ДВИЖЕНИЕ ЖИДКОСТЕИ И ГАЗОВ В ПРИРОДНЫХ ПЛАСТАХ

Структура течения при мелкомасштабном описании. Стабилизированная зона. Капиллярные эффекты в пори­стых средах

Стабилизированная зона. При крупномасштабном асим­птотическом описании вытеснения несмешивающихся жидкостей воз-

*(s)~

Никают поверхности разрыва—скачки насыщенности. При решении полной системы уравнений (IV. 19) и (IV.20) им соответствуют узкие зоны с большими значениями |grads|. Для описания распределения насыщенности в переходной зоне, соответствующей скачку, введем в окрестности некоторой точки О поверхности разрыва насыщенности локальную декартову систему координат с центром в этой точке. Ось х направим по нормали к поверхности разрыва и введем вдоль этой оси масштаб I — єL, где, как и ранее, є = a2/UoL (ы0 =kAp/\>.\L), т. е. полежим безразмерную координату X равной хЦ, сохранив

Y = y/L, Z = z/L. Масштаб времени примем равным (о = l/Uo = a2/ul и положим т = t/to = ult/a2. Тогда система уравнений (IV. 19), (IV.20) при пренебрежении членами порядка є и выше сведется к следующей:

Д [tp (s) д П /дХ] /дХ = 0, ср (s) д П /дХ = — ш (У, Z, т), (IV.65)

Ds/dz + (ш/т) F (s) ds/dX —д2Ф (s) /дХ2 = 0, <■> = и/и0. (IV.66)

Система уравнений двухфазной фильтрации свелась к одномерной ввиду того, что радиус кривизны поверхности разрыва, определяемый условиями внешнего течения, имеет порядок L и все вторые произ­водные по координатам Y и Z входят в уравнения с коэффициентами, пропорциональными є, а производные по X — с коэффициентами порядка единицы.

В пределах переходной зоны, где течение можно считать одно­мерным, суммарная скорость ш фильтрации обеих фаз вдоль оси X не зависит от «быстрой» координаты X, а зависит только от «медлен­ных» переменных — времени х и координат на поверхности скачка

Y и Z. Изменение скорости ш происходит за времена порядка L/uq, т. е. большие в масштабе внутреннего разложения. Установление распределения насыщенности вдоль переходной зоны происходит за время t0 = a2/ul, т. е. много быстрее, чем изменение скорости. Поэтому при асимптотическом исследовании течения в переходной зоне (внутреннее разложение) скорость (в можно считать постоянной, а распределение насыщенности — стационарным в координатах, свя­занных со скачком.

Уравнение (IV.66), описывающее одномерное вытеснение несмеши - вающихся жидкостей с учетом капиллярных сил, называется урав­нением Рапопорта — Лиса. Основное значение имеет его решение типа бегущей волны

S - s (С); С = X — V° = V/u0, (IV.67)

Где V — скорость распространения скачка, определяемая из внешнего разложения. Именно это решение описывает распределение насыщен­ности поперек скачка, поскольку внутренняя структура скачка очень быстро приспосабливается к изменению внешних параметров. В силу большого различия масштабов / и L(/<L) должны выполняться граничные условия сращивания:

S(— оо) = s~ = sc; s (+ оо) = s+ = so, (IV.68)

Где s - = sc и s+ = so — соответственно насыщенности за и перед скачком, определяемые из внешнего разложения. В задаче Баклея —

Леверетта они связаны соотношением (IV. 45). Скорость распростра­нения поверхности разрыва V0 в равенстве (IV.67), определяется формулой (IV.38).

