ДВИЖЕНИЕ ЖИДКОСТЕИ И ГАЗОВ В ПРИРОДНЫХ ПЛАСТАХ

Процессы тепло — и массопереноса в пористой среде

Рассмотрим пористую среду, насыщенную однофазной жидко­стью. Будем считать, что жидкость содержит растворенное веще­ство (примесь), массовую концентрацию которого мы обозначим через с. В то же время допустим что часть примеси а в расчете на
единицу объема среды может содержаться в скелете пористой среды. Поглощение скелетом примеси будем называть сорбцией; понимая под этим адсорбцию (физическую и химическую) примеси на поверхности скелета, растворение (абсорбцию) примеси в мате­риале зерен скелета, а иногда даже механическое удержание при­меси в сужениях поровых каналов (это существенно для полимер­ных растворов). Плотность раствора в соответствии с общими термодинамическими положениями определяется концентрацией, температурой и давлением:

Р = р(с, Т. р). (V. I)

Поэтому в единице объема пористой среды содержится примеси и растворителя, соответственно,

Mc + а, т(р—с). (V.2)

Фильтрационный поток со скоростью фильтрации w переносит как растворитель, так и примесь. Легко убедиться, что для сме­си форма уравнения неразрывности остается неизменной. Чтобы составить баланс растворенного вещества, необходимо рассмот­реть структуру потока примеси через границу выделенного объема. Этот поток состоит из нескольких различных по своей природе со­ставляющих. Одна из них соответствует переносу растворенного вещества общим потоком, характеризуемому плотностью потока массы:

Q1 = cw. (V.3)

Этот поток существует даже при равномерном по объему порис­той среды распределении примеси, если жидкость движется. Если примесь распределена неравномерно, то даже в отсутствие общего потока (w = 0) будет происходить перераспределение ее, обуслов­ленное диффузией. Как известно, диффузия вызывается хаотичес­ким движением на молекулярном уровне; чтобы подчеркнуть это, будем называть ее молекулярной диффузией. Согласно основному закону диффузии (закону Фика), для изотропной среды диффу­зионный поток пропорционален и противоположен по направле­нию градиенту концентрации:

QD = — Z)vc. (V.4)

В пористой среде примесь может, вообще говоря, диффундиро­вать и в твердых зернах, и по поверхности контакта скелета с поровой жидкостью (поверхностная диффузия), так что закон Фика нуждается в уточнении. Эти эффекты несущественны для наших целей. Поэтому в дальнейшем используется выражение для диффузионного потока в форме (V.4) с коэффициентом диффузии D, постоянным и близким к коэффициенту молекулярной диффу­зии в жидкости.

Существенно, что в пористой среде при наличии фильтрации должен существовать, наряду с уже рассмотренными конвективным переносом и молекулярной диффузией, некоторый механизм пере­носа, обычно называемый дисперсией, обусловленный пространст­венными флуктуациями поля скоростей фильтрационного движения (т. е. отклонением локальных значений истинной скорости от среднего значения w) [12].

Для пояснения закономерностей этого механизма напомним, что коэффициент диффузии в газе равен по порядку величины произ­ведению пульсации скорости (имеющей порядок скорости звука са—103 м/с) на длину свободного пробега (X—Ю-9—Ю-10 м), Dm — Сак - Подобно этому пространственные флуктуации поля филь­трационных скоростей вызывают как бы диффузионное перемеши­вание, называемое конвективной диффузиейкоэффициент диффузии для которого по порядку величины должен быть равен произведе­нию флуктуации скорости (имеющей порядок скорости фильтрации w) на масштаб флуктуации /. Если этот масштаб считать равным внут­реннему масштабу пористой среды d, то

D'~wd. (V.5)

При обычных скоростях фильтрации это произведение невели­ко (~10~10 м2/с) и поэтому имеет порядок коэффициента молеку­лярной диффузии для жидкостей. Однако те же соображения при­менимы к перемешиванию, обусловленному флуктуациями ско­рости любого масштаба вплоть до 1 —10 м. Вообще говоря, кон­вективная диффузия происходит тем быстрее, чем сильнее выра­жена неоднородность пласта и чем шире спектр размеров неодно - родностей. Это важное обстоятельство необходимо учитывать при всех оценках роли конвективной диффузии. В тех случаях, когда оценок недостаточно и нужны более точные количественные рас­четы, приходится прибегать к экспериментальному определению коэффициентов конвективной диффузии.

Пространственные флуктуации поля скоростей приводят к до­полнительной дисперсии не только в направлении движения, но и в поперечном направлении. Нет оснований ожидать, даже для изотропной среды, что «поперечная» дисперсия будет происходить с той же скоростью, что и «продольная». Поэтому необходимо вво­дить продольный и поперечный коэффициенты дисперсии

D и = /и w, D± = lLw. (V.6)

Из изложенного следует вывод, подтверждаемый более деталь­ным анализом. Именно в реальных пористых пластах процесс дис­персии доминирующий. Для него справедлив закон Фика, однако этот процесс анизотропен, и коэффициент диффузии растет с рос­том скорости; выражение для потока имеет вид

Q) = —D'ijdc/dxc. (V.7)

Тензор коэффициентов дисперсии (конвективной диффузии) Dij имеет в изотропной среде в качестве одного из главных направ­лений направление скорости фильтрации и в соответствующих глав­ных осях принимает диагональный вид:

Dh = ltw, D22 = D33 = l±w, D'i2 = D'23 = D31 = 0. (V.8)

Коэффициенты /її и І!, имеющие размерность длины, опреде­ляются строением пористой среды и должны определяться для каждого объекта или класса объектов. Накопленный к настоящему времени материал, в основном, подтверждает приведенные сообра­жения, хотя экспериментальная зависимость коэффициента конвек­тивной диффузии от скорости ближе отвечает степенному закону

D'~w\ х=1,1 — 1,2. (V.9)

Можно убедиться, что степенной характер зависимости является следствием наличия у среды спектра масштабов неоднородности.

Запишем окончательно выражение для потока примеси:

Q = cw—Dvc; (V.10)

Qi = cwi — Dijdc/dXj; D„ = DM? Hj + D'ih (V. 11)

Тогда уравнение баланса примеси после обычных преобразова­ний приводится к виду.

Д (тс + a)/di + div q = 0 (V. 12)

Или после подстановки выражения для q

(тс + a), t + V (wc) = v (DS7C). (V. 13)

Даже если поле скоростей w известно и известна зависимость тензора конвективной диффузии D от скорости, из уравнения (V.13) нельзя найти поле концентрации. Дело в том, что еще не задано распределение примеси между жидкой и твердой фазами. Наиболее общее допущение, которое будет использоваться, состоит в том, что скорость межфазного обмена примесью зависит от количества сор­бированной примеси в единице среды а, концентрации примеси в растворе с и скорости фильтрации w:

A, t = 4 (с, a, w). (V.14)

Если сорбция обратима, то существует равновесное значение содержания сорбированной примеси:

А = а. (с, w), 9 (с, а (с, w), w) = 0. (V.15)

Если отклонение от равновесия невелико, то можно записать простейшее уравнение кинетики сорбции в виде

A t = —х-1 (а— а (с, а>)), т = — 1/<р. а (с, а, w) > 0. (V.16)

Этим уравнением и ограничимся, хотя в последующем может оказаться необходимым рассмотрение более сложных кинетических схем. Входящие в уравнение (V.16) функции а (с, w) считаются заданными. Определение их — экспериментальное, или из более детальной теории — особая задача, которая должна составить пред­мет специального рассмотрения.

В тех случаях, когда примесь может образовываться или уни­чтожаться, в правой части уравнений (V.13) и (V.14) должны быть дописаны члены, равные интенсивности генерации примеси, т. е. количеству примеси, образующемуся в единицу времени в единице объема пористой среды, соответственно, в жидкости и в материале скелета.

Путем аналогичных рассуждений можно записать уравнение баланса тепла для пористой среды. При этом, поскольку, как уже известно, время установления теплового равновесия между жид­костью и пористым скелетом мало, температуры их можно счи­тать равными. При этом получим:

(СТ + m? i), , + v (рій) = V (XV Т) + Q. (V.17)

Здесь Т — абсолютная температура; i(p, Т) — удельная энталь­пия жидкости; С — теплоемкость скелета в расчете на единицу объема среды. Тензор теплопроводности X учитывает и обычную (молекулярную) и конвективную теплопроводность, обусловленную, подобно конвективной диффузии, микронеоднородностью поля ско­ростей. Однако поскольку температуропроводность жидкости на несколько порядков выше коэффициента молекулярной диффузии, относительная роль конвективной теплопроводности обычно невелика, и ее можно не учитывать. В этом случае X превращается в обычный коэффициент теплопроводности насыщенной пористой среды.

Интенсивность тепловыделения Q учитывает тепловыделение за счет механической дисслпации, тепловой эффгкт химических реак­ций, тепловой эффгкт адсорбции и другие источники тепла. В за­дачах, рассматриваемых ниже, существенное тепловыделение проис­ходит лишь при внутрипластовом горении; в прочих случаях им можно пренебречь.

