ДВИЖЕНИЕ ЖИДКОСТЕИ И ГАЗОВ В ПРИРОДНЫХ ПЛАСТАХ

Стационарные задачи фильтрации неньютоновских жидкостей

Из сказанного в § 1 данной главы следует, что основная осо­бенность движения неньютоновских жидкостей в пористой среде —■ нелинейность закона фильтрации. Для структурирующихся систем это типичная псевдопластическая нелинейность, при которой под­вижность увеличивается с увеличением скорости фильтрации; качественная модель и крайнее выражение ее соответствуют за­кону фильтрации с предельным градиентом (III. 9). Поэтому подземная гидродинамика неньютоновских жидкостей это прежде всего теория движений, не следующих закону Дарси.

В этом параграфе кратко изложены подходы и результаты те­ории стационарной фильтрации неньютоновских жидкостей; в сле­дующем сделано то же применительно к неустановившимся дви­жениям.

Основные уравнения и общие утверждения. Уравнение нелинейного закона фильтрации несжимаемой жидкос­ти в изотропной пористой среде можно представить в виде [43]

Vfl" = — Ф(ш) w/w; Ф(0) = X > 0, Ф'(да) > 0, 0 < w< оо. (III. 10)

Если X > 0, то имеется предельный градиент давления и под­разумевается, что при I v# | < х движение отсутствует (да = 0); если X = О, движение происходит при любом перепаде напора.

Уравнение (II1.10) вместе с уравнением неразрывности

VW = 0 (III.11)

Образует систему уравнений фильтрации неньютоновских жидкос­тей. Граничные условия для этой системы формулируются так же, как в обычных задачах стационарной фильтрации, следующей за­кону Дарси (см. § 1, гл. II).

Поскольку система (III. 10) — (III. 11) нелинейна и функция Ф может иметь различный вид для различных систем жидкость — пористая среда, основная цель исследования заключается в отыс­кании достаточно общих подходов и фактов. Для фильтрационных течений неньютоновских жидкостей сохраняют силу основные ка­чественные свойства напорных фильтрационных течений, сформу­лированные в § 2 гл. II.

Рассмотрим течение в неоднородной среде и будем полагать, что неоднородность среды полностью характеризуется зависимостью от координат параметра р = р (х, у, г), называемого далее пара­метром сопротивления. Этот параметр — дополнительный аргумент в уравнении закона фильтрации.

Обозначим

H = v//, h = \h\, h = Ф (w, р), w = ЧГ (h, р), Ф, р > 0, f, f<0

(III.12)

И введем функции

W h

D(w) = f Ф (да, p)dw, R (h) = С W (h, P) dh, (III.13)

О "o

Называемые далее потенциалом диссипации и дополнительным по­тенциалом диссипации. На рис. 21 им соответствуют заштрихо­ванные площади под кривой Ф (w) и слева от нее. Если вве­сти полные потенциалы для об­ласти V соотношениями

D'[w]^4D{w, р)dV, R'lh] = $R(h, ?)dV, (111.14)

V

То для них будут справедливы все утверждения, приведенные в § 2,гл. II. Используя это обстоя­тельство, удается показать един­ственность поля скоростей и (при отсутствии предельного градиен­та давления) поля напоров в за­дачах с обычными краевыми
условиями и доказать принцип максимума в несколько измененной форме: напор принимает свои максимальное и ми­нимальное значения на границе области течения. Здесь под областью течения понимается та часть V+ рассматрива­емой области V, в которой до>0, включая границу (т. е. замыка­ние V+ области Если предельный градиент давления отсутст­вует, то V+=V, и это соответствует обычной формулировке прин­ципа максимума, при предельном градиенте, не равном нулю, различие формулировок существенно (см. пример, с. 148).

Наибольший интерес, как и в линейном случае, представляют оценки для расхода фильтрационного потока через обобщенную трубку тока. Пусть На — заданный перепад напора на трубке то­ка, Q — отвечающий ей расход. Функции

Q = S(H0), Но = Z(Q) (III. 15)

Назовем расходными характеристиками трубки тока. На решениях задачи функционалы D* и R' превращаются в функции одного аргумента, в качестве которого мы будем брать, соответственно, Q и Но. Имеем следующие основные формулы: dD' И о dR<[H] dQ - Щ--Ч' (Ш-16)

D-(Q) + R'(Ho) = QHO. (III. 17)

Назовем

Q = Ho'R*(Ho)-, Ho = Q~'D'(Q) (III.18)

Сглаженным расходом и сглаженным напором соответственно.

Из сказанного следует, что для сглаженного напора при фик­сированном расходе и для сглаженного расхода при фиксирован­ном напоре справедливы все утверждения § 2, гл. II. Для степен­ного закона фильтрации удается получить оценки непосредственно для расхода и перепада давления.

Действительно, в этом случае

Ф (w, р) = Рw\ W (h, р) = (Л/р)'/5,

S+1

D[w) = T^rw'+\ Ям = г+Т(Л/Р) ' • (ШЛ9)

Тогда, если w и Н — решение, то с учетом (III.16) имеем

SD (w) = R (h); D'[w] = s-lR-[H] = (\ +s)~xQH0, (II1.20)

Откуда

Q = (s+ l)s-'Q; H0 l)H0. (111.21)

Таким образом, поскольку при степенном законе фильтрации расход и напор пропорциональны соответственно сглаженным расходу и напору, для них верны все утверждения § 2, гл. II.

Для произвольного закона фильтрации справедливы следу­ющие утверждения [17].

A. Принцип вдавливания. При вдавливании внутрь области фильтрации входной поверхности расход и скорости фильтрации во всех точках выходной поверхности не уменьшают­ся (при фиксированном перепаде напора).

Для двумерного случая доказано двойственное утверждение: при вдавливании внутрь области непроницаемых границ трубки тока расход не увеличивается.

B. Если для данного закона фильтрации Ф(пу, р), р(х, г/, z) справедливы неравенства

= < ф (w, р) или Ф (w, р) < (II 1.22)

(р(- >0, Si > 0 — постоянные), то для соответствующих расходов Qi>Q> Q2-

C. Если

K

Ф(ш, р) > £ hpiWi, h = const, (111.23)

»=i

То при фиксированном Q

Ho>%hHQl. (III.24)

Здесь Ноі — перепад напора при течении с расходом Q в об­ласти той же формы при степенном законе фильтрации вида

Ф (w, р) = РiW4.

D. Если

¥ (h, р) < £ 7<рГ1А'Л, Ті > 0, (111.25)

£=1

То при фиксированном Н0

Q>ST'Q'. ("1-26)

I=i

Здесь Qi — расход фильтрационного потока через данную об­ласть при том же перепаде напора Н0 для закона фильтрации вида Ф = piWH.

Ниже приведены примеры использования этих общих утверж­дений.

Плоская задача. Рассмотрим плоскую задачу теории фильтрации при нелинейном законе сопротивления в однородной и изотропной среде. Введем обычным образом функцию тока •ф (х, у), после чего система уравнений, описывающих движение, может быть представлена в виде

Я, * = — Ф (w) u/w, ф, * = — v,

Н, у = — Ф (а») v/w, ([».„ = «, (II 1.27)

U = O>COS0, f = ш sin 6.

Здесь w — модуль скорости фильтрации; 0 — угол, составляе­мый ею с положительным направлением оси х. Система уравне-
ний плоской задачи (III.27) превращается в линейную если за неизвестные величины взять і|з и Н, а за независимые переменные w и 8. Это линеаризующее преобразование годографа было с успехом использовано в газовой динамике С. А. Чаплыгиным. Возможность его применения в теории фильтрации следует из установленной С. А. Христиановичем [43] аналогии между урав­нениями фильтрации при нелинейном законе сопротивления и газовой динамики.

После несложных выкладок получим

Дн Ф2 дф. дН Ф дф

(II 1.28)

Да w<S>'(w) ди>' dw дв'

Dy — '^dH + ^d*.

Соотношения (III.29) позеоляют, найдя решение системы (111.28), определить х и у как функции w и 6. Тем самым установлена связь между координатами х и у и напором Н и функцией тока ф, Еыраженная через параметры шиб.