Используя (IV.67), получим вместо (IV.66) уравнение

— mV°ds/d С + <aF' (s) ds/dQ — md [Ф' (s) ds/dQ/dС = 0. (IV.69)

Интегрируя уравнение (IV.69) по С с учетом условий (IV.68) и разрешая относительно dC/ds, имеем

DQds = тФ' (s) / [со (F (s) — F (s0)) — mV° (s — s0)]. (IV.70)

Отсюда с учетом формулы (IV.38) для скорости скачка V

Ф'(s) ds

[f (s) - F (s,,)] (Se - s0) - [F (scy - F (S„)] (s - s0),

(IV.71)

Где si (so < Si < sc) и Сі — произвольно выбираемое начало отсчета координат. Если скачок стационарный и выполняется условие (IV.45), то вместо (IV.71) имеем

= 2Lf__

О) J F (s) -

Формула (IV.72) описывает распределение насыщенности в пере­ходной зоне (рис. 43), которая ввиду стационарного распределения в ней насыщенности традиционно называется стабилизированной зоной. Ширина стабилизированной зоны о определяется как расстоя­ние между точками, насыщенности в которых отличаются от пре­дельных sc и So на некоторую малую величину а0, т. е. как

8 = С (s0 + о0) — С (sc — а0).

В размерных переменных ширина стабилизированной зоны /8 =аЧ/и0, т. е. обратно пропорциональна скорости фильтрации или скорости скачка.

Знаменатель подынтегрального выражения в (IV.71) порядка A (s— sc), а в (IV.72) порядка А\ (s — sc)2, числитель же остается

Конечным при S

Имеем в первом случае SSXSC —С1 ехр (С/В), С, — С % в In (Sc — s), (IV.73) а во втором

S ^ sc + С2/С, С = С2/ (s — sc).

(IV.74)

При s -»- so, т. е. С + зна­менатель подынтегрального выраже­ния в (IV.71) и (IV.72) имеет порядок s —so. Поэтому, если F (s) и F' (s) конечны при S = So, то имеем

С — Сі ~ Сз ln (s — s0). (IV.75)

Если F (so) = 0, то s0 < s*. Это означает, что вытесняющая фаза при С + со находится в несвязном состоянии. Рассмотрим вначале случай so = s*. Тогда, учитывая, что Ф' (s)=— /2(s)F(s)/' (s) и что при s, близких к s*, F(s)^fi (s)^ (s—s*)p, где р>1, характер функции С (s) будет зависеть от сходимости интеграла

I (Sl) = ]' (s~s^-4'(s)ds. (IV.76)

S,

Если интеграл (IV.76) сходится, то s обращается в st при ко­нечном значении С, если же расходится, то у кривой s(С) имеется горизонтальная асимптота. Как уже отмечалось в § 1 данной главы, капиллярное давление и функция Леверетта J (s) должны быть ко­нечными при «неподвижной» насыщенности s,, поэтому сходится интеграл §J'(s)ds и тем более интеграл (IV.76). Расходимость ин­теграла (IV.76) может быть лишь следствием неудачней аппрокси­мации эмпирических функций отнссительной проницаемости и функ­ции Леверетта. ддимость интеграла (IV.76) при s s4 означает, что равенство s = st достигается при конечном значении координаты С = С, и при всех С > С, s остается постоянным и равным s,, т. е. существует выраженный фронт вытеснения.

Если же насыщенность So при С ->■ + со меньше st, то для всех s в интервале So < s < s, С = const, т. е. насыщенность от s0 до st меняется скачком. Возникновение скачка в решении задачи о вы­теснении с учетсм капиллярных сил связано с допущением, что при насыщенностях, меньших so, еся вытесняющая фаза находится в не­связном состоянии. По-видимому, на самом деле часть этой фазы вблизи фронта становится подвижной и при насыщенностях, мень - ши х, чем s., и вблизи скачка имеется зона, где происходит обмен между связной и несвязной частями вытесняющей фазы.

Как было сказано, протяженность стабилизированной зоны об­ратно пропорциональна а2/ио, т. е. при использовании одной и той же среды и жидкостей обратно пропорциональна скорости вытесне­ния. Экспериментальная проверка этой зависимости проведена В. Н. Мартосом и В. М. Рыжиком. В экспериментах воздух вы­теснялся водой при атмосферном давлении на еьіходє с постоянной скоростью из горизонтальных труб длиной 170 см, заполненных кварцевым песком с проницаемостью 10 мкм2 и пористостью 0,40. Начальная (неподвижная) водонасыщенность равнялась 0,21. Распре­деление водонасыщеннести по длине модели измерялось методом электросопротивления. Скорость вытеснения «о менялась в пределах 1,1 • Ю-5 — 2 • Ю-4 м/с. Во всех экспериментах и:менение водона - сыщенности со временем в различных точках по длине модели практически повторялось со сдвигом, обратно пропорциональным скорости вытеснения, т. е. образовывалась стабилизированная зона.

Протяженность стабилизированной зоны d условно определялась как расстояние между точками с насыщенностями 0,40 и 0,80. Из рис. 44 видно, что при малых скоростях (У-1 > 2 • 104 с/м)d при­
близительно пропорционально V~l, как и следует из вышеуказанной теории. Однако при значении V~l около 1 • 104 с/м d(V~x) имеет минимум, а при меньших значениях V-1 снова наблюдается рост стабилизированной зоны. По-видимому, увеличение d связано с не­равновесностью вытеснения, т. е. с запаздыванием перераспределе­ния фаз в порах (см. § 4 данной главы).

Существование минимума на кривой c!(V_1) согласуется с обна­руженным ранее В. Г. Оганджанянцем наличием максимума на кривой зависимости нефтеотдачи при прорыве воды от скорости вы­теснения.

Область применимости уравнения Рапопорта — Лиса ограничи­вается в описанных экспериментах скоростями менее 5 • Ю-5 м/с или значениями безразмерного параметра Nc

Nc = ^ < 0,7 • 10-е.

А

Такое критическое значение Nc на несколько порядков ниже критических значений Nc, необходимых для движения в порах изолированных капель, размер которых сравним с размером пор (см. § 1 данной главы). Как и аналогичный результат Д. А. Эф­роса и В. П. Оноприенко о влиянии параметра Д^С = П! на нефте­отдачу, это означает, что характерные размеры систем поровых каналов, занятых каждой из фаз, и изолированных скоплений каждой фазы намного больше характерных размеров пор. Соот­ветственно могут быть значительными и характерные времена перестройки потока под действием капиллярных сил. Возника­ющие при такой перестройке неравновесные явления в ходе вы­теснения несмешивающихся жидкостей изучаются в § 4 настоящей главы.

Граничные условия и концевые эффекты. Рас­смотрим задачу о вытеснении несмешивающихся жидкостей из образца длины L с учетом капиллярных сил в одномерной поста­новке, т. е. на основе уравнения Рапопорта — Лиса (IV.66), кото­рое запишем в размерных переменных:

Ds/dt + (u0F'(s) /т) ds/dx— а2д2Ф (s) /дх2 = 0, (IV.77)

Где

А2 = aVk/рУт, Ф (s) = — J /2 (s) F (s) J' (s) ds.

0

В тех же обозначениях из уравнений обобщенного закона Дар - си (IV. 11) и (IV. 12) следует:

U\ = uqF (s)— а2тдФ/дх, и2 = и0 — щ. (IV.78)

Типичный вид функции ®(s), соответствующей относительным проницаемостям fi (s) = s4, /2 (s) = (1 + s) (1 — s)3 и У (s) = s-1^, по­казан на рис. 45.

Пусть образец длины L первоначально заполнен вытесняемой жидкостью с насыщенностью а0(х) =1—So(x), и через сечение х = = 0 начинается закачка вытесняющей фазы со скоростью фильтра­ции и = «о (О-

Уравнение (IV.77) — квазилинейное уравнение в частных производ­ных второго порядка параболического типа. В задаче о вытеснении для этого уравнения должны быть заданы граничные условия как во «входном» сечении при х = 0, так и в «выходном», при х = L.

Формулировка граничных условий зависит от состояния жид­костей и пористой среды вне рассматриваемого образца и от преимущественной смачиваемости его скелета вытесняющей или вытесняемой фазой, т. е. в случае вытеснения нефти водой от того, является среда гидрофильной или гидрофобной.

