы фильтрации фаз, это система мало содержательна, хотя и на ее основе можно развить теорию вытес­нения по аналогии с теорией Баклея — Леверетта. Гораздо более конструктивным такой подход оказывается для вязкопластичных жидкостей и нелинейно вязких жидкостей, следующих степенному реологическому закону. Действительно, при допущении о реологи­ческом подобии получаем для этих двух случаев, соответственно:

Яг = — fi (s) [ir'fe [Vpi — Gi(s) ЧріІ\чРі\У< I VP2I > Gi Ui = 0, I vpi I < Gi, (IV. 162)

Ui = — ср,- (s) (И-11 Vpi ІУ"ч чрі!\ VPi |. (IV. 163)

В соотношении для степенной жидкости (IV. 163) показатели пі те же, что и в реологических соотношениях, и не меняются с изменением насыщенности, величина П—масштаб градиента давле­ния— по существу, определяется из соображений нормировки.

Здесь fi (s) и <p, (s)—функции, аналогичные фазовым проницае - мостям обычной теории двухфазной фильтрации; они нормированы так, что при полном насыщении закон фильтрации сводится к за­кону фильтрации однородной неньютоновской жидкости. Поэтому

/, (0) = срх (0) = 0; /2 (1) = ср2 (1) = 0; /, (1) = <р, (1) = 1; H (0) = <Р2 (0) = 1.

Более того, последовательное применение принципа преобла­дания капиллярных сил над гид­родинамическими приводит к вы­воду, что при фильтрации с пре­дельным градиентом функции fi(s) должны совпадать с обыч­ными функциями относительных фазовых проницаемостей (отсю­да и обозначение). Соотношение (IV. 162) показывает, что при любом распределении фаз по по­рам каждая фаза движется в соответствии со своим законом фильтрации с предельным гра­диентом. Переменность пре­дельного градиента учитыва­ет перестройку структуры поро­вого пространства для каж­дой из фаз с изменением насы­щенности. При этом, поскольку первой фазой мы считаем более смачивающую, средний размер пор d-„ занятых і-й фазой, воз­растает с ростом насыщенности s, и потому, учитывая оценку

Gi (s) — toi/di (s) (IV.164)

(тoi — предельное напряжение сдвига і-й фазы), мы вправе ожидать падения фазового предельного градиента G; с ростом насыщенности

(Gt(s) < 0).

Далее мы будем говорить исключительно о двухфазной фильт­рации вязкопластичных жидкостей.

Экспериментальные данные. Последующие рассуж­дения целиком опираются на постулированные выше соотношения (IV. 164). Естественно, хотелось бы иметь возможность сопоста­вить их с экспериментом. Немногочисленные экспериментальные данные по двухфазной фильтрации системы вязкопластичная жид­кость — вода, в основном, согласуются с теоретической схемой, во всяком случае, для не слишком малых скоростей фильтрации фаз. Сходную картину дает и имитационное моделирование двухфаз­ного течения на стохастической сетке капилляров, результаты ко­торого показаны на рис. 51. Этот чисто математический «экспе­римент» показателен в том отношении, что подтверждает справед­ливость для каждого распределения фаз принципа реологическо­го подобия, который приходится постулировать при выводе соот­ношений (IV. 169).

Фронтальное вытеснение. Рассмотрим в крупномас­штабном приближении одномерное вытеснение, считая обе фазы вязкопластичными несжимаемыми жидкостями. Записывая урав­
нения неразрывности фаз и используя соотношения (IV. 162), имеем

Ds диі

Тэ7 + ж = 0' "1 + "2 = U\

< —Gb ui = 0, —Gi < dp.'dx < 0. (IV.165)

< —G2, u2 = 0, — G2 < др/дх < 0,

TOC \o "1-3" \h \z (j-2 \ox ' dx

S(x, 0) = So, ui{0,t) = U, U2 (0,0 = 0. 0 < X < аз, 0 < / < co.