Основная система уравнений (III.28) — однородная линейная система эллиптического типа, которую при желании можно свести к одному уравнению для напора или функции тока:

+ = (ІІІ. ЗО)

Dw \шФ(w) dwj w db

R(if)+W'VW) ~~y — 0- (III.31)

Ды>\Ф dwI 1 ф2(ш) a02 v '

Эффективность решения конкретной задачи зависит от того, какая именно краевая задача для уравнений (ІІІ. ЗО) — (III.31) должна быть решена на плоскости годографа (w, 0). Характер этой краевой задачи определяется, в основном, геометрией области движения в физической плоскости {х, у). В тех случаях, когда область движения — многоугольник, стороны которого либо непро­ницаемые границы, либо линии постоянного напора, на всех них направление скорости фильтрации постоянно на каждом участке и задано заранее (соответственно, вдоль границы или перпенди­кулярно к ней), так что граница области в плоскости годографа состоит из отрезков линий 6= const. Если в области движения имеются источники или стоки, то в плоскости (w, 0) им отвечает бесконечно удаленная точка ш-»-оо, 0<9<2я. При отличном от нуля предельном градиенте давления в области фильтрации мо­гут образоваться зоны, в которых скорость фильтрации равна нулю («застойные зоны») и область течения оказывается областью с неизвестной границей (рис. 22), Поскольку на границе застойной зоны скорость фильтрации w обращается в нуль, этой неизвестной границе в плоскости годографа соответствует отрезок линии w = 0

(под углом 0 при этом естественно понимать направление не обращающегося в нуль вектора градиента напора VН; оно совпадает с направлением касательной к границе застойной зоны). Таким образом, в задачах фильтрации с предельным градиентом преобра­зование годографа не только позволяет преобразовать нелиней­ную задачу в линейную, но и область с неизвестной границей за­стойной зоны переводит в известную область плоскости годографа.

Во всех случаях показанная на рис. 22 область в плоскости годографа отвечает элементу симметрии области течения; соот­ветствие точек показано буквами, а граничные условия задачи в плоскости годографа указаны на рисунках. Заметим, что при анализе течений с предельным градиентом удобно считать, в от­личие от общепринятого, w и 0 декартовыми (а не полярными) координатами в плоскости годографа. Вызвано это тем, что асимп­тотика решения вблизи линии w = 0 нетривиальным образом свя-

З-ана со структурой течения и ее можно задавать по-разному.

После сведения задачи при помощи преобразования годографа к линейной эллиптической задаче в известной области решение ее оказывается делом математической техники, хотя порой и достаточно сложной. Отсылая интересующихся этой, сейчас уже достаточно разработанной, стороной дела к книге [9], рассмотрим некоторые простые решения.

Как обычно в гидродинамике, для качественного анализа принципиальное значение имеет исследование асимптотики реше­ния вблизи особых точек потока. Такими точками являются, преж­де всего, окрестности источников и стоков (скважин), где ско­рость потока обращается в бесконечность, окрестность бесконечно удаленной точки, в которой скорость стремится к нулю, окрест­ность критической точки потока (при фильтрации с предельным градиентом давления — застойной зоны), где скорость потока обращается в нуль, и окрестность угловых точек границы потока.

Рассмотрим течение вблизи скважины. Окружим ее линией Г2, на которой модуль скорости имеет некоторое постоянное значение w =2 и которая целиком расположена внутри области движения. На плоскости годографа области внутри этой линии отвечает полуполоса П2:

2 < w < со, О < 8 < 2r, (III.32)

В которой искомое решение задачи для функции тока ф (w, 6) удов­летворяет уравнению (III.30) с условиями

Ф (0) = 0, ф(2*) = q, ф(2, 9) = /(9), /(0) = 0, f(2n) = q, (111.33)

Ф (оо, 0) < М < ОО.

Здесь q — интенсивность источника; /(9) — неопределенная функ­ция, характеризующая распределение потока вдоль линии Г2. Последнее условие означает, что функция тока вблизи особой точки ограничена и мы имеем дело именно с источником (а не с комби­нацией источника и диполя).