Если не происходит фазовых переходов, то di — CpdT, где Ср— теплоемкость жидкости при постоянном давлении можно считать постоянной. Тогда, считая тепловыделение равным нулю, получим из (V.17) уравнение конвективной теплопроводности

D(mpCpT + CT)/dt + v (?СрТи) = v (XvT)- (V.18)

Используя уравнение неразрывности и считая X и С постоян­ными, преобразуем (V.18) к виду

Уравнение (V.19) с формальной точки зрения представляет собой упрощенный вариант уравнений переноса примеси (V.13) — (V.14) и потому может быть исследовано в рамках общей с ними теории. До тех пор, пока поле скоростей фильтрации считается известным, а тепловые и диффузионные процессы не связанными между собой, можно рассматривать гидродинамическую картину, массоперенос и теплоперенос последовательно и независимо друг от друга. Более того, ничего не изменится, если рассматривать произвольное число переносимых потоком примесей различной природы. Гораздо более сложная картина возникает, если существенно влияние примесей друг на друга и на гидродинамику. Рассмотрим пока основные особенности задачи о переносе фильтрационным потоком динами­чески нейтральной (т. е. не оказывающей обратного влияния на по­ток) примеси.

Будем считать, что заданы характерный линейный размер потока L и характерная скорость U. Тогда, вводя безразмерные координа­ты и время т,

Іi, = Xi/L, т = tU/L, (V.20)

Получим из (V.13) (V.14):

Д(тс + а) дс D д2с да L. .

—— + дТГ и^ = с' "У' Wi = UilU - (v-21 >

По сделанным оценкам при наличии макроскопического филь­трационного потока D — UI, так что D/UL — 1/L. Эта оценка пока­зывает, что для переноса примеси в пористой среде число Шмидта (часто называемое также диффузионным числом Пекле PeD) Sh = = UL/D, характеризующее относительную роль конвекции и диф­фузии, имеет порядок отношения L/1 линейного размера потока к внутреннему масштабу пористой среды I и потому обычно много больше единицы.

Рассмотрим для уравнения (V.21) внешнее приближение, отве­чающее по предыдущему (см. гл. IV) исследованию процесса в мас­штабах всего пласта, т. е. перейдем в системе (V.21) формально к пределу L оо. Тогда получим

{тс + a), t + wic. il = 0, ср (а, с, w) = 0, а = а (с, w). (V.22)

Соотношение (V.22) представляет собой уравнение переноса ней­тральной примеси в крупномасштабном приближении. Физически оно соответствует пренебрежению диффузией и предположению о равновесном распределении примеси между твердой и жидкой фа­зами. Дифференциальные уравнения (V.22) легко интегрируются в общем виде для любого стационарного потока. Действительно, рассмотрим произвольную линию тока фильтрационного потока, определяемую параметрически условиями

Ds/dt = m~lw, dXi = m~lwit Xi{t0) = (V.23)

Здесь х°і — координаты жидкой частицы в момент t — to — харак­теризуют выбранную индивидуальную линию тока. Согласно урав­нениям (V.22), скорость движения вдоль линии тока и можно счи­тать известной функцией длины дуги S, и — u{s). Пусть в момент t = t° в точке М° {л:"} концентрация примеси равна с0. Рассмотрим точку М, движущуюся по линии тока Г°, проходящей через М° со скоростью

V(S)= u(s)[ffl + i,(l-'. (V .24)

При этом в точке М имеем:

Dc{M) _ де де _ де иі ("0 де____________ п

Dt ~ dt + '*ідхі~ dt +т + а<сдХі~

Таким образом, каждое значение концентрации примеси пере­носится по пласту вдоль линий тока со скоростью, равной скорости жидкой частицы и/т, умноженной на постоянный множитель (1 + - f - а с/т)-х, меньший единицы.

Весьма важно, что на перенос вдоль данной линии тока совер­шенно не влияет характер распределения примеси в поперечном направлении. Таким образом, в внешнем (крупномасштабном) при­ближении процесс переноса примеси описывается одномерным урав­нением

^\тс+ о. (с, и (s))] + «| = 0. (V.25)

Как было упомянуто (см. § 2, гл. IV), общее решение этого уравнения имеет вид

S

T = t(c, s) = t0 + (l + A'(c)) J А = ± (V.26)

Это выражение определяет время прихода примеси заданной концентрации с в точку с координатой s вдоль линии тока. Ему можно дать иную, более ясную физическую интерпретацию. Рас­смотрим узкую трубку тока, окружающую данную линию тока. Из условия неразрывности для ее нормального сечения ш (s) легко по­лучим

О) (s) U (s) = СОоЫо = const.

