ДВИЖЕНИЕ ЖИДКОСТЕИ И ГАЗОВ В ПРИРОДНЫХ ПЛАСТАХ
Простейшие установившиеся напорные течения
Установившиеся течения несжимаемой жидкости, подчиняющиеся закону Дарси,— простейший класс движения в пористой среде. В то же время исследование этого класса движений чрезвычайно важно как для теории, так и для практики.
Различают напорное и безнапорное течения. В первом случае давление во всех точках выше атмосферного, пласт полностью насыщен жидкостью и поток в нем ограничен расположенными сверху и снизу непроницаемыми поверхностями — кровлей - и подошвой. В случае безнапорного течения верхней границей потока или ее частью является свободная поверхность, давление на которой постоянно и равно атмосферному.
Установившаяся фильтрация несжимаемой (р = const) жидкости в однородной пористой среде описывается системой уравнений закона Дарси и неразрывности (1.5) и (1.16), которые в данном случае имеют вид
И = — (feV)grad(p-f pgz), (II. 1)
Divtt = 0. (II.2)
Если ввести потенциал потока <? = (kip) (р + pgz), система (II.1)— (II.2) сводится к уравнению Лапласа для? и связи между и и <р:
V2? = 0, и = —grad <р. (II .3)
Кратко рассмотрим вопрос о граничных условиях для уравнения (II.3). В задачах фильтрации жидкости в природных пластах встречаются три основных типа этих условий.
1. Условие на непроницаемых границах — для всех точек М траницы Г
Ип —0 или д<?/дп = 0. (11.4)
Здесь df/dn — производная по нормали к границе Г.
Непроницаемыми границами являются кровля и подошва, т. е. поверхности, отделяющие проницаемые пласты от вмещающих их непроницаемых пород (водоупоров), чаще всего глин или каменной соли. Существуют также и непроницаемые границы, секущие пласт вертикально или наклонно: изолирующие тектонические нарушения или поверхности выклинивания пластов.
2. Условие заданного постоянного напора. Пример его — условия на стенке скважины (поскольку предполагается, что скважина полностью заполнена жидкостью):
9 = <Рс = const; г = гс. (П.5)
В ряде случаев оказывается более удобным задавать на скважине значение расхода, что (ввиду малости радиуса скважины гс) эквивалентно заданию постоянной по периметру скважины нормальной составляющей скорости фильтрации жидкости через стенку скважины.
Реальные скважины не представляют собой идеальной цилиндрической поверхности, пересекающей пласт по всей его толщине. Часто вскрывается лишь часть толщины пласта (в этом случае скважины называются несовершенными по степени вскрытия). При этом граничные условия следует задавать на некотором фиктивном контуре, радиус которого (приведенный радиус) может быть значительно меньше истинного радиуса скважины.
Если скважина обсажена стальной или пластмассовой трубой, открытой для потока лишь в ряде перфорационных отверстий, то она называется несовершенной по характеру вскрытия. Для задания граничных условий на контуре такой скважины также приходится рассматривать условную скважину с приведенным радиусом, меньшим истинного. Наоборот, если вскрывается пласт, подвергшийся гидравлическому разрыву, то приведенный радиус становится большим истинного.
Иногда условие постоянного напора задается на так называемых дренажных галереях, т. е. поверхностях, перпендикулярных к направлению напластования, через которые жидкость отбирается из пласта или закачивается в него. Понятие дренажной галереи заимствовано из гидротехнических задач фильтрации. Применительно к напорному течению воды, нефти и газа в природных пластах дренажная галерея является условной схематизацией ряда (цепочки) скважин, обычно расположенных на одинаковом расстоянии друг от друга по прямому, круговому или иному контуру. Некоторые соображения относительно возможности такой схематизации будут приведены ниже. Кроме дренажных галерей поверхностями постоянного напора моделируются в задачах фильтрации трещины, заполненные жидкостью.
Граничные условия постоянства напора ставятся и на контурах питания. Под контуром питания обычно понимается внешняя граница области фильтрации, через которую проникает жидкость. На этом контуре давление можно считать неизменным. С известным приближением понятие контура питания применимо к случаю, когда пласт имеет выход в какой-либо водоем — водохранилище, реку, море. Для нефтеносных пластов в качестве контура питания часто принимается граница внешней водоносной зоны с нефтеносной — водонефтяной контакт. Такая схематизация обоснована в случае, если проводимость водоносной зоны много больше, чем нефтяной. В качестве контура питания в стационарном течении может также быть принята произвольная эквипотенциальная поверхность. Обычно положение контура питания по геологическим данным известно лишь грубо приближенно. Однако из дальнейшего будет видно, что для области со скважинами даже значительные ошибки в определении положения контура питания несущественно влияют на величину притока.