Если считать функцию f (9) известной, решение в области П2 легко получить методом Фурье, поскольку независимо от вида за­кона фильтрации уравнение (II 1.31) не содержит в явном виде угловой переменной 9. Нетрудно убедиться обычными методами, что в данном случае имеем

Ф(до, 9)= £ РпП (w) sin ^ , до >2, (III.34)

Я = 1

Где Рп/2 (до) — убывающее на бесконечности решение обыкновенного линейного дифференциального уравнения

F.2

/2-^ = 0, / = 4- П. (II 1.35)

Рассмотрим широкий класс законов фильтрации со степенной асимптотикой в области больших скоростей

Ф (до) ~ ФооШ* (до —у со), s > 0. (111.36)

Тогда при а/--*- оо уравнение (Ш.35) асимптотически пере­ходит в

[s-W]' — 4~'n2ws-2P =0, (III.37)

Линейно независимые решения которого — степенные функции

Pi.2 = aA2, Г1. 2 = 2-1 [1 - s + Vsn2 + (1 - s)2]. <111.38)

Очевидно, показатели ru 2 вещественны и имеют различные знаки. Таким образом, одно из линейно независимых решений уравнения (II 1.37) можно выбрать убывающим на бесконечности, причем другое оказывается неограниченно возрастающим. Из ска­занного легко заключить (и это можно доказать строго), что условием ограниченности на бесконечности выделяется единствен­ное с точностью до множителя решение уравнения (III.35), которое при w-*-oо убывает как

Wr., г2 = 2—1 {< 1 — s) — [(1 — s)2 + sti2]1'2}. (111.39)

В частности, при линейном возрастании Ф(и>) в области боль­ших скоростей s = 1, гч = — 1/2п, a Pn/2{w) убывает с ростом w как w~i/2n.

Таким образом, при w-+ со

Ф (w, 6) = g - + О (W). (II 1.40)

Тогда из (II 1.28) и (II 1.29) имеем

H = H(w) = ±[ -%-dw, х + iy = гё\ 2% J иг

* —г = -ф=±.. ,1,1.41,

Очевидно, формулы (111.40) и <111.41) описывают плоско-ра­диальное фильтрационное течение вблизи источника. Течение обладает осевой симметрией; распределения скоростей фильтрации и функции тока не зависят от вида закона фильтрации, линии тока — радиусы, исходящие из источника; скорость убывает обратно пропорционально расстоянию от источника, линии постоян­ного напора—концентрические окружности с центром в источнике.

Тем самым показано, что при любом законе фильтрации Ф(ш) и любой геометрии пласта течение в промежуточно-асимптотиче­ской области р<Сг<С/?, где р — радиус скважины; R — внешний масштаб пластовой системы (например, расстояние между сква­жинами или расстояние от скважины до границы пласта) — прос­тейшее плоско-радиальное течение. Используя (111.41), легко находим формулу, связывающую расход фильтрационного потока с перепадом напора #i—Н2 между двумя концентрическими ли­ниями постоянного напора:

«ч

= 5^7- (IH.42)

Ш,

Я2 = £шг; + /.(г2.

.1-S

(II 1.44)

Если Г\ С Г2, последнюю формулу мож­но упростить, положив

S< 1.

2w,

2 / 1 — S

(III.45)

Таким образом, при подсчете дебита плоского фильтрацион­ного потока со степенным законом фильтрации можно рассматри­вать задачи с контуром питания, унесенным в бесконечность при s>l или с нулевым радиусом источника (при s<l), что невоз­можно в случае линейного закона фильтрации и закона фильтра­ции с предельным градиентом.

Обратимся теперь к последующим членам разложения (III.34). Все они имеют однотипную структуру произведения

Pi (w) sin /9, (III.46)

Убывающего на бесконечности решения уравнения (III.35) и гар­монической функции угла.

Естественно поставить вопрос о том, какому течению соответ­ствует такое произведение. Поскольку sin /6 обращается в нуль при 6 = 0 и 6 = ц,'1 = 60, часть оси 0л; и прямой, составляющей с нею угол Є0, образуют единую линию тока. Поэтому можно ожи­дать, что решение (III.46) соответствует внешнему обтеканию клина с углом при вершине а0 — я — во. Такая интерпретация справед­лива при I > 1. Более детальный анализ подтверждает это допуще­ние. Вблизи вершины клина скорость фильтрации обращается в бесконечность (это обычный формальный результат, связанный с предположением о бесконечной кривизне линий тока вблизи вер­шины угла). В частности, при 1=1 получаем решение задачи об обтекании непроницаемой полупрямой, т. е. бесконечно тонкого клина (рис. 23). Соответствующее ему уравнение (III.35) прини­мает вид

-^Р = 0.