Заданными на входе могут быть отношение скоростей фильт­рации фаз либо насыщенность, либо некоторая их комбинация. Рассмотрим некоторые типичные постановки. Пусть пористая среда соприкасается при х<0 со свободным пространством, за­полненным нагнетаемой вытесняющей фазой. При этом возможны две ситуации. Если вытесняющая фаза менее смачивающая, то только она и будет двигаться в сечении, примыкающем к входно­му концу, т. е. будет выполняться условие равенства нулю ско­рости фильтрации вытесняемой фазы при дг=0, что с учетом фор­мул (IV.78) дает

"2 =«о(1 —F (si)) + а2тдФ/дх = 0, х = О, (IV.79) где Si = s (0, t).

Если же вытесняющая фаза более смачивающая, чем вытес­няемая (гидрофильная среда), то последняя может выходить в свободное пространство путем противотока. Поэтому условие (IV.79) выполняется только в том случае, если на входном конце образца установлена полупроницаемая мембрана (из материала противоположной смачиваемости), не допускающая противоточ - ной фильтрации вытесняемой фазы. Если же возможен выход несмачиваемой вытесняемой жидкости в свободное пространство, заполненное вытесняющей фазой, то такое истечение происходит в виде отдельных капель, радиус которых гр близок к радиусу самых крупных пор. В таком случае при х = 0 задается условие равенства капиллярного давления в среде капиллярному давле­нию в капле

Рс (si) = 2a/rpi (IV.80)

Откуда определяется значение s\ — s(0, t). Поскольку радиус гр ве­лик по сравнению со средним радиусом пор, si оказывается близ­ким к s* — максимально возможной насыщенности при вытеснении.

Условие (IV.79) в безразмерных переменных внешнего разложе­ния X = x! L, х = udt/L имеет вид

1— F (Si) + ЕдФ/дхІ^о = 0, (IV.81)

Где e = a2/uoL — малая величина. При є -»- 0, т. е. в рамках нуле­вого приближения внешнего разложения, условие (IV.81) сводится к F (si) = 1 или si = s*.

Формулировка условия при x=L также зависит от состояния среды вне рассматриваемого образца и может быть различной. Предположим, что при х > L находится пористая среда, проница­емость которой kt много больше, чем проницаемость рассматривае­мого образца, первоначально насыщенного вытесняемой фазой. На границе двух сред при двухфазном течении должно выполняться условие непрерывности давления в обеих фазах и, следовательно, непрерывности капиллярного давления. Из соотношения Леверетта (IV. 10) следует, что в высокопроницаемой среде капиллярное дав­ление близко к нулю при всех насыщенностях, соответствующих подвижным фазам. Поэтому в основной (малопроницаемой) среде при равенстве капиллярных давлений насыщенность должна быть близка к s*, если вытесняющая фаза более смачивающая (гидрофиль­ная среда при вытеснении нефти водой), и к s„, если она менее смачивающая (гидрофобная среда). Предельный переход оо при­водит к случаю, когда при х > L происходит истечение в свободное пространство, причем выполняются граничные условия вида

S (L, 0 = s*, s (L, 0 = s,. (IV.82)

Для гидрофильной и гидрофобной сред соответственно (под s подра­зумевается насыщенность вытесняющей фазой).

Условия (IV.82) в отличие от (IV.81) не согласуются с услови­ями при x=L, вытекающими из внешнего разложения (решение Баклея — Леверетта), в котором s (L, t) = sL — переменная величина, определяемая из равенства L = uoF" (sL) t/m. Несогласованность гра­ничных условий означает, что вблизи границы х = L образуется узкая зона (пограничный слой) с переменной насыщенностью, ме­няющейся от sL до st или до s*. Распределение насыщенности в этой зоне можно исследовать методом сращиваемых асимптотических разложений, вводя, как и в стабилизированной переходной зоне, «капиллярный» пространственный масштаб I = а2/ио, сохраняя, од­нако, масштаб времени внешнего разложения. Заметим, что при вытеснении нефти водой из гидрофильной среды начальная насы­щенность So < s\ Значение s = s* при х = L достигается после под­хода воды к выходному сечению не мгновенно, а через времена
порядка to = a2/u%. Значение to много меньше характерного времени вытеснения L/u0\ период установления насыщенности s* при х = L нами не рассматривается. Пе­рейдем в уравнении (IV.77) к безразмер­ным переменным t = uo(L—х)/тат = = uotlm. В результате имеем

Eds/dz —F' (s) ds/dt. — д2Ф (s) /д¥ = 0.