Поэтому интеграл в (V.26) пропорционален объему 5 (s) трубки тока между сечениями, отвечающими значениям координаты so и s. Этот объем монотонно зависит от s, и его удобно использовать в качестве универсального параметра вдоль линии тока, так как уравнение переноса и его общее решение при этом принимают особо простой вид:

S(c) = So(c) + uo(*-*o)/m(l+4'(c)). (V.27)

Иными словами, в плоскости t, S каждое значение концентрации с переносится с постоянной скоростью, отношение которой к ско­рости потока Uo/m зависит только от с.

Дальнейшее исследование производится вполне аналогично ана­лизу вытеснения в задаче Баклея — Леверетта. Начальными и гра­ничными условиями определяется на плоскости t, S линия, вдоль которой заданы значения концентрации. Эти значения переносятся по проведенным через граничные точки прямолинейным характе­ристикам (V.27). Если характеристики не пересекаются между собой, то решение задачи оказывается (во всяком случае, при гладких начальных условиях) гладким. Если же характеристики пересек а - ются, то даже при гладком начальном распределении решение ока­зывается разрывным. Поскольку, как видно из (V.27), наклон ха­рактеристик в плоскости (/, S) пропорционален (1 + А, с)~1, харак­тер решения вполне определяется начальными и краевыми условиями и видом изотермы сорбции а (с). Если начальное возмущение кон­центрации имеет вид «ступеньки»

С(s, 0) = Со, с (0, t) = с", (V.28)

То возникающая волна концентрации распространяется как сту­пенька с постоянной скоростью при

(с0 — Со) А" (с) < 0, се (Со, с°)

И в виде непрерывной вслны, если Еерно обратное неравенство. Если на отрезке (со, с ) знак кривизны кзотермы сорбции изме­няется, то при помсщи соотнсшений (V.26) получаем комбинацию скачков и непрерывных волн.

При этом на скачках концентрации выполняется соотношение баланса примеси (см. гл. IV)

[с] + [Л] = У [с], [С] = С+—С - (V.29)

Результат исследования задачи о распространении по пласту за­данного на входе (х = 0) начального скачка концентрации — усло­вия (V.28) — удобно сформулировать в следующем виде.

Пусть Со < с0. Определим при Со < с < с0 функцию

А*(с)= min \а (с), А (с,) + а (с,) (с - d)l (V.30)

С..С. ЄАІ 21 J

Которую назовем вогнутой оболочкой функции А (с). Если предста­вить себе график А (с) вырезанным из жесткого материала шабло­ном, то график Л„ (с) будет соответствовать форме нити, натянутой между точками с0, А (со); с0, А (с0) снизу на этот шаблон. Тогда устойчивое решение задачи о распространении скачка дается соот­ношением

S (с, 0 = uotjtn (1 + А[ (с)), (V.31)

Причем, как видно из (V.31), прямолинейным участкам Л# (с) отве­чают скачки с (5, t), а вогнутым дугам — участки непрерывного из­менения концентрации. Угловым точкам Л* (с) соответствуют участки постоянства с при изменении S. На рис. 57 показаны возможные типы решений, отвечающие различным формам изотермы сорбции а (с).

Аналогии между задачами переноса сорбирующейся примеси и задачами двухфазной фильтрации не ограничиваются описанием процесса в крупномасштабном приближении. В области скачков градиент концентрации и производная ее по времени, отвечающие крупномасштабному приближению, бесконечно велики, и, какими бы малыми не были диффузия и время релаксации, пренебрегать ими нельзя.

Будем действовать по аналогии с исследованием решения вблизи скачков насыщенности (см. гл. IV). Пусть £ — поверхность разрыва концентрации, отвечающая крупномасштабному приближению. Будем считать ее гладкой и введем в окрестности этой поверхности ло­кальную подвижную систему координат Si, S2, їз. где S2 и — криволинейная ортогональная сетка координат на поверхности 2; Si — координата, направленная по нормали к ней.

Запишем уравнение линий тока фильтрационного течения:

R = R(M0, t), dR/dt = и (г).

Здесь М0 — положение отмеченной точки на поверхности разрыва при t = 0. Дальнейшее движение поверхности разрыва в силу со­отношений на скачках описывается уравнением

Г = Rx (Mo, і), dRi/dt = и (r)jm [1 + A' (с (M0))] = V.

