ДВИЖЕНИЕ ЖИДКОСТЕИ И ГАЗОВ В ПРИРОДНЫХ ПЛАСТАХ

Нестационарное движение Однородной сжимаемой жидкости. Линейная теория

Постановка основных задач. Простейший и наиболее изученный случай нестационарной фильтрации — движение одно­родной слабосжимаемой жидкости в упруго деформируемом пла­сте. Это движение (см. § 1.4) описывается уравнением пьезопро - водности для давления р

Dp/dt = х (д2р/дх2 + д2р! ду2 + d2p! dz2) = *Ьр, (11.83)

По форме совпадающим с классическим уравнением теплопровод­ности.

Область, в которой ищется распределение давления в жидко­сти, та же, что рассматривалась для стационарных течений: по­ристый пласт, часть границ которого непроницаема, а другая часть сообщается с вскрывающими пласт скважинами и соседни­ми пластами.

Граничные условия в задачах линейной нестационарной фильт­рации задаются на границах того же типа, что и в задачах на­порной стационарной фильтрации: непроницаемых границах, сква­жинах, галереях, контурах питания. Однако теперь давление, напор или расход, задаваемые на скважинах или галереях, явля­ются, вообще говоря, функциями времени. Часто в модельных за­дачах задается мгновенное изменение давления или расхода на скважине или галерее от начального до некоторого конечного, что соответствует физически быстрому пуску или закрытию скважины или галереи.

Все принятые обычно варианты граничных условий уклады­ваются в общую форму

{ар + Ьдр/дп) = f(x, у, г, t), а2 + Ь2ф 0; Ыа > 0. (11.84)

Из общей теории уравнения теплопроводности известно, что если на границе области задано условие (11.84), а в начальный момент времени ^=0 условие

Р(х, у, г, 0) = ч(х, у, z), (11.85)

То существует единственное распределение давления р (х, у, г, t), удовлетворяющее уравнению (11.83) и условиям (11.84), (11.85), не­прерывное в замкнутой области D, включая границу, на любом конечном интервале времени 0 < t < Т.

Хорошо разработанная техника решения уравнения теплопро­водности (см., например, [40]) применима и к задачам теории упругого режима фильтрации. Однако специфика этих задач, свя­занная с наличием некоторых малых параметров (например, отно­шение радиуса скважины к расстоянию между скважинами, рас­стояние между скважинами к расстоянию до контура питания) в ряде случаев существенно упрощает решение.

В типичных условиях нефтяного или газового месторождения или водоносного пласта толщина пласта много меньше его гори­зонтальной протяженности, что позволяет рассматривать течение как плоскопараллельное. Рассмотрим несколько характерных случаев.

Плоскопараллельное одномерное движение. Пусть скорость течения параллельна оси х не зависит от коорди­нат у и z. Давление при этом удовлетворяет уравнению

Dp/dt = %д2рідх2 0 <x<L. (11.85)

Наиболее интересны случаи, для которых в начальный момент времени движение в пласте стационарно. Поскольку стационар­ное распределение давления также удовлетворяет уравнению (11.86), удобно отсчитывать давление в каждой точке от стацио­нарного значения Р о(х). Таким образом, разность Р = р — Ро удовлетворяет уравнению (11.84) с нулевым начальным условием Р (х, 0) = 0.

Пусть при x=L (на контуре питания) давление сохраняет пос­тоянное значение, равное начальному, а через сечение * = 0 отби­рается жидкость, и давление в нем меняется по закону p—f(t). Чтобы получить решение при указанных начальных и краевых ус­ловиях, применим преобразование Лапласа, т. е. введем функцию

_________ оо

L {Р (х, /)} = Р (*, а) = J (х, t) dt. (11.87)

О

Для Р получим задачу

D2Pldx2—42P = 0; имеющую решение

Р = F (a) sh [(L — х) v]/sh (Lv). (11.89)

Чтобы перейти от изображения к функции Р (х, t), предполо­жим вначале, что в сечении х = 0 давление мгновенно принимает фиксированное значение Р = ра Ф 0. Тогда F (а) = р°/а.

Р = (/>%») sh[(Z. — *)v]/sh(b). (II.90)

Рассмотрим асимптотику решений при малых временах, чзму, согласно теории преобразования Лапласа, соответствуют большие значения |о|. Выразим в (11.90) гиперболически г функции через

Показательные и, считая 2L "j/"-^-^ 1> разложим это выражение в

Ряд по степеням ехр (—2L\^aU), т. е.

______________ [ оо оо

Р (*. о) = (р°1°) £ ехр (- v (* + 2Ln)) - £ ехр (- v (2L (п + I /1=0 л=0

+ l)-*))l. (11.91)

Производя почленное обращение ряда (11.91), с помощью фор­мул обращения, выведенных, например, в [25], имеем

Оо

Р (х, f) = P° £ jerfc [(2 Ln + х)!2 yVt] — erfc [(2L (n + 1) —

N=0

— x)!2 V%t]}. (11.92)

Ряд (11.92) