ДВИЖЕНИЕ ЖИДКОСТЕИ И ГАЗОВ В ПРИРОДНЫХ ПЛАСТАХ

Теория фильтрации неньютоновских жидкостей. Закон фильтрации

Неньютоновские жидкости. Аномальными или ненью­тоновскими называются жидкости, не следующие классической модели вязкой жидкости [35]. Наиболее простые из них нелиней­но-вязкие жидкости, для которых девиатор тензора напряжений однозначно определяется девиатором тензора скоростей деформа­ций, они соосны, но зависимость между ними нелинейна. При про­стом сдвиге это проявляется в нелинейности кривой течения, связывающей касательное напряжение т и скорость сдвига f

(рис. 17):

X = F(T); Т=Г(х).

Нас будут прежде всего интересовать структурирующиеся не­линейно-вязкие жидкости, способные образовывать твердообразные структуры, разрушающиеся при увеличении интенсивности дефор­мации. Такие жидкости являются псевдопластическими: кривая 7 = Г(т) для них выпукла к оси т: Г"(х)>0. Крайнее проявление псевдопластичности описывается известной моделью

Вязко-пластической жидкос­ти, определяемой соотноше­ниями Бингама — Шведова:

У = 7J-1 (х — Тр), Х>Х0,

7 = 0, 0 < X < х0.

(III.2)

Здесь То — предельное напряжение сдвига; г| — структурная вязкость.

Для описания экспери­ментальных данных, особен­но в небольшом диапазоне изменения переменных, час­то используется и степенная зависимость вида

Х = K'f. (III.3)

Для ряда аномальных систем модель нелинейно-вязкой жид­кости оказывается непригодной. Если напряжения зависят не только от текущего значения тензора скоростей деформации, но и от предыстории деформирования данного жидкого элемента, вполне ею определяясь, то такая жидкость называется простой. Частный случай простых жидкостей — упруго-вязкие жидкости, например, простейшая линейная жидкость Максвелла, для кото­рой связь между т и у при простом сдвиге определяется диффе­ренциальным уравнением

|лТ' = т+Єт. (III.4)

Где постоянная величина 9 называется временем релакса­ции. Очевидно, при медленном изменении напряжений тело Максвелла подобно ньютоновской жидкости с вязкостью ц, а при быстром — упругому телу с модулем сдвига G = n/0. При движе­нии упругих жидкостей могут накапливаться большие упругие деформации. В результате реологические аномалии упруго-вязких жидкостей проявляются по-разному при сдвиговом течении (на­пример, в зазоре вискозиметра), когда эффективная вязкость уменьшается с ростом скорости сдвига, и при одноосном растя­жении. В последнем случае при достаточно больших скоростях деформации «продольная вязкость» жидкости, определяемая по отношению действующего в сечении напряжения к скорости удли­нения, резко возрастает.

Заметим, что все сказанное выше относилось к несжимаемым или капельно-сжимаемым жидкостям, и, скажем, упругость жид­кости — это сдвиговая упругость, которая может не иметь ничего общего с объемной упругостью (сжимаемостью) жидкости. Осо­бенно важно, что характерные значения модулей сдвига G могут быть на много порядков меньше модуля объемного сжатия Ку. Так, для используемых в процессах повышения не­фтеотдачи полимерных растворов значения G и Kv имеют поряд­ки, соответственно, 1 —100 Па и 109 Па = 103 МПа. Это позволяет рассматривать реологию объемных и сдвиговых деформаций не­зависимо.

Наконец, укажем, что в некоторых случаях нам приходится сталкиваться с системами и явлениями, не укладывающимися и в понятие «простой жидкости». Мы имеем здесь в виду в первую очередь системы, имеющие характер коллоидных растворов, внутренняя структура которых может перестраиваться под дей­ствием обменных и физико-химических процессов. К таким си­стемам относятся водо-глинистые растворы, ряд растворов поли­меров и, по-видимому, некоторые нефти. К сожалению, в боль­шинстве случаев не существует пока адекватного описания таких систем.

Закон фильтрации неньютоновской жидкости. Нелинейно-вязкие системы. Чтобы исследовать проявле­ния неньютоновских эффектов при движении в пористой среде, необходимо прежде всего установить вид закона фильтрации для неньютоновской жидкости. Из-за большого разнообразия ано­мальных жидкостей единого ответа на этот вопрос не существует.

Наиболее просто обстоит дело для нелинейно-вязких жидко­стей. Для них связь между характеристиками течения в пористой среде и стандартной реологией жидкости удается с удовлетвори­тельной точностью получить, моделируя пористую среду системой капилляров, подсчитывая среднюю скорость сдвига и напряжение на стенке капилляра и считая, что эти две величины связаны между собой кривой течения для данного материала.

Обозначим через х^, напряжение на стенке капилляра радиуса R, через ут = U/R = 4Q/kR3 — характерную скорость сдвига. Тогда для течения в капилляре имеем

Ym = 9 Ы = 4х"3 f х2Г (х) dz, (III.5)

О

Где Г (т) — зависимость скорости сдвига от касательного напряже­ния, определяемая кривой течения. Для описания движения ано­мальных жидкостей часто пользуются понятием эффективной вяз­кости Т)5ф

ТЗэф = Iw/l* = W<p (III.6)

Зависящей от скорости сдвига или касательного напряжения.

