ДВИЖЕНИЕ ЖИДКОСТЕИ И ГАЗОВ В ПРИРОДНЫХ ПЛАСТАХ
Теория вытеснения неньютоновских жидкостей. Влияние вязкопластических свойств нефти на нефтеотдачу [9]
Оценка влияния реологических аномалий на процессы разработки пласта в частности, вытеснения нефти водой,— один из центральных вопросов, который приходится решать в том случае, если нефть обладает неньютоновскими реологическими свойствами (см. гл. III). Очевидно, что если нефть обладает предельным напряжением сдвига (или вообще псевдопластична), в пласте образуются застойные зоны, которые будут обходиться потоком вытесняющей жидкости, превращаясь в так называемые целики оста-
Точной нефти. Целики будут разрастаться с ростом предельного напряжения сдвига и с уменьшением интенсивности движения. Поэтому существенно заранее оценить возможные вредные последствия этого явления и принять меры к их предотвращению путем рационального выбора режима разработки.
Двухфазное течение неньютоновских жидкостей. Прежде всего обобщим теорию двухфазного течения на случай, когда обе фазы или одна из них обладают неньютоновскими свойствами. Будем считать в качестве основного допущения, что, как и при «обычной» двухфазной фильтрации, на микроуровне пористой среды капиллярные силы значительно превосходят гидродинамические (включая сюда, возможно, и силы пластического сопротивления). Иными словами, будем по-прежнему полагать, что распределение фаз в элементе пористой среды происходит под действием капиллярных сил. Сохраним и второе основное положение теории двухфазного течения, а именно, примем, что каждая из фаз движется в «своей» части порового пространства так, как если бы вторая фаза отвердела. Наконец, положим дополнительно, что для каждой из фаз при фиксированном значении насыщенности (т. е. при фиксированном распределении жидкостей по поровому пространству) справедлив принцип реологического подобия (см. § 1 гл. III). Из первых двух допущений имеем общую систему
Vpi = — Фі («1, s) tti/uu
V/?2 = — Ф2 («2, s) U2/U2, P2 — P\= Pc (s). (IV. 161)
Из-за наличия двух эмпирических функций двух переменных Ф] и Ф2, описывающих законы фильтрации фаз, это система мало содержательна, хотя и на ее основе можно развить теорию вытеснения по аналогии с теорией Баклея — Леверетта. Гораздо более конструктивным такой подход оказывается для вязкопластичных жидкостей и нелинейно вязких жидкостей, следующих степенному реологическому закону. Действительно, при допущении о реологическом подобии получаем для этих двух случаев, соответственно:
Яг = — fi (s) [ir'fe [Vpi — Gi(s) ЧріІ\чРі\У< I VP2I > Gi Ui = 0, I vpi I < Gi, (IV. 162)
Ui = — ср,- (s) (И-11 Vpi ІУ"ч чрі!\ VPi |. (IV. 163)
В соотношении для степенной жидкости (IV. 163) показатели пі те же, что и в реологических соотношениях, и не меняются с изменением насыщенности, величина П—масштаб градиента давления— по существу, определяется из соображений нормировки.
Здесь fi (s) и <p, (s)—функции, аналогичные фазовым проницае - мостям обычной теории двухфазной фильтрации; они нормированы так, что при полном насыщении закон фильтрации сводится к закону фильтрации однородной неньютоновской жидкости. Поэтому
/, (0) = срх (0) = 0; /2 (1) = ср2 (1) = 0; /, (1) = <р, (1) = 1; H (0) = <Р2 (0) = 1.