Проведем обычную процедуру исключения из системы (IV. 165) давления и фазовых скоростей (ограничиваясь случаем G2 > Gi):

5s. U dF* (s, (/) „ „„,

Г + - ЙГ—аг - = 0' = U),

F* (s, U) = F (s) [1 + kf2 (s) (G2 - G,)/|x2{/], ї/ > (s) (G2 - GO/jx,,

F* (s, U) = 1, І/ < kfi (s) (G2 —Gi)/[j, b (IV.166)

S(0,/) = «о, Ј/)U-0=l. ^(s) = /l(s)[/l(s) + !X1/2(s)/[X2]-1-

Таким образом, по существу, мы имеем детально изученную выше задачу Баклея — Леверетта с тем лишь отличием, что функ­ция распределения потоков F* зависит от суммарной скорости вы­теснения U. Легко убедиться, что при G2 > Gi это изменение сво­дится к уменьшению функции F* с увеличением U при сохранении ее обычного вида (рис. 52):

DF/dU < 0, dF/ds > 0, F* (s, со) = F (s). (IV. 167)

Поэтому технологические показатели вытеснения закономерным образом зависят от скорости вытеснения, улучшаясь с ростом ее. При U—^-оо рассмотренная задача переходит в задачу Баклея— Леверетта. Таким образом, наличие у вытесняемой жидкости

РИС. 53. Зависимость фронтовой насыщенности Бф и коэффициента вытеснения К $ от скорости вытес­нения для вязкопластичной нефти I,

V —0.4

0.5

------- Kf

0.5

Пластических свойств всегда приводит к снижению показателей вытеснения по сравнению с вытеснением обычной нефти с вязко­стью, равной пластической вязкости неньютоновской нефти, при­чем это снижение тем более выражено, чем меньше темп вытес­нения (рис. 53). С практической точки зрения наиболее важным является вопрос о том, каким должен поддерживаться темп вы­теснения, чтобы указанные дополнительные потери нефти не были значительными. Из рис. 53 и данных аналогичных расчетов сле­дует, что для предотвращения значительного снижения коэффи­циента безводной нефтеотдачи и предельного коэффициента неф­теотдачи при вытеснении вязко-пластичной нефти водой интен­сивность вытеснения, характеризуемая безразмерным параметром

/ = Up.\/kG2, (IV.168)

Должна быть не меньше /1. (Заметим, что с увеличением интенсивности вытеснения могут возрасти отрицательные эффекты неравновесности и неустойчивости вытеснения, так что назначение оптимального режима требует учета всей совокупности сущест­венных факторов.)

Предельная нефтеотдача. Целики остаточной нефти. Как уже говорилось, предельное напряжение сдвига у нефти (предельный градиент давления при фильтрации нефти) приводит не только к снижению локального коэффициента вытес­нения, но и к образованию областей невытесненной нефти — цели­ков. Оценить связанные с этим потери нефти достаточно сложно; значительного упрощения можно добиться, рассматривая лишь предельное состояние — те наибольших размеров целики (так на­зываемые предельно-равновесные целики), остаточной нефти, ко­торые могут существовать в омывающем их фильтрационном пото­ке воды сколь угодно долго, но равновесие нарушится, если до­пустить существование целика больших размеров.

Таким образом, получаем следующую теоретическую схему: на поздней стадии вытеснения рассматривается стационарное состо­яние, при котором весь пласт (пространственная область D) раз­бивается на две области D{ и D2. Одна из них (D{) занята непод­вижной нефтью; в другой (D2) движется вода, причем в этой об­ласти нефтенасыщенность снижена до предельно достижимого зна­чения. Движение воды следует закону Дарси. Неизвестная грани­ца С между областями D\ и D2 является для потока воды поверх­ностью тока. Кроме того — и это принципиально — будем пола­гать, что на С выполняется условие предельного рав­новесия, состоящее в том, что в каждой точке поверхности С градиент давления (направленный, очевидно, вдоль С) равен по абсолютной величине предельному градиенту давления для нефти в данной точке пласта. Иными словами, мы полагаем, что нефть находится на грани начала движения в каждой точке поверхнос­ти С. Ситуация здесь типична для предельного равновесия пласти­ческих тел и во многом аналогична равновесию тела на наклон­ной поверхности, составляющей с горизонтом угол, равный углу трения. При этом считается, что в каждой точке области D заданы в качестве свойств пласта проницаемость k\ предельный градиент для нефти С; предельная водонасыщенность s°; отвечающая мак­симально возможному вытеснению нефти, и соответствующее зна­чение фазовой проницаемости для воды в промытой зоне /i(s°). Далее s° и f і (s°) полагаются постоянными, хотя не составляет большого труда учесть их зависимость от проницаемости пористой среды и достигнутого градиента давления. В рассматриваемом слу­чае во все соотношения войдет только проницаемость для воды в промытой зоне k* = kfi(s°), которая считается заданной в каж­дой точке пласта и связанной с локальным предельным градиен­том соотношением (см. § 1 гл. III):

K*G2 = klGo = const. (IV.169)

В качестве основного модельного объекта рассмотрим слоисто- неоднородный пласт с проницаемостью k* (z), возрастающей от кровли к подошве пласта, k' (z) < 0, 0 < z < И. Свойства пласта будем считать неизменными в плане, пласт — вскрытым на всю мощность сеткой нагнетательных и добывающих скважин. Область движения в плане обозначим через Д. Очевидно, что при таких условиях промытая зона будет располагаться в нижней части плас­та, а целик остаточной нефти — в верхней; они разделяются неиз­вестной границей z = h(x, у), определяемой в ходе решения задачи. В той части (Ді) области Д, где пласт промыт полностью, h (х, у) = = Н; там, где целик занимает всю мощность пласта, область Дз)й = = 0. Наконец, в оставшейся части Д2 области Д имеем 0 < Л < Я. Даже в рассматриваемом частном случае сформулированная задача еще чересчур сложна, и получить ее решение сложно даже численно. Учитывая явную аналогию ее с задачами безнапорной фильтрации (см. § 3 гл. II), будем искать ее приближенное решение, прене­брегая различием плотностей нефти и воды и считая распределение давления по мощности пласта гидростатическим (аналог приближе­ния Буссинеска). Тогда распределение давления можно вполне ха­рактеризовать, задав его на подошве пласта р(х, у). Градиент из­быточного над гидростатическим давления постоянен вдоль вертикали в каждой точке пласта и равен у2р. Поскольку в пределах области Д2 он должен быть равен предельному градиенту на поверхности целика G (h), получаем возможность непосредственно выразить мощ­ность промытого слоя через ур из уравнения [10]

G[h(x, у)] = \чр(х, у) |. (IV. 170)

Теперь можно перейти к интегральному описанию движения воды как фильтрационного течения в слое переменной толщины.

Интегрируя уравнение движения по мощности пласта, приходим к системе уравнений

Div w = 0, w = — (К/р) S7p\ , ft(lvpl) . A(|vp|)

W=-n { u{x, у, z)dz, K(\V p\) = - jr I k{z)dz. (IV.171) п о п 0

(Здесь операторы div и V понимаются как двумерные). Величины w и /С(|ур|) будем называть эффективной скоростью и проницае­мостью; мощность промытой части пласта Л(|Ур|) определяется из уравнения (IV.170).

Уравнения (IV.171) эквивалентны уравнениям нелинейной филь­трации несжимаемой жидкости

V w = 0, VP = —1ф (w) w/w, (IV. 172)

Которые преобразованием годографа переводятся в линейную систе­му (см. § 1 гл. 3).

Конкретное выражение эффективного закона фильтрации Ф (w) определяется видом распределений k(z) и G (г) из соотношений (IV.170) — (IV.171).

Рассмотрим примеры. Примем с учетом корреляции (IV. 169), что зависимости k (г) и G (г) имеют вид

K (г) = k0 (1 + г/г0)-2, G (г) = G0 (1 + г/г0). (IV.173)

Здесь г0—некоторый параметр; G0 = G (0). Из соотношений (IV. 171) — (IV.172) получим следующее выражение эффективного закона фильтрации:

Н.(ю + Х) VoGo,, Vo

Ф (w) = __ х = Ко^-Й-. (IV. 174)

Т. е. для распределения проницаемости и предельного градиента в виде (IV.>74) задача отыскания целика в осредненной постановке приводится к известной задаче фильтрации с предельным градиентом для однородной жидкости (§ 3 главы I).