Для пористой среды среднюю скорость сдвига I'm и среднее каса­тельное напряжение х* можно определять по-разному. Из сообра­жений размерности очевидно, что

F = і (т) u/d, х* = Z(m)d\dp/dx\, (III.7)

Где и—модуль скорости фильтрации; dp/dx— градиент давления; d —внутренний масштаб пористой среды; % и £ — безразмерные функции пористости, обычно определяемые на основе прибли­женного моделирования порового пространства пучком капилля­ров. Так, для слоя сферических частиц диаметром D полагают обычно

D = D, х = 12(1 — т)/т2, ; = т/[15(1 — т)].

Эти соотношения переносятся с помощью формулы Козени — Кармана (1.8) на произвольную пористую среду проницаемости k

D = (k/mY'\ х — 0,9/т, С = 0,9.

Таким способом для ряда систем получаются вполне прием­лемые результаты. Так, на рис. 18 приведены данные для раство­ра поливинилового спирта [39]. Другие примеры можно найти в обзоре [39], цитированных там статьях и последующих публика­циях.

К числу нелинейно-вязких систем, исследованных подробно в последние годы, относятся нефти ряда месторождений Советско­го Союза. Интерес к их исследованию вызван тем, что было об­наружено, что они при определенных условиях ведут себя как псевдопластические системы. Кривые течения этих нефтей в оп-

Ределенном диапазоне скоростей сдвига могут быть описаны уравнениями Бингама — Шведова (III. 2).

Достаточно очевидно, что жидкости, обладающие отличным от нуля предельным напряжением сдвига to, могут начать двигать­ся в пористой среде лишь тогда, когда градиент давления прев­зойдет некоторое пороговое значение G, называемое начальным или предельным градиентом давления. Из соображений размерности

G^Cz 0&-'/2, (III.8)

Где С — постоянная.

В соответствии с гипотезой о подобии течения в пористой среде и в капилляре особенности движения вязко-пластических жидкостей в пористой среде можно описать соотношениями закона фильтрации с предельным градиентом давления

W = - Ј(Vp-Gvp/| Чр\), | Vp | > G, (ПІ-9)

Г*

W = о, \S7p\<G.

Соотношения (III. 8) и (III. 9) для описания фильтрации вяз­ко-пластических жидкостей были предложены А. X. Мирзаджан - заде [28], причем постоянная С имеет порядок ~10-2. Формула,
аналогичная (III. 9), использовалась как эмпирическое уравнение закона фильтрации воды в глинах (рис. 19).

Сходная «псевдопластическая» картина наблюдается при фильт­рации ряда нефтей воды в глинизированных породах, а также при движении обычных ньютоновских жидкостей и газа в глини­зированных породах, содержащих остаточную воду.

Вязкоупругие эффекты. Часто при попытке предска­зать расходную характеристику образца пористой среды по кри­вой течения жидкости на основе капиллярной модели получаются результаты, не согласующиеся с опытом даже качественно. Весьма характерны в этом отношении многочисленные данные по раство­рам полиоксиэтилена. На рис. 20 показаны зависимости коэффи­циента сопротивления f = 64 (Др/fyk/Dpw2 от числа Рейнольдса Re = ayDp/p для раствора полиоксиэтилена WSR-301 с молекуляр­ной массой 3 • 106 ряда концентраций, определяемые из опыта по движению в пористой среде, состоящей из шариков разного диа­метра D.

Заметим, что при течении в капилляре эффективная вязкость исследованных растворов остается практически постоянной, так что теоретическая зависимость имеет вид f~Re-1.

При движении в пористой среде «вязкость», начиная с некото­рой скорости сдвига, сильно растет и во много раз превосходит начальную вязкость раствора. Подобные же данные получены и

Для сцементированной пористой среды, а также в опытах по дви­жению полимерных растворов через трубкй переменного радиуса, моделирующие последовательность сужений и расширений поро - вых каналов. Естественно, все эти результаты нельзя объяснить с помощью капиллярной модели пористой среды. Гораздо проще их понять, если учесть, что элемент жидкости в поровом простран­стве проходит через последовательность сужений и расширений, и поэтому вынужден изменять свою форму с частотой ~w/mD. Если эта частота становится достаточно большой (wQ/mD~ 1), то существенными становятся упругие эффекты, сопротивление деформации возрастает, и это объясняет наблюдаемое прираще^ ние сопротивления в области достаточно больших скоростей филь­трации. Таким образом, интуитивно легко связать наблюдаемый рост эффективной вязкости с упругостью жидкости. Имеются попытки количественнного расчета этого эффекта. Они основаны на рассмотрении движения в сужениях как аналога растяжения и указывают на известное возрастание вязкости при больших ско­ростях растяжения как на причину повышенного сопротивления движению упругих жидкостей в пористой среде.

Полимерные растворы, наряду с эффектами вязкоупругости, проявляют при движении в пористой среде и аномалии, обуслов­ленные их микрогетерогенностью и способностью сорбироваться в скелете пористой среды, изменяя ее гидравлическое сопротивле­ние. Это приводит к ряду медленных нестационарных явлений, интенсивно исследуемых в настоящее время [29, 30, 20]. В дан­ной книге мы ограничимся изучением фильтрационных аномалий, связанных с нелинейностью закона фильтрации.