В локальной системе координат уравнения переноса примеси примут вид:

ДЛИЕ+^ - (KV0 (тс + а) + (»vE)с = V$ (DV «У

J-=(KVE)a = <?. (V .32)

В координатах S; переменные сна гладко изменяются по на­правлениям S2 и S3 и резко по направлению Si. Произведем растя­жение переменных, положив

Tt = D-%, x = D-V. (V.33)

Упрощая полученные уравнения (опуская малые члены по ана­логии с гл. IV), получим внутреннюю задачу:

= <P, c(+oo) = c±, a(+oo) = a±. (V.34)

Здесь un и Vn — нормальные к S компоненты скорости фильт­рации и скорости скачка.

Краевые условия служат для согласования внутреннего реше­ния с внешним. Интегрируя первое уравнение (V.34), получим с учетом условий на бесконечности

Ицс — Vn {тс + а) — VNdc/di = const = unc± — Vn (mc± + a±). (V.35)

Из второго уравнения (V.34) и условий на бесконечности по­лучаем

A±=a(c±). (V.36)

Затем из (V.35) с учетом условий на бесконечности находим необходимое условие существования стационар­ного внутреннего решения, совпадающее с полученным раньше выражением для скорости скачка:

VN = uNlm (1 + [Л]/[с]); А = а/т. (V.37)

Это соотношение выведено в предположении, что искомое внут­реннее решение существует. Чтобы доказать его существование, рассмотрим уравнение (V.35) совместно со вторым уравнением (V.34) и покажем, что они имеют решение с требуемой асимптотикой при +оо. Перепишем эту систему в виде dc

VNjr = Un (с - — с) + VN [т (с — с~) + а — а~] =

% = (V.38)

Система (V.38) не содержит явно независимой переменной С, и ее удобно представить на фазовой плоскости переменных а, с. Имеем

Изоклины нуля Г0: da/dc = 0 и бесконечности Г» da/dc = оо — уравнения (V.39) заданы, соответственно кривой а — а (с) и прямой а = а~ + (с — с-) Да/Ас. Эти изоклины обязательно пересекаются в точках (рис. 58) М - (с~, а~) и М+ (с+, а+) и разбивают пред­ставляющий физический интерес первый квадрант плоскости (с, а) на ряд областей, знаки производной da/dc в которых определяются следующим образом. При больших значениях а и малых с, оче­видно, da/dc < 0; далее каждый переход через изоклину нуля или бесконечности приводит к смене знака. Поэтому для показанного на рис. 58 расположения изоклин точка М+ является седлом, точка М-—узлом, и имеется единственная интегральная кривая урав­нения (V.39) —сепаратриса седла М+, соединяющая обе особые

Точки. Отвечающее ей решение обозначим через а0 (с). Если оно найдено, то из уравнения (V.38) имеем

Г (m + la)/[c])dc_______________________

J а0 (с) — а - + (с — с~) (а~ — а+)/(с+ — с~) "

При этом, как и должно было быть по условию задачи, интеграл расходится при c-vc±. Характер расходимости зависит от порядка касания линий Го и Г„ в соответствующих точках (см. гл. IV). Если эти линии пересекаются под конечным углом, то подынте­гральное выражение в (V.40) имеет нуль первого порядка и С-------------------------------------

— In J с — с± |, так что

С~с± + С± ехр (-Т±С), 7+>0, т-<0. (V.41)

Если допустить, что линии Го и Г„ касаются друг друга, то подынтегральное выражение (V.40) имеет нуль более высокого по­рядка, и стремление концентрации к ее соответствующему предель­ному значению оказывается степенным:

С — с± = О (I С І—*), vі > 0. (V.42)

Заметим, что для возможности построения структуры скачка, т. е. внутреннего решений задачи, обладающего требуемыми асимпто­тиками, принципиальное значение имеет выполнение условий

А (с) >х (с-) + (Да/Д с) (с—с~), с+<с<с~,

А (с) < а (с~) + (Да/Дс) (с — с~), с+ > с > с~. (V.43)

Действительно, если это условие нарушается, не удается построить интегральную кривую, соединяющую точки М+ и М~, вдоль которой С изменилось бы монотонно. Таким образом, мы видим, что условия (V.43) необходимы и достаточны для существования внутреннего решения в виде равномерно движущейся волны концентрации. По­этому, если ограничиться построением внешнего решения, из все­возможных вариантов разрывных решений, удовлетворяющих урав­нениям баланса, нужно выбрать такие, для которых на каждом разрыве выполнены условия существования внутренней структуры (V.43). При этом получаем процедуру построения, описанную вышэ. Такие же соображения окажутся основными и в более сложных за­дачах, рассматриваемых в последующих параграфах.