Аналогичным образом можно убедиться в справедливости следующих соот­ветствий:

*о г (ifa^ + X2)1'2

---- G(z) = Gnch-, = ^----------------- . (IV. 175)

Chі (г/г0) го до

Вообще, если зависимость k (г) допускает параметрическое представление

Dz ^о® / h h \а— 1 h

5Й - —ггїСЧ) = GW = a<b-T, (IV.,76)

То ей соответствует выражение эффективного закона фильтрации вида

Ф (да) = (i/f-1 (w2/а + Х2/і)ї/2. (IV.177)

Устремляя параметр а к нулю, что соответствует однородному пласту с про­ницаемостью k0, получим

Ф(м>) = О0, ш < X; Ф {w)=im/K0, w > X. (IV.178)

Во всех примерах приведенные соотношения справедливы для скоростей, меньших 1н — KhG {H)h±\ при этом Ф (w) <G(H). Для больших скоростей пласт полностью промывается водой, и эффек­тивная проницаемость перестает изменяться с изменением интен­сивности движения, а соответствующий закон фильтрации для осред - ненного движения оказывается в области больших скоростей ли­нейным

Н

Ф (w) = v. w/Kh, Кн = Я-1 J k (z)dz, I vp I > G (H). (IV.179)

О

В тех случаях, когда общая интенсивность движения невелика, полностью промытые зоны локализуются вблизи скважины. Если их влиянием на процесс формирования целиков можно пренебречь, то осредненное движение во всем пласте описывается уравнениями нелинейного закона фильтрации вида (IV.174) — (IV.178). Формально это соответствует асимптотике Я^ со. При этом для оценки разме­ров целиков можно использовать многочисленные решения задач нелинейной фильтрации, полученные ранее.

Целики в однородном пласте. Рассмотрим случай одно­родного пласта, k = const. Для такого пласта G(0) = G(H) = G, а мощность промываемой водой части пласта h и эффективная про­ницаемость К становятся кусочно-постоянными функциями градиента давления:

/i(| Vp|) = О, /С(| Vp|) = 0, | VP I < G,

H(\S7p\) = H, K{\Vp\) = k,\4p\>G. (IV. 180)

Из этих соотношений ранее делался вывод о том, что при дости­жении градиентом давления значения G, равного предельному, на некоторой линии физической плоскости мощность промытого слоя скачком изменяется от нуля до полной мощности пласта. Это со­ответствует эффективному разрывному закону фильтрации, описы­ваемому выражениями (впервые предложенными М. Г. Алишаевым с соавторами)

Ф (w) = pw/k; w>\; 0 < Ф < G; оу = 0; X = /еС/ц. (IV.181)

Однако при предельном переходе от описанной схемы течения в пластах с непрерывно изменяющейся проницаемостью к течениям в однородных пластах оказывается, что в общем случае условие равенства модуля градиента давления предельному выполняется не на линии в плоскости (х, у), отвечающей вертикальной границе целика, а в области (Д2), в которой мощность промытого слоя h(x, у) является непрерывной функцией потока воды. С изменением эффективной скорости фильтрации от нуля до X мощность промытого слоя изменяется от нуля до Я. Соответствующий эффективный 3акон фильтрации определяется уравнениями

Ф (w) = G, 0 < w < X; Ф (w) = xxwjk, w > X,

0 < Ф (w) < G, w = 0. (IV. 182)

В отличие от разрывного, этот закон фильтрации позволяет рассматривать течения и в области скоростей w, меньших X.

Таким образом, при формировании целиков остаточной нефти и в однородных пластах вся область течения на физической плос­кости в общем случае распадается на три подобласти: Д]—пол­ностью промытого пласта; Д2 — частично промываемого пласта, в ко­торой модуль градиента давления постоянен и равен предельному; Дз — подобласть, в которой целик занимает всю мощность пласта и движение воды отсутствует.

Для соответствующих областей имеем

V2p (х, у) = о, h (х, у) = Я, (X, у) Є Дь і ур (х, у)\ = G, y(h (х, у) vp/G) = 0, (х, у) £ Д2,

W(x, y) = О, h(x, у) = 0, (х, г/КД3. (IV.183)

На границах областей решения удовлетворяют условиям непре­рывности давления, потока и мощности h(x, у).

При переходе на плоскость годографа (w, 6) область Д] отобра­жается в область 2], лежащую в полуплоскости w > X; Д2 — в область й2, лежащую в полосе 0 < w < X, а Дз — в отрезок линии w = 0. Уравнения (IV. 183) в соответствующих областях плоскости годо­графа принимают вид

Дф __ k dp dp____ jx дф, .. 0

Dw~~ dw ~ kid) ' (W'

ІЙ-». ***** <IV184>

Откуда для области Д2 постоянного градиента давления имеем ре­шение

Ф = /(8), p(w, 6) = - G®-V'(0) + ?(0), ,г = х + іу=го (X, 6) + е'е/' (6) (w~l — Х-1), (IV. 185)

Где / (6) и 9 (8) — неизвестные функции.