W

Легко убедиться непосредственной проверкой, что решением этого уравнения, удовлетворяющим условию убывания на беско­нечности, является выражение

Pt(w)= 1/Ф (w). (111.48)

Используя (III.28) и (III.29), найдем, что решение задачи об обтекании фильтрационным потоком непроницаемой полупрямой дается выражениями

Оо

Г—^________ !_ (e2ie —1)

J и2Ф (и) 2Фш ^ >

Решение (II 1.49) обладает рядом примечательных особенностей. Прежде всего заметим, что г — (х2 + У2)1/2 00 при w -> 0 и фикси­рованном 8, так что течением охвачена вся плоскость независимо от вида закона фильтрации.

В то же время при наличии предельного градиента давления Ф (0) = X > О при w -> 0 функция тока ф (w, 0) ограничена значе­нием Q/X и, следовательно, расход фильтрационного потока конечен. Если же X = 0, то, так же, как и в соответствующей задаче ли­нейной фильтрации, расход потока бесконечен. Другая интересная особенность найденного решения обнаруживается, если рассматри­вать плоскость хОу как вертикальную и вычислить изменение величины у вдоль линий тока ф = const. Согласно (III.29) и (II 1.49) имеем

Dy+s^dH = dy—$dH = 0,

Так что вдоль линий тока

У — (ф/<?)Я = const. (111.50)

Если взять ту линию тока, на которой if) = Q, то на ней будет постоянна величина Н — у. Заметим теперь, что если плоскость хОу — вертикальная с осью Оу, направленной вверх, то разность Н — у будет пропорциональна гидростатическому давлению. Сле­довательно, найденное решение отвечает течению в вертикальной плоскости, для которого на одной из линий тока давление остается постоянным. Тогда, рассматривая лишь верхнюю полуплоскость у> 0, можно взять эту линию тока за свободную поверхность и по­лучить точное решение задачи безнапорной фильтрации при не­линейном законе сопротивления. Это решение, найденное Энгелун - дом, является обобщением классического решения Н. Е. Жуков­ского о безнапорном притоке к дренажной щели, расположенной на водоупоре.

Рассмотрим асимптотику решений в области малых скоростей. Если в области фильтрации имеется точка (критическая точка) или застойная зона, в которой скорость фильтрации обращается в нуль, то эту критическую точку можно окружить замкнутой ли­нией Гш, на которой модуль скорости фильтрации принимает по­стоянное значение (О и внутри которой нет других особых точек потока. Область £>« между линией Гт и критической точкой (за­стойной зоной) на плоскости годографа отображается в полосу

Дш : 0 < w < со, причем удобно считать ее бесконечной по в : — оо< < 0 < со, поскольку при каждом обходе вокруг критической точки угол 8 получает приращение 2тгN. Целое число N назовем крат­ностью критической точки (застойной зоны). На границе застойной зоны (в критической точке) функция тока принимает постоянное значение, которое можно принять за нуль. Таким образом, задача сводится к тому, чтобы в полосе Дш найти решение уравнения (111.30), обращающееся в нуль при w = 0, и периодическое по 0 с периодом 2kN. Это решение имеет вид

Ф (w, 6) = £ Pn/N (w) Га, Sin f+Bn cos ^ . n= і L

Здесь P7(w), обращающееся в нуль при w=0, —решение уравне­ния (111.35) с l = n/N-, Ап и Вп — постоянные.

Соответствующие формулы для напора и координат имеют вид

" = КЙЦ*. » Ж -«.»<■?] + »ns., (ш

П= 1

Dz = е" [—Ф-ЧН + iw-Щ).

Из выражений (III.52) следует, что вид прообраза линии w — 0, — оо < 0 < со на физической плоскости вполне определяется асимп­тотикой решений РТ (w) при w -> 0.