(IV.83)

В нулевом приближении распределение насыщенности удовлетворяет стационар­ному уравнению

DF/dl + д2Ф/д? = 0. (IV.84)

Это означает, что ьблизи выходного се­чения распределение насыщенности в ходе вытеснения квазистационарно. Граничные условия для уравнения (IV.84) определяются следующим образом: при? = 0 выполняется условие (IV.82). При X оо должно выполняться условие асимпто­тического сращивания с тем значением s, которое получается на границе x=L во внешнем приближении, т. е. в решении задачи Баклея—Леверетта s(—со,/) =sl(/), где Sl определяется из (IV.46) как s(L, t). Интегрируя уравнение (IV.84), получим распределение насыщенности вблизи х= L, удовлетворяющее граничным условиям при $ = 0 и $ = —оо (рис. 46).

Гидрофильная среда

S

Гидрофобная среда

Г Фг (s) ds

)F(s)-F(s)

S, L

Отклонение распределения насыщенности вблизи выходного сечения от распределения, полученного без учета капиллярности и справедливого вне концевой области, называется капилляр­ным концевым эффектом.

Из формул (IV.85) следует, что распределение насыщенности после полного вытеснения нефти в гидрофобной и гидрофильной пористых средах различное, т. е. в зависимости от того, какая из фаз является более смачивающей.

Для гидрофильной среды при tоо, sL->s* амплитуда измене­ния насыщенности в интеграле (IV.85) стремится к нулю, и в пре­деле s = s* при всех х 0 < х < L, т. е. во всех точках, достигается предельная насыщенность. Если среда гидрофобна, то sL s, а ниж­ним пределом в (IV.85) является st. Поэтому с ростом sL интеграл стремится к конечному пределу для всех s<sL. Это означает,
что после полного вытеснения, т, е. после прокачки неограничен­ного объема воды, в гидрофобном образце остается конечный объем нефти с насыщенностью выше н еподвижной а = 1 — S*.

Перепишем интеграл (IV.85) для гидрофобной среды в размерных переменных

(IV.86)

Формула (IV.86) описывает стационарное распределение оста­точной нефти в образце. Из нее следует, что протяженность зоны концевого эффекта, т. е. зоны, содержащей остаточную нефть, обратно пропорциональна скорости вытеснения. Таким образом, конечная нефтеотдача гидрофобных сред возрастает с ростом скорости вытеснения, а нефтеотдача гидрофильных сред от ско­рости не зависит. Этот вывод был неоднократно подтвержден экспериментально.

Капиллярная пропитка. В неоднородных пластах возможны ситуации, когда при вытеснении несмешивающихся жидкостей влияние капиллярных сил на процесс вытеснения оказывается доминирующим. Важнейшим процессом подобного рода является капиллярная пропитка — самопроизвольное впиты­вание более смачивающей фазы в пористую среду, насыщенную другой фазой, без внешнего воздействия на какую-либо из жид­костей. Так обстоит дело, когда малопроницаемый блок породы, насыщенный нефтью, оказывается окруженным со всех сторон водой, продвигающейся по высокопроницаемым участкам. Тогда извлечение нефти из этого блока возможно лишь за счет капил­лярной пропитки. Для получения качественных оценок рассмотрим следующий идеализированный процесс. Пусть цилиндрический образец пористой среды первоначально заполнен менее смачива­ющей фазой. Боковые поверхности и один из торцов предпола­гаются непроницаемыми, а свободный торец в начальный момент приводится в соприкосновение со смачивающей жидкостью. В ре­зультате начнется процесс противоточной капиллярной пропитки, т. е. смачивающая фаза будет впитываться, а несмачивающая выходить через единственную открытую торцевую поверхность. Очевидно, впитывание будет происходить преимущественно по мелким порам, а выход несмачивающей фазы — по крупным.