Более того, последовательное применение принципа преобладания капиллярных сил над гидродинамическими приводит к выводу, что при фильтрации с предельным градиентом функции fi(s) должны совпадать с обычными функциями относительных фазовых проницаемостей (отсюда и обозначение). Соотношение (IV. 162) показывает, что при любом распределении фаз по порам каждая фаза движется в соответствии со своим законом фильтрации с предельным градиентом. Переменность предельного градиента учитывает перестройку структуры порового пространства для каждой из фаз с изменением насыщенности. При этом, поскольку первой фазой мы считаем более смачивающую, средний размер пор d-„ занятых і-й фазой, возрастает с ростом насыщенности s, и потому, учитывая оценку
Gi (s) — toi/di (s) (IV.164)
(тoi — предельное напряжение сдвига і-й фазы), мы вправе ожидать падения фазового предельного градиента G; с ростом насыщенности
(Gt(s) < 0).
Далее мы будем говорить исключительно о двухфазной фильтрации вязкопластичных жидкостей.
Экспериментальные данные. Последующие рассуждения целиком опираются на постулированные выше соотношения (IV. 164). Естественно, хотелось бы иметь возможность сопоставить их с экспериментом. Немногочисленные экспериментальные данные по двухфазной фильтрации системы вязкопластичная жидкость — вода, в основном, согласуются с теоретической схемой, во всяком случае, для не слишком малых скоростей фильтрации фаз. Сходную картину дает и имитационное моделирование двухфазного течения на стохастической сетке капилляров, результаты которого показаны на рис. 51. Этот чисто математический «эксперимент» показателен в том отношении, что подтверждает справедливость для каждого распределения фаз принципа реологического подобия, который приходится постулировать при выводе соотношений (IV. 169).
0(2|/г 10 РИС. 51. Зависимость скорости фильтрации вязкопластичной жидкости от гради"нта давления при двухфазной фильтрации по результатам моделирования на сеточной капиллярной модели Кривые 1—7 соответствуют значениям водо - насыщенности s = 0.006; 0,022; 0,053; 0,297; 0,464 и 0,585 |
Фронтальное вытеснение. Рассмотрим в крупномасштабном приближении одномерное вытеснение, считая обе фазы вязкопластичными несжимаемыми жидкостями. Записывая урав
нения неразрывности фаз и используя соотношения (IV. 162), имеем
Ds диі
Тэ7 + ж = 0' "1 + "2 = U\
*f\(s) (dp. r |
< —Gb ui = 0, —Gi < dp.'dx < 0. (IV.165)
< —G2, u2 = 0, — G2 < др/дх < 0,
TOC \o "1-3" \h \z (j-2 \ox ' dx
S(x, 0) = So, ui{0,t) = U, U2 (0,0 = 0. 0 < X < аз, 0 < / < co.
Проведем обычную процедуру исключения из системы (IV. 165) давления и фазовых скоростей (ограничиваясь случаем G2 > Gi):
5s. U dF* (s, (/) „ „„,
Г + - ЙГ—аг - = 0' = U),
F* (s, U) = F (s) [1 + kf2 (s) (G2 - G,)/|x2{/], ї/ > (s) (G2 - GO/jx,,
F* (s, U) = 1, І/ < kfi (s) (G2 —Gi)/[j, b (IV.166)
S(0,/) = «о, Ј/)U-0=l. ^(s) = /l(s)[/l(s) + !X1/2(s)/[X2]-1-
Таким образом, по существу, мы имеем детально изученную выше задачу Баклея — Леверетта с тем лишь отличием, что функция распределения потоков F* зависит от суммарной скорости вытеснения U. Легко убедиться, что при G2 > Gi это изменение сводится к уменьшению функции F* с увеличением U при сохранении ее обычного вида (рис. 52):
K'h (s) (dp r «2 = - й + G2 |
Dp |
DF/dU < 0, dF/ds > 0, F* (s, со) = F (s). (IV. 167)
РИС. 52. Зависимость функции распределения потоков F* от скорости вытеснения: 1 — и = щ: 2 — и = и2 > а, |
Поэтому технологические показатели вытеснения закономерным образом зависят от скорости вытеснения, улучшаясь с ростом ее. При U—^-оо рассмотренная задача переходит в задачу Баклея— Леверетта. Таким образом, наличие у вытесняемой жидкости
РИС. 53. Зависимость фронтовой насыщенности Бф и коэффициента вытеснения К $ от скорости вытеснения для вязкопластичной нефти I,
V —0.4
0.5
------- Kf
0.5
Пластических свойств всегда приводит к снижению показателей вытеснения по сравнению с вытеснением обычной нефти с вязкостью, равной пластической вязкости неньютоновской нефти, причем это снижение тем более выражено, чем меньше темп вытеснения (рис. 53). С практической точки зрения наиболее важным является вопрос о том, каким должен поддерживаться темп вытеснения, чтобы указанные дополнительные потери нефти не были значительными. Из рис. 53 и данных аналогичных расчетов следует, что для предотвращения значительного снижения коэффициента безводной нефтеотдачи и предельного коэффициента нефтеотдачи при вытеснении вязко-пластичной нефти водой интенсивность вытеснения, характеризуемая безразмерным параметром
/ = Up.\/kG2, (IV.168)
Должна быть не меньше /1. (Заметим, что с увеличением интенсивности вытеснения могут возрасти отрицательные эффекты неравновесности и неустойчивости вытеснения, так что назначение оптимального режима требует учета всей совокупности существенных факторов.)