Условие третьего рода — связь давления на границе с нормальной составляющей градиента давления. Пусть, например, два высокопроницаемых пласта разделены слоем очень низкой проницаемости, и пусть при этом перепады давлений в проницаемых пластах по обе стороны границы и вдоль пласта одного порядка. Тогда, как нетрудно убедиться, составляющая скорости течения в проницаемых пластах вдоль напластования много больше поперечной составляющей. В малопроницаемом слое, наоборот, скорость будет направлена практически по нормали к границе, так как продольная составляющая градиента давления много меньше поперечной. Если давления в пластах по обе стороны границы равны рі и р2, то скорость перетока жидкости из первого пласта во второй приближенно составит
W =(k*lpb)(pi—p2), (II.6)
Где k* — проницаемость прослоя; 5 — его толщина. Поскольку значение w равно нормальной составляющей скорости фильтрации во втором пласте, то можно записать
(k*/b) (Pi — р2) = —k2dp2/dn. (11.7)
Если давление в первом пласте меняется мало, то во втором на малопроницаемой границе получаем условие третьего рода:
Ар2 + Ьдр21дп = с, а2 + Ь2> 0, Ыа> О, (II.8)
Где a, b и с — постоянные.
Простейшим из фильтрационных течений является плоскопараллельный прямолинейный поток между двумя галереями с постоянным напором на каждой из них. Пусть течение направлено вдоль оси х, составляющей угол а к горизонту.
В этом случае потенциал 9 и давление распределены по пласту линейно; при л; =0 (верхняя галерея) р = р\, при x—L (нижняя галерея) р = р2. Тогда легко получить
(р\ — p)l(pi — Р2) = x/L; <р = (kl|х) [pi — (pi — р2) (x/L) + pg sin a],
(II.9)
И = —dfldx = (kl)x) [(p\ —p2)IL — pgr sin a], (11.10)
Соотношение (11.10) —интегральная форма записи закона Дарси. Оно используется в большинстве методов лабораторного измерения проницаемости.
Среди одномерных фильтрационных движений жидкости представляет интерес течение, происходящее в вертикальном направлении под действием одной лишь силы тяжести, оно описывается следующим ИЗ (11.10) соотношением = Р2, а =
U = —kpg/р.. (И. 11)
Заметим, что в этом случае давление постоянно во всех точках потока.
Для широкого круга задач фильтрации в водоносных и нефтеносных пластах можно использовать двумерное приближение. Пусть кровля и подошва пласта горизонтальны, а скважины и контуры питания можно считать вертикальными поверхностями постоянного напора. Тогда, очевидно, напор во всех точках пласта не будет зависеть от вертикальной координаты, а направление потока будет горизонтальным. Эти условия сохраняются и для пласта, состоящего из ряда горизонтальных слоев разной проницаемости (но не зависящей от координат в горизонтальной плоскости). При этом напор во всех слоях вдоль вертикальной координаты будет одинаковым и, хотя горизонтальные составляющие скорости различны по слоям, вертикальные равны нулю. В этом случае движение с осредненной по толщине скоростью потока точно описывается двумерными уравнениями фильтрации. Как двумерное может рассматриваться и течение в наклонных пластах малой толщины.
В плоском стационарном потоке компоненты скорости и <р удовлетворяют системе уравнений закона Дарси и неразрывности:
И = —df/dx, v = —df/dy, ди/дх + dv/dy =0. (11.12)
Из последнего уравнения следует, что существует функция тока ф (х, у), такая, что
И = д<!?/ду, i> = —дф/дл:. (11.13)
Функции «риф удовлетворяют соотношениям Коши — Римана —ду/дх = д^/ду, д<р/ду = ду/дх. (11.14)
Это означает, что комплексный потенциал W = ср + іф является аналитической функцией комплексной переменной z = х + iy. Производная dWldz (комплексная скорость)
DW/dz — и — iv. (11.15)
Введение комплексного потенциала позволяет решать большое число плоских задач теории фильтрации методами, основанными на теории функций комплексного переменного. Детальное изложение соответствующих методов можно найти в книгах [33, 34]. Напомним простейшие примеры, иллюстрирующие характерные черты плоских установившихся фильтрационных течений в пластах. Некоторые более общие свойства фильтрационных течений будут рассмотрены в следующем параграфе.
Комплексный потенциал плоскопараллельного прямолинейного течения с постоянной скоростью описывается формулой
W = az + b, где а и b — постоянные. Для другого варианта однот мерного течения — радиального притока к источнику в начале координат выражение для комплексного потенциала имеет вид
W (г) = A lnz + B. (11.16)
Радиальная скорость иг = —г = Аг~А. При этом полный расход через скважину на единицу толщины не зависит от г и равен ur-2Tzr = q. Тогда
А = —<7 (2г)-1, W = —(2т:)-1 q In z + В. (11.17)
При радиальном потоке от кругового контура питания (г = RK) с потенциалом срк к концентричной с ним скважине радиуса г с потенциалом срс формула для вычисления дебита (расхода) скважины (формула Дюпюи) имеет вид
Q = qh = 2тМ (<рк — <гс)/1п (RJrc) = 2«kh(pK — pe)/p\n(RJre). (11.18)
Радиус скважины всегда намного меньше радиуса контура питания и расстояния между скважинами. Поэтому при распределении давления по логарифмическому закону основная часть перепада давления между контуром питания и скважиной расходуется в узкой зоне вблизи скважины. Например, при RK = 100 м, гс = 0,1 м одна треть перепада расходуется в зоне радиусом 1 м и половина — в зоне радиусом 3 м. Отсюда следует особое значение проводимости призабойной зоны для притока жидкости к скважине.
Рассмотрим в связи с этим приток к скважине, вокруг которой имеется кольцевая зона радиуса г о с проницаемостью k0, отличной от проницаемости внешней зоны пласта В каждой из зон поток радиальный. В этом случае справедливо выражение для потенциала (11.16). Используя условие равенства расходов и давлений на границе зон разной проницаемости, нетрудно получить следующие формулы для притока к скважине:
Q = 2nk\ (рк — /?с)/р. [In (RK/r0) + (ki/ko) In (го/тC)J =
= (Рк-рс)/р. In (RJr'c). (11.19)
Здесь гс — приведенный радиус скважины,
Rl = Гс (гс/г0?-\ 7 = ki/k0.
В процессе бурения и эксплуатации скважины в результате присутствия в буровом растворе различных взвешенных частиц или твердых компонентов нефти проницаемость прискважинной зоны пласта часто оказывается пониженной. Поэтому, как видно из формулы (11.19), приведенный радиус скважины может оказаться на несколько порядков ниже истинного. Дебит скважины при одном и том же перепаде существенно снижается вследствие загрязнения призабойной зоны. Например, при десятикратном снижении проницаемости в зоне радиусом 0,5 м и радиусе скваг жины 0,1 м дебит снижается в 3 раза, а в зоне радиусом 0,2 м (т. е. толщиной всего в 0,1 м) — на 40 °/о-
Отсюда вытекают два важных практических следствия. Во-первых, необходимо тщательно очищать призабойную зону с целью сохранения естественного дебита скважины. Во-вторых, пользуясь формулой Дюпюи для расчета дебитов скважин и для определения параметров пласта по зависимости дебит — перепад давления, необходимо помнить об условности используемого в ней радиуса скважины. В то же время вследствие быстрого падения градиента давления при |z|-»-oo даже заметная ошибка в определении радиуса контура питания ведет к не очень значительной ошибке в значении дебита.
Один из наиболее распространенных способов образования трещин в прискважинной зоне, применяемый для увеличения продуктивности скважин,— гидравлический разрыв пласта. Рассмотрим задачу о притоке жидкости к скважине с вертикальной трещиной. Предположим, что радиус трещины а намного больше радиуса скважины и что раскрытие трещины достаточно велико, чтобы давление в ней можно было считать равномерно распределенным. Искомый комплексный потенциал можно определить, отображая внешность отрезка оси х [—а, +а] на внешность единичного круга на плоскости Это отображение дается функцией Жуковского ______
Z = 2~1а (С + 1/С); С = a-1 (z + (11.20)
Тогда
W 1С (z)] = — (2*)-1 q In С = — (2тг)-і^ In [a-1 (z + Vz2 ~ a2)]. (11.21)
При I z I > a справедливо асимптотическое представление
W^ — (27t)-,<?[ln(2z/a) — a2/4z2 + . . .]. (11.22)
Таким образом, с хорошим приближением окружности радиуса R > а можно считать эквипотенциалями и рассматривать как условные контуры питания (точное решение задачи о притоке к вертикальной трещине с круговым контуром питания громоздко и практически не нужно). Из формул (11.21) и (11.22) можно получить следующее выражение для притока:
Q = 2-k(pK — pc)l[>.\n(2Wa), (11.23)
Т. е. в этом случае приведенный радиус скважины равен четверти длины трещин. Это указывает на высокую эффективность гидравлической разрыва пласта как средства интенсификации притока к скважине.
Линейность уравнений фильтрации позволяет широко применять при их решении принцип суперпозиции. Поскольку радиус г с мал по сравнению с расстоянием между скважинами, комплексный потенциал системы п скважин с центрами в точках г,- с дебитами qi выражается суммой потенциалов отдельных скважин, рассматриваемых как изолированные источники:
W = -(2*)-' £ qi In (z ~zd. (11.24)
;=i
При этом на контуре каждой скважины сумма потенциалов остальных скважин практически постоянна, так как rc<^\zt — Zj |.