Как показывают эксперименты по противоточной пропитке, проведенные на прозрачных образцах, фильтрация обеих фаз во встречных направлениях происходит равномерно по всему сече­нию, и каждая из фаз движется по своей системе поровых кана­лов. Противоточную пропитку поэтому можно рассматривать в рамках представлений, принятых для обычной одномерной двух­фазной фильтрации. Относительные проницаемости для противо - точного течения могут отличаться от соответствующих функций при однонаправленном течении обеих фаз. Однако в последу­ющем качественном исследовании это различие не учитывается.

Уравнение закона фильтрации будем записывать в виде (IV. 10) и использовать уравнение Рапопорта — Лиса (IV.77) при условии для противоточного течения:

U0="i+"2 = 0. (IV.87)

Что дает

Ds/dt — а2д2Ф (s)/dx2 = 0. (IV.88)

Из (IV.78)

Щ = - а2т ~ = a2mf2 (s) F (s) J' (s) (IV.89)

В задаче о противоточной капиллярной пропитке граничным условием во входном сечении должно быть равенство нулю капил­лярного давления, так как Рс = 0 в свободной жидкости. Иными словами, s (0, t) — s*, где s* — предельная насыщенность, при кото­рой вытесняемая несмачивающая фаза переходит в несвязное со­стояние и капиллярное давление обращается в нуль. Поскольку f2 (s*) = 0, то для того, чтобы при s->s* ti] и «2 оставались КОНЄЧ-

Ds

Ными, необходимо, чтобы предел f2 (s) J' (s) ^ при X -> 0, s -> s* был

Отличен от нуля.

В закрытом сечении при х = L выполняется условие и\ == и2= 0, т. е. либо s < s,, либо ds/dx — 0. Пусть начальная насыщенность постоянна и равна So. Рассмотрим течение при временах t, удов­летворяющих неравенству

K/a2<t t « L2/a2, (IV.90)

Т. е. таких, когда распределение насыщенности в порах в тонкой зоне вблизи входного сечения (толщиной порядка размера пор) уже установилось, но возмущение не дошло до сечения х = L. Тогда s должно быть функцией только трех размерных перемен­ных х, t и а2, из которых может быть составлена единственная безразмерная комбинация 5 = x/aVt, т. е. задача является авто­модельной. Уравнение (IV.89) переходит в обыкновенное диффе ренциальное уравнение

Tds/dl + 2с12ФШ2 = 0 (IV.91)

С граничными условиями

S(0) = s*, s(oo)=s0. (IV.92)

Для s, близких к s*, Ф (s) можно приближенно представить в виде Ф (s) ~ Фд — A (s* — s)n. Тогда решение уравнения (IV.91) при условии s(0) = s* имеет для малых \ вид s* — s=CЈ2/n-1. Меняя С, можно получить семейство решений, каждому из которых со­ответствует свое значение s(oo) = so. Если s(0)<s*, то такое же семейство решений можно получить, меняя s' (0) (рис. 47). Искомое решение для заданного so > s. можно получить подбором такого значения свободного параметра, при котором выполняется второе краевое условие.

Обращаясь к случаю So < st, отметим, что уравнение (IV.91) при s, близких к s,, имеет вид

2A td2^/di2 + Xda/dX О, (IV.93)

Где а = s — Ф (s) Л і (s — sj", если s-+sf. Для всех реальных кривых относительной проницаемости и капиллярного давления n> 1. Как было показано в § 5 гл. II, решение уравнения вида (IV.93) достигает граничного значения а = 0 при конечном значении і = с. В данном случае это означает, что существует «фронт про­питки».