Предельная нефтеотдача. Целики остаточной нефти. Как уже говорилось, предельное напряжение сдвига у нефти (предельный градиент давления при фильтрации нефти) приводит не только к снижению локального коэффициента вытеснения, но и к образованию областей невытесненной нефти — целиков. Оценить связанные с этим потери нефти достаточно сложно; значительного упрощения можно добиться, рассматривая лишь предельное состояние — те наибольших размеров целики (так называемые предельно-равновесные целики), остаточной нефти, которые могут существовать в омывающем их фильтрационном потоке воды сколь угодно долго, но равновесие нарушится, если допустить существование целика больших размеров.
Таким образом, получаем следующую теоретическую схему: на поздней стадии вытеснения рассматривается стационарное состояние, при котором весь пласт (пространственная область D) разбивается на две области D{ и D2. Одна из них (D{) занята неподвижной нефтью; в другой (D2) движется вода, причем в этой области нефтенасыщенность снижена до предельно достижимого значения. Движение воды следует закону Дарси. Неизвестная граница С между областями D\ и D2 является для потока воды поверхностью тока. Кроме того — и это принципиально — будем полагать, что на С выполняется условие предельного равновесия, состоящее в том, что в каждой точке поверхности С градиент давления (направленный, очевидно, вдоль С) равен по абсолютной величине предельному градиенту давления для нефти в данной точке пласта. Иными словами, мы полагаем, что нефть находится на грани начала движения в каждой точке поверхности С. Ситуация здесь типична для предельного равновесия пластических тел и во многом аналогична равновесию тела на наклонной поверхности, составляющей с горизонтом угол, равный углу трения. При этом считается, что в каждой точке области D заданы в качестве свойств пласта проницаемость k\ предельный градиент для нефти С; предельная водонасыщенность s°; отвечающая максимально возможному вытеснению нефти, и соответствующее значение фазовой проницаемости для воды в промытой зоне /i(s°). Далее s° и f і (s°) полагаются постоянными, хотя не составляет большого труда учесть их зависимость от проницаемости пористой среды и достигнутого градиента давления. В рассматриваемом случае во все соотношения войдет только проницаемость для воды в промытой зоне k* = kfi(s°), которая считается заданной в каждой точке пласта и связанной с локальным предельным градиентом соотношением (см. § 1 гл. III):
K*G2 = klGo = const. (IV.169)
В качестве основного модельного объекта рассмотрим слоисто- неоднородный пласт с проницаемостью k* (z), возрастающей от кровли к подошве пласта, k' (z) < 0, 0 < z < И. Свойства пласта будем считать неизменными в плане, пласт — вскрытым на всю мощность сеткой нагнетательных и добывающих скважин. Область движения в плане обозначим через Д. Очевидно, что при таких условиях промытая зона будет располагаться в нижней части пласта, а целик остаточной нефти — в верхней; они разделяются неизвестной границей z = h(x, у), определяемой в ходе решения задачи. В той части (Ді) области Д, где пласт промыт полностью, h (х, у) = = Н; там, где целик занимает всю мощность пласта, область Дз)й = = 0. Наконец, в оставшейся части Д2 области Д имеем 0 < Л < Я. Даже в рассматриваемом частном случае сформулированная задача еще чересчур сложна, и получить ее решение сложно даже численно. Учитывая явную аналогию ее с задачами безнапорной фильтрации (см. § 3 гл. II), будем искать ее приближенное