Действительно, на границе застойной зоны имеем

Dz = dx + idy = е« f = - е« Hm ( Щ rffl = = - e" S I - (SSL stag + 5„cos (111.53)

(III.51)

Л=І»,оГН dw )\ N " N,

Из анализа решений PT (w) несложно установить, что при l> 1 существует конечный предел

Ф dPJ~(w)

Xi = Hm

Ш-►О

Для любого вида закона фильтрации. При этом xi= 0, если Ф (0) = 0 и xi ^ если Ф(0) = Х=£0, а если /< 1, конечный предел суще­ствует при фильтрации с предельным градиентом, для степенного же (или асимптотически степенного) закона фильтрации указан­ный предел равен бесконечности. Таким образом, можно сделать важный вывод о том, что в отсутствие предельного градиента дав­ления в потоке могут существовать лишь изолированные критиче­ские точки, находящиеся в конечной части плоскости, если все %і=0{1 >1), или в бесконечно удаленной точке, если найдется такое п, для которого I =n/N= 1. Иными словами, топологическая структура фильтрационного потока при отсутствии предельного градиента остается такой же, как и при линейном законе фильт­рации.

Если же имеет место фильтрация с предельным градиентом (Ф(0)=Х>0), то не существует изолированных критических то­чек потока; вместо них образуются области неподвижной жид­кости (застойные зоны), остающиеся в конечной части плоскости или уходящие в бесконечность.

Особенно сложной оказывается структура потока при фильт­рации с предельным градиентом в окрестности бесконечно удален­ной точки. Если предельного градиента нет, то из требования огра­ниченности функции тока на бесконечности следует, что либо там расположена критическая точка, либо сток (источник) и линии тока стремятся к радиально расходящимся лучам (6=const).

При фильтрации с предельным градиентом можно получить сколько угодно решений с ограниченной на бесконечности функ­цией тока; они отличаются расположением уходящих на бесконеч­ность застойных зон. Такая неединственность решений задач фильтрации с предельным градиентом в неограниченных областях не указывает на их дефектность, а отражает специфическое свойство «дальнодействия»: если мы вносим в поток препятствие, а затем «уносим» его в бесконечность, то «память» об этом пре­пятствии не исчезает полностью, как при линейной фильтрации, а остается в виде уходящей на бесконечность застойной зоны. Так, на рис. 24 показаны три различные структуры течения, создавае­мого уединенным источником в бесконечной плоскости, получаемые предельным переходом из трех различных течений — осесим - метричного притока к центральной скважине в круговом пласте (а), притока к центральной скважине в пласте, имеющем в плане форму квадрата (б), а также притока к скважине вблизи непро­ницаемой прямолинейной границы (в). Предельный переход к

Течению в неограниченном пласте осуществляется увеличением линейного размера L до бесконечности.

Предельное равновесие. Особенность, принципиально отличающая фильтрацию с предельным градиентом, заключается в отсутствии движения жидкости при непостоянстве распределения давления по пласту, если только градиент давления не превосхо­дит по модулю предельное значение G. В том случае, когда в каж­дой точке пласта |Vp| = G, распределение давления называется предельно равновесным. Слово «предельный» означает, что даже малое изменение давления может привести к началу движения. Если на некоторой линии (в пространственном случае — поверх­ности) С, ограничивающей область D, задано давление, то найти предельно равновесное распределение давления в D можно, решая уравнение

|Ap|=G, MЈD, (III.55)

При граничных условиях р = /(х, у, z), М ЈdD = С. Это уравнение имеет многочисленные аналоги в других областях физики. Напри­мер, уравнение эйконала в геометрической оптике, имеющее вид (III.55), если поверхности постоянного давления считать волновы­ми поверхностями. Нормали к этим поверхностям — линии направ­ления градиента давления — оказываются при этом прямыми, а се­мейство поверхностей постоянного давления — семейством поверх­ностей, находящихся друг от друга на фиксированном расстоянии (эквидистантных).