Вблизи точки X — с, о = О решение уравнения (IV.93) асимпто­тически представляется в виде

С~Х = 2A\ti fx"-1 (2с( + cK)~ldx. (IV.94)

О

Если s0 < s„, то на фронте пропитки, как и выше, в случае стабилизированной зоны, возникает скачок насыщенности от so до st в точке X = с. Физический смысл этого скачка тот же, что и скачка впереди стабилизированной зоны. На скачке должно вы­полняться условие (IV.36). Из формул (IV.89) и (IV.94) получим для и\ (? = с) выражение

Щ = (атФ' (s)/}/T) ds/dX = атс^/УТ. (IV.95)

Из условия на скачке V — ui/m(st— so) = ас/2 Vt, откуда

2 Cl=c(s, — so). (IV.96)

Тогда из (IV.94) имеем

С — 5 = 2с_| (s — sj"/(st — So), (IV.97)

С - ^ = (в1"|)с (s - s.)"-' (so = S,). (IV.98)

Соотношения (IV.97) и (IV.98) позволяют выделить из семейст­ва интегральных кривых, удовлетворяющих условию при X — О, те, которые соответствуют заданному значению So < s,.

РИС. 47. Распределение насыщенности при противоточной ка­пиллярной пропитке

Заметим, что при So = st вблизи Е = с «і ^ атса/2 J//, т. е. «ис­тинная» скорость впитывающейся фазы ujmo при а - у 0 остается конечной.

В задачах двухфазной фильтрации в трещиновато-пористых сре­дах (см. ниже) используется функция, выражающая зависимость средней насыщенности пропитывающего блока пористой среды от времени. Чтобы получить эту зависимость, следует решить задачу о пропитке образца конечной длины. Если начальная насыщенность so < s., скорость «фронта пропитки» хс конечна, то до подхода его к непроницаемой границе х = L можно использовать автомодельное решение s(Ј). При этом средняя насыщенность

І х° - s = j-\sdx = s0 + KV^ < с"2), (IV.99)

"о

Где

С

K(s°, s0) = J(s — s0)dl HV.100)

"о

Чтобы получить приближенное решение для моментов времени t > tc, воспользуемся методом интегральных соотношений. Проин­тегрировав уравнение (IV.91) по х от 0 до L, получим

Й2Ф' (s°) (ds/dx)о = Lds/dt. (IV. 101)

Будем искать распределение s в виде (с учетом условия при х= L):

S = s° — 2x(2L — х) (s° — s)/3L2. (IV. 102)

Тогда из (IV. 101) получим

D's/dt = 3a2®'(s0) (s° — J)/L2. (IV. 103)

Интегрируя уравнение (IV. 103) при условии, что t=tc и реше­ние совпадает с (IV.99), получим окончательно

S = s° — (s° — So — К/с) ехр [—ЗФ' (s°) (т — те)] (IV. 104)

При т > тс = с~2, где i = a2t/L2. Зависимость s(x), соответствую­щая формулам (IV.99) и (IV. 104), приведена на рис. 48.

Модель вытеснения в средах с двойной пористос­тью. Полученные ранее соотношения, характеризующие капиллярную пропитку, используются для построения модели вытеснения нефти водой в средах с двойной пористостью, т. е. состоящих из областей с проницаемостью k\, в которых имеются включения с проницае­мостью k2<^k\. При движении вытесняющей воды по водопрони­цаемым зонам малопроницаемые блоки оказываются окруженными водой, и нефть из них извлекается путем противоточной капилляр­ной пропитки.

Ограничимся здесь только случаем трещиновато-пористых сред, общая характеристика которых приведена в § 4 гл. III, и воспользуемся гипотезами модели фильтрации в трещиновато-по­ристых средах (см. рис. 34). Иначе говоря, предположим, что емкость трещин намного меньше пористости блоков, а проницае­мость блоков, напротив, пренебрежимо мала по сравнению с проницаемостью системы трещин. Вода движется по системе трещин, впитывается в пористые блоки, вытесняя нефть. Поступа­ющая из блоков нефть движется далее по системе трещин.

Пренебрегая непосредственным переносом жидкости по блокам и емкостью трещин, уравнения неразрывности в каждой из си­стем двойной среды можно получить в виде

Div и, + q = 0, mds/dt — q = О, (IV. 105)

Где и\ — скорость фильтрации вытесняющей фазы; s — насыщен­ность в блоках; q — интенсивность обмена жидкостью между тре­щинами и блоками, определяемая скоростью капиллярной пропитки.