решение, пренебрегая различием плотностей нефти и воды и считая распределение давления по мощности пласта гидростатическим (аналог приближения Буссинеска). Тогда распределение давления можно вполне характеризовать, задав его на подошве пласта р(х, у). Градиент избыточного над гидростатическим давления постоянен вдоль вертикали в каждой точке пласта и равен у2р. Поскольку в пределах области Д2 он должен быть равен предельному градиенту на поверхности целика G (h), получаем возможность непосредственно выразить мощность промытого слоя через ур из уравнения [10]
G[h(x, у)] = \чр(х, у) |. (IV. 170)
Теперь можно перейти к интегральному описанию движения воды как фильтрационного течения в слое переменной толщины.
Интегрируя уравнение движения по мощности пласта, приходим к системе уравнений
Div w = 0, w = — (К/р) S7p\ , ft(lvpl) . A(|vp|)
W=-n { u{x, у, z)dz, K(\V p\) = - jr I k{z)dz. (IV.171) п о п 0
(Здесь операторы div и V понимаются как двумерные). Величины w и /С(|ур|) будем называть эффективной скоростью и проницаемостью; мощность промытой части пласта Л(|Ур|) определяется из уравнения (IV.170).
Уравнения (IV.171) эквивалентны уравнениям нелинейной фильтрации несжимаемой жидкости
V w = 0, VP = —1ф (w) w/w, (IV. 172)
Которые преобразованием годографа переводятся в линейную систему (см. § 1 гл. 3).
Конкретное выражение эффективного закона фильтрации Ф (w) определяется видом распределений k(z) и G (г) из соотношений (IV.170) — (IV.171).
Рассмотрим примеры. Примем с учетом корреляции (IV. 169), что зависимости k (г) и G (г) имеют вид
K (г) = k0 (1 + г/г0)-2, G (г) = G0 (1 + г/г0). (IV.173)
Здесь г0—некоторый параметр; G0 = G (0). Из соотношений (IV. 171) — (IV.172) получим следующее выражение эффективного закона фильтрации:
Н.(ю + Х) VoGo,, Vo
Ф (w) = __ х = Ко^-Й-. (IV. 174)
Т. е. для распределения проницаемости и предельного градиента в виде (IV.>74) задача отыскания целика в осредненной постановке приводится к известной задаче фильтрации с предельным градиентом для однородной жидкости (§ 3 главы I).
Аналогичным образом можно убедиться в справедливости следующих соответствий:
*о г (ifa^ + X2)1'2
---- G(z) = Gnch-, = ^----------------- . (IV. 175)
Chі (г/г0) го до
Вообще, если зависимость k (г) допускает параметрическое представление
Dz ^о® / h h \а— 1 h
5Й - —ггїСЧ) = GW = a<b-T, (IV.,76)
То ей соответствует выражение эффективного закона фильтрации вида
Ф (да) = (i/f-1 (w2/а + Х2/і)ї/2. (IV.177)
Устремляя параметр а к нулю, что соответствует однородному пласту с проницаемостью k0, получим
Ф(м>) = О0, ш < X; Ф {w)=im/K0, w > X. (IV.178)
Во всех примерах приведенные соотношения справедливы для скоростей, меньших 1н — KhG {H)h±\ при этом Ф (w) <G(H). Для больших скоростей пласт полностью промывается водой, и эффективная проницаемость перестает изменяться с изменением интенсивности движения, а соответствующий закон фильтрации для осред - ненного движения оказывается в области больших скоростей линейным
Н
Ф (w) = v. w/Kh, Кн = Я-1 J k (z)dz, I vp I > G (H). (IV.179)
О
В тех случаях, когда общая интенсивность движения невелика, полностью промытые зоны локализуются вблизи скважины. Если их влиянием на процесс формирования целиков можно пренебречь, то осредненное движение во всем пласте описывается уравнениями нелинейного закона фильтрации вида (IV.174) — (IV.178). Формально это соответствует асимптотике Я^ со. При этом для оценки размеров целиков можно использовать многочисленные решения задач нелинейной фильтрации, полученные ранее.