Принцип суперпозиции позволяет решить большое число задач фильтрации в пластах с системой скважин. Например, нетрудно показать, что комплексный потенциал системы двух равнодебитных скважин, расположенных в точках х= +1, у = О,
LF(z) = —(2«)-Vln(z2— 1) (11.25)
Описывает также приток к одиночной скважине, расположенной в точке с координатами х— 1, у = 0 вблизи непроницаемой границы (х = 0). Точно так же комплексный потенциал
W(z) = - (2*)->? In l(z - 1 )/(z + 1)] (11.26)
Соответствует не только течению между нагнетательной и добывающей скважинами равного дебита в тех же точках, ной притоку к скважине в точке с координатами х=\, у=0 от прямолинейного контура питания на прямой при х = 0.
Используя принцип суперпозиции, можно решить задачу о притоке к скважине, эксцентрично расположенной по отношению к круговому контуру питания. Пусть расстояние от центра кругового контура до скважины равно х{, радиус контура питания RK, радиус скважины гс. Тогда
W = -(2r.)-lqln[(z — xl)/(z — Rl/xl)]. (II.27)
Отделяя действительную часть, получим на контуре питания и на скважине
<рк = — (2k)-1 q In (хі/RK) + С, срс =- (2it)"1? In [rcXl/(R^-xi)] + С, (11.28)
Откуда нетрудно получить аналог формулы Дюпюи
Q = 2ккірк — р,)!?. In [Як (1 —хІІЯЇЇІгЛ. (11.29)
Это выражение определяет приток к скважине, расположенной в центре кругового контура питания с приведенным радиусом, равным RK(l—x\lR\). Можно убедиться, что эксцентричное расположение скважины мало отражается на дебите даже при значительном эксцентриситете. Например, при = 100 м, х\ = 50 м и гс = = 0,1 м дебит уменьшается всего лишь на 4,1 %. Это означает, что даже значительные ошибки в определении положения контура питания не очень существенно влияют на оценку дебита скважин. И хотя, само представление о контуре питания лишь схематически описывает реальные условия в пласте, задание граничных условий на контуре для расчета дебитов оправдано.
При разработке нефтяных месторождений скважины по площади залежи часто располагаются рядами прямолинейной или круговой формы. При этом вблизи скважин направление течения близко к радикальному, а на расстояниях от них порядка расстояний между скважинами эквипотенциалы почти параллельны рядам скважин. Это позволяет значительно упростить расчет дебитов скважин по заданным перепадам давлений. Для иллюстрации ограничимся одним примером прямолинейной цепочки равнодебит - ных скважин, расположенных вдоль оси Ох на расстоянии I друг от друга. В силу симметрии область течения можно разбить на элементы, имеющие вид полосы, параллельной оси у со скважиной в начале координат. Эти элементы разделяются линиями тока и поэтому изолированы друг от друга.
Комплексный потенциал цепочки источников имеет вид
W (z) = — (2ти)-[3]^ In sin МО. (11.30)
Отделяя действительную часть выражения (11.30), получим
<р = _ (Ь:)-1 q in [ch2 (ку/l) — cos2/W/)] + С, (11.31)
Где С — произвольная постоянная.
При г = Ух2 + у2 < / (вблизи скважины), используя разложения функций ch/ и cos/ в степенные ряды, получим
V (2т:)-1 <7 In (тег//) + О (г2//2) + С. (11.32)
Таким образом, эквипотенциали, как и для изолированного источника, являются окружностями с центром на оси скважины. При и более второй член в квадратных скобках в формуле (11.31) при любых х много меньше первого, что позволяет положить
Qy/2l+(2v=)~1qln2 + C. (11.33)
Пусть контур питания совпадает с прямой у = L > /. С учетом (11.33) можно считать, что условие ср = const на нем выполняется достаточно точно и решение описывается формулой (11.31). Тогда на скважине и на контуре питания имеем соответственно
«Рс------ (2*)~lq In (кгJl) + С; Чк = - qL!2l + (2*)-1 q In 2 + С, (11.34)
Откуда получим формулу для дебита
Q = 2kl (рк — /7с)/[л [L + (IU) In (//2тглс)]. (11.35)
Выражение (11.35) можно интерпретировать как формулу для двустороннего притока к участку галереи шириной /. Если рассматривать (11.35) как условие пропорциональности расхода и перепада давления, то, по Ю. П. Борисову, коэффициент
+ (iW/fcr) In (//2«rc) (11.36)
Можно назвать полным фильтрационным сопротивлением, состоящим из «внешнего» сопротивления pL/k, определяющего приток к галерее, и «внутреннего» сопротивления ^ln^r, добавленного за счет искривления линий тока вблизи скважины.