В принятой модели с момента подхода воды к блоку на его границе мгновенно устанавливается максимальное значение насы­щенности s*, соответствующее Рс = 0. Тогда интенсивность про­питки и обмена жидкостью между фазами зависит только от вре­мени нахождения данного элемента или блока в обводненной зоне.

В одномерном случае система (IV. 105) примет вид

Дих! дх +<7 = 0, mds/dt—q = 0. (IV. 106)

Введем, следуя Ю. П. Желтову, В. JI. Данилову и А. А. Бок - серману, неизвестную функцию t0(x)—время прохождения фронта воды в трещинах через точку с координатой х. Тогда интенсив­ность перетоков q в уравнениях (IV. 108) будет функцией времени нахождения блока в зоне за фронтом t—tu(x) — z. Вид функции q(z) может быть установлен, например, исходя из выражения для пропитки одного элемента (IV.104). q(т) должно быть пропорцио­нально ds/dx, т. е.

Q = Nx(t т)-'/2, т < тс;

(IV 107)

Q = (N2а2/L2) exp (— WO, х > %с, К '

Где N\, N2 и X — постоянные.

Выражение (IV.107) получено из приближэнной формулы (IV.104). Болег удобно использовать для q (т) единую аппроксимацию для всех т, например, предложенную Э. В. Скворцовым, формулу

= (IV. 108)

Постоянные А и b подбираются так, чтобы ближе соответство­вать формулам (IV. 107) или экспериментальным данным.

Рассмотрим одномерную задачу вытеснения нефти водой из трещиновато-пористой среды для модели, описываемой системой (IV.106). Проинтегрируем первое из этих уравнений от х = 0 до фронта воды х =Хо (t) = /(/).

(0 ~^q[t-T [x)\dx = \q(t-T)f (Г) dT. (IV. 109)

Если задана скорость вытеснения при х = 0 U\ (t), то, решая интегральное уравнение (IV. 109), можно найти скорость продви­жения фронта f (t) и обратную функцию to(x).

Тогда из второго уравнения системы (IV. 106) найдется рас­пределение насыщенности в блоках

S-So=y~fX)q(z)dx. (IV.110)

О

Правая часть уравнения (IV. 109) имеет вид свертки, и оно может быть решено методом преобразования Лапласа. Пусть U (к), Q (X) и *F(X)— преобразования Лапласа функций ux(t), q(t) и f{t) соответственно. Тогда из (IV. 109) получим, пользуясь теоремой о свертке и условием / (0) = 0,

ЩХ) = U (X)/XQ (к). (IV. 111)

Пусть <7(0 Еыргжается формулой (IV.1C8) и и —-■ и0 = const Тогда

F (X) = w01/Т+Ь/А (IV. 112)

В результате по таблицам преобразования Лапласа можно найти

/ (/) = (uo/A Уъ) (1 + 2bt) erf (УЫ) + (2«о/А У^ГЬ) (1 + е-*'),

(IV. 113)

/' (0 = (2«0 УЫА Уъ) erf (УЫ). (IV. 114)

Из формулы (IV. 114) следует, что при со скорость пере­мещения фронта

V = 2и0\, ЇЇАУк. (IV.115)

Если /'(t) = V = const, то в соответствии с формулой (IV. 110) получим

S = So + (s° — So) erf (Уъ (t — x/V)). (IV. 116)

Таким образом, s есть функция х—Vt, т. е. при оо рас­пределение насыщенности приобретает вид бегущей волны.

Все изменение насыщенности ОТ So до s° происходит в зоне, перемещающейся с постоянной скоростью, протяженность которой имеет порядок uol2/a2. Эта зона по аналогии с рассмотренной выше зоной вблизи скачка при обычном вытеснении получила название стабилизир ованной. Однако в отличие от зоны, описываемой уравнениями (IV.71) или (IV.72), протяженность стабилизирован­ной зоны пропорциональна ио, а не ыо"1. Для трещиновато-по­ристой среды капиллярные силы оказывают стабилизирующее влия­ние на процесс вытеснения. В случае однородной среды капил­лярные силы вызывают диссипацию («размазывание») фронта вытес­нения (см. § 4 данной главы).