Целики в однородном пласте. Рассмотрим случай однородного пласта, k = const. Для такого пласта G(0) = G(H) = G, а мощность промываемой водой части пласта h и эффективная проницаемость К становятся кусочно-постоянными функциями градиента давления:
/i(| Vp|) = О, /С(| Vp|) = 0, | VP I < G,
H(\S7p\) = H, K{\Vp\) = k,\4p\>G. (IV. 180)
Из этих соотношений ранее делался вывод о том, что при достижении градиентом давления значения G, равного предельному, на некоторой линии физической плоскости мощность промытого слоя скачком изменяется от нуля до полной мощности пласта. Это соответствует эффективному разрывному закону фильтрации, описываемому выражениями (впервые предложенными М. Г. Алишаевым с соавторами)
Ф (w) = pw/k; w>\; 0 < Ф < G; оу = 0; X = /еС/ц. (IV.181)
Однако при предельном переходе от описанной схемы течения в пластах с непрерывно изменяющейся проницаемостью к течениям в однородных пластах оказывается, что в общем случае условие равенства модуля градиента давления предельному выполняется не на линии в плоскости (х, у), отвечающей вертикальной границе целика, а в области (Д2), в которой мощность промытого слоя h(x, у) является непрерывной функцией потока воды. С изменением эффективной скорости фильтрации от нуля до X мощность промытого слоя изменяется от нуля до Я. Соответствующий эффективный 3акон фильтрации определяется уравнениями
Ф (w) = G, 0 < w < X; Ф (w) = xxwjk, w > X,
0 < Ф (w) < G, w = 0. (IV. 182)
В отличие от разрывного, этот закон фильтрации позволяет рассматривать течения и в области скоростей w, меньших X.
Таким образом, при формировании целиков остаточной нефти и в однородных пластах вся область течения на физической плоскости в общем случае распадается на три подобласти: Д]—полностью промытого пласта; Д2 — частично промываемого пласта, в которой модуль градиента давления постоянен и равен предельному; Дз — подобласть, в которой целик занимает всю мощность пласта и движение воды отсутствует.
Для соответствующих областей имеем
V2p (х, у) = о, h (х, у) = Я, (X, у) Є Дь і ур (х, у)\ = G, y(h (х, у) vp/G) = 0, (х, у) £ Д2,
W(x, y) = О, h(x, у) = 0, (х, г/КД3. (IV.183)
На границах областей решения удовлетворяют условиям непрерывности давления, потока и мощности h(x, у).
При переходе на плоскость годографа (w, 6) область Д] отображается в область 2], лежащую в полуплоскости w > X; Д2 — в область й2, лежащую в полосе 0 < w < X, а Дз — в отрезок линии w = 0. Уравнения (IV. 183) в соответствующих областях плоскости годографа принимают вид
Дф __ k dp dp____ jx дф, .. 0
Dw~~ dw ~ kid) ' (W'
ІЙ-». ***** <IV184>
Откуда для области Д2 постоянного градиента давления имеем решение
Ф = /(8), p(w, 6) = - G®-V'(0) + ?(0), ,г = х + іу=го (X, 6) + е'е/' (6) (w~l — Х-1), (IV. 185)
Где / (6) и 9 (8) — неизвестные функции.