Из (IV. 185) следует, что при /'(8) 0 области • Й2 на физиче­ской плоскости соответствует область, в которой линии тока явля­ются прямыми, давление вдоль них изменяется линейно, а эффек­тивная скорость w и мощность промытой части пласта h опреде­ляются выражениями

W = [х-1 + 12 (w, 8) — г (X, 8))//' (В)]-1, h = Hw/l. (IV. 186)

Если же f (9) = 0, то соответствующая часть области на физи­ческой плоскости отображается в линию, являющуюся отрезком линии тока. Поток жидкости в этих точках направлен по каса­тельной к линии | Vp| = G, при переходе через которую мощность промытой части пласта h(x, у) изменяется скачком от нуля до Я.

Иными словами, постановка задачи со скачкообразным изме­нением промытой мощности оказывается частным случаем, когда неизвестная граница является линией тока осредненного плоского течения.

Задачи указанного класса сводятся к отысканию решения урав - нения Лапласа в плоской области, часть границы которой заранее
■неизвестна и отыскивается из того условия, что она является одно­временно линией тока и линией постоянства модуля градиента дав­ления (или, что эквивалентно, скорости фильтрации). Эта задача, сформулированная впервые в [34], эффективно решается методами теории струй [9, 24]. Характерные результаты приведены на рис. 54. Детали расчетов можно найти в книгах [9, 24]. Гораздо сложнее решаются задачи, в которых область постоянного модуля градиента давления 0 < h < Я, | \jp | = G (область Д2) не вырождается в ли­нию. В настоящее время они являются предметом интенсивного изучения, развиты подходы к их решению, В. Н. Панковым и С. В. Панько получен ряд точных и приближенных решений. На рис. 55 показаны возможные качественно различные варианты рас­положения целиков при разработке кругового пласта эксцентрично расположенной скважиной.

То обстоятельство, что задача отыскания предельно-равновес­ных целиков в осредненной постановке приводится к задаче не­линейной фильтрации с законом фильтрации специального вида, позволяет применить к ее решению весь хорошо разработанный к настоящему времени аппарат теории нелинейной фильтрации (см. •§ 3 главы I и цитированную там литературу). Таким путем дос­таточно легко может быть оценено влияние различных парамет­ров на размеры и форму целиков. Так, на рис. 56 показано распо­ложение целиков для системы источник-—сток интенсивности Q, расположенных на расстоянии 2а друг от друга в двухслойном пласте.

Решение построено численно в безразмерных переменных. Мас­штабами длины и скорости выбраны величины а и Q/a, при этом

РИС. 54. Расположение целиков и зависи­мость коэффициента охвата для пятиточечной схемы площадного заводнения от интенсив­ности потока
решение зависит от двух безраз­мерных параметров

Є = T:ak2G/\iQ, 8= (1 + k2H2/kiHi).

Результаты расчетов, приведен­ные на рис. 56, отвечают є = 0,4, 8 = 5.

В заключение этого парагра­фа необходимо сделать несколь­ко замечаний об использовании теории предельно равновесных целиков при оценке предельной нефтеотдачи пластов, содержа­щих вязкопластичные нефти. Оп­ределив предельно равновесные целики, мы имеем основание ут­верждать, что целики больших размеров не могут оставаться не­подвижными в омывающем их потоке воды. Однако в силу не­единственности равновесного со­стояния пластической жидкости мы не вправе утверждать, что в реальном процессе вытеснения сформируются в конце концов пре­дельно равновесные целики, а не целики меньших размеров (на границе которых выполняется неравенство |Vp|<G, но не всю­ду оно переходит в равенство). Таким образом, можно полагать, что оценка потерь нефти по объему предельно равновесных це­ликов — это оценка сверху. Чтобы определить степень близости этой оценки к тому, что реализуется фактически, для некоторых схем течения было проведено моделирование вытеснения вязко - пластичной жидкости вязкой на щелевом лотке. Результаты моде­лирования (точки на рис. 54) достаточно хорошо согласуются с расчетами по предельной схеме.