Рассматриваемая задача в двумерном варианте имеет и дру­гой весьма наглядный аналог. Если функция р (х, у) — решение этой задачи, то она в некотором масштабе описывает форму по­верхности сыпучей среды («песка»), если на контуре С задана
толщина слоя песка. Нетрудно сообразить, что предельно равно­весные распределения давления могут не удовлетворять принципу максимума, если не сделать оговорок (см. п. 1).

Пусть на плоскости заданы эксцентричные окружность радиуса R и расположенная внутри нее окружность радиуса р («контур питания» и «скважина»), на которых заданы давления Р{ и Р2 со­ответственно. Построим на каждой из ннх конические поверхности «воронкой» вверх и вниз с наклоном образующих G

Pt~ = Я, ±G[R2-(x2+y*)]U2,

РІ = Pi ± G [(* - 8)2 + y2- p2]1/2 (111.56)

И положим

P+ (*> у) = max (pf, pi),

P~(x, y) = min (pt, pi). (111.57)

Нетрудно понять, что функциям р+ и р- соответствуют два предельно равновесных решения задачи (III.55)—верхнее и нижнее.

Это показывает, что предельно равновесные состояния опреде­лены не единственным образом; существенно уметь находить именно те предельно равновесные или просто равновесные состоя­ния, которые реально достижимы в ходе некоторого нестационар­ного процесса.

Приведем некоторые результаты расчета основных элементов течения при фильтрации с предельным градиентом.

На рис. 25 показана зависимость относительной площади за­стойных зон, образующихся внутри кольцевой батареи п равно - дебитных скважин, от относительной интен­сивности потока, а на рис. 26 — индикатор­ные кривые скважины в центре кругового контура питания радиуса R.

Во всех случаях расчеты проведены для относительного радиуса скважины р/R = Ю-3.

Влияние предельного градиента давления сказывается не только в образовании застой­ных зон, но и в общем усилении неравномер­ности потока, проявляющемся в концентра­ции основного потока внутри относительно узкой струи. Количественно эту особенность иллюстрирует рис. 27.

Основные проявления «псевдопластиче­ской» нелинейности типа фильтрации с пре­дельным градиентом давления — увеличение перепадов давления и усиление присущей по­току неравномерности, вплоть до образования застойных зон. Эффекты эти становятся осо­бенно значительными, когда мала интенсив­
ность потока (q/lL< 1). Как показано ниже, эти основные зако­номерности сохраняются и для более сложных течений, в том числе и в задачах вытеснения нефти водой.

Задача 1. Используя соотношения (III.23) — (III.24), показать, что для обобщенной трубки тока любой формы перепад давления при фильтрации с пре­дельным градиентом удовлетворяет неравенству

BpD + L^G = bpD + bpQ, (III.58)

Гд? Дод—перепад давления, рассчитанный при G — 0; L —минимальное рас­стояние между «входом» и «выходом» трубки тока; Др0 — пороговый перепад дав­ления, при котором начинается движение.

Задача 2. Построить отображение на плоскость годографа скорости фильт­рации элемента симметрии течения, создаваемого кольцевой батареей п равно - дебитных стоков интенсивности q и центрального источника интенсивности Q = nq. Как при такой геометрии течения будет располагаться застойная зона в случае фильтрации с предельным градиентом?

Задача 3. Показать, что для уравнения закона фильтрации вида

Ф (w) = (w2 + Х2)1/2 (III.59)

Функция ф может быть выражена через гармоническую вспомогательную

Функцию. (Этот результат впервые получен С. В. Панько.)

Задача 4. Показать, что при произвольном законе фильтрации уравнение (III.30) допускает частное решение вида

W

Ф (w, 0) = Pf и sin6, Р~ (w) = [Ф (ш)]-1 J оФ'(о) dv. (III.60)

О

Указать гидродинамический смысл полученного решения; проанализировать его структуру для степенного закона фильтрации и для фильтрации с предельным градиентом.

Зад а чл Показать, что при нелинейной безнапорной фильтрации образом свободной поверхности на плоскости годографа служит кривая [43]

—Ф(ш) + С sin 0 = 0, C=kpg/f>.. (111.61)

Задача 6. Используя формулу (II 1.42), получить связь между дебитом и перепадом давления для притока к скважине при двучленном законе фильтрации — см. формулу (1.13).