Из (IV. 185) следует, что при /'(8) 0 области • Й2 на физической плоскости соответствует область, в которой линии тока являются прямыми, давление вдоль них изменяется линейно, а эффективная скорость w и мощность промытой части пласта h определяются выражениями
W = [х-1 + 12 (w, 8) — г (X, 8))//' (В)]-1, h = Hw/l. (IV. 186)
Если же f (9) = 0, то соответствующая часть области на физической плоскости отображается в линию, являющуюся отрезком линии тока. Поток жидкости в этих точках направлен по касательной к линии | Vp| = G, при переходе через которую мощность промытой части пласта h(x, у) изменяется скачком от нуля до Я.
Иными словами, постановка задачи со скачкообразным изменением промытой мощности оказывается частным случаем, когда неизвестная граница является линией тока осредненного плоского течения.
Задачи указанного класса сводятся к отысканию решения урав - нения Лапласа в плоской области, часть границы которой заранее
■неизвестна и отыскивается из того условия, что она является одновременно линией тока и линией постоянства модуля градиента давления (или, что эквивалентно, скорости фильтрации). Эта задача, сформулированная впервые в [34], эффективно решается методами теории струй [9, 24]. Характерные результаты приведены на рис. 54. Детали расчетов можно найти в книгах [9, 24]. Гораздо сложнее решаются задачи, в которых область постоянного модуля градиента давления 0 < h < Я, | \jp | = G (область Д2) не вырождается в линию. В настоящее время они являются предметом интенсивного изучения, развиты подходы к их решению, В. Н. Панковым и С. В. Панько получен ряд точных и приближенных решений. На рис. 55 показаны возможные качественно различные варианты расположения целиков при разработке кругового пласта эксцентрично расположенной скважиной.
То обстоятельство, что задача отыскания предельно-равновесных целиков в осредненной постановке приводится к задаче нелинейной фильтрации с законом фильтрации специального вида, позволяет применить к ее решению весь хорошо разработанный к настоящему времени аппарат теории нелинейной фильтрации (см. •§ 3 главы I и цитированную там литературу). Таким путем достаточно легко может быть оценено влияние различных параметров на размеры и форму целиков. Так, на рис. 56 показано расположение целиков для системы источник-—сток интенсивности Q, расположенных на расстоянии 2а друг от друга в двухслойном пласте.
Решение построено численно в безразмерных переменных. Масштабами длины и скорости выбраны величины а и Q/a, при этом
РИС. 55. Расположение целиков остаточной нефти при разработке кругового пласта эксцентрично расположенной скважиной по результатам расчетов В. Н. Нанкова и С. В. Панько: А — г — возможные конфигурации деликів |
В г |
РИС. 54. Расположение целиков и зависимость коэффициента охвата для пятиточечной схемы площадного заводнения от интенсивности потока
решение зависит от двух безразмерных параметров
Є = T:ak2G/\iQ, 8= (1 + k2H2/kiHi).
Результаты расчетов, приведенные на рис. 56, отвечают є = 0,4, 8 = 5.
У/а |
РИС. 56. Расположение целиков для системы источник — сток в двухслойном пласте |
В заключение этого параграфа необходимо сделать несколько замечаний об использовании теории предельно равновесных целиков при оценке предельной нефтеотдачи пластов, содержащих вязкопластичные нефти. Определив предельно равновесные целики, мы имеем основание утверждать, что целики больших размеров не могут оставаться неподвижными в омывающем их потоке воды. Однако в силу неединственности равновесного состояния пластической жидкости мы не вправе утверждать, что в реальном процессе вытеснения сформируются в конце концов предельно равновесные целики, а не целики меньших размеров (на границе которых выполняется неравенство |Vp|<G, но не всюду оно переходит в равенство). Таким образом, можно полагать, что оценка потерь нефти по объему предельно равновесных целиков — это оценка сверху. Чтобы определить степень близости этой оценки к тому, что реализуется фактически, для некоторых схем течения было проведено моделирование вытеснения вязко - пластичной жидкости вязкой на щелевом лотке. Результаты моделирования (точки на рис. 54) достаточно хорошо согласуются с расчетами по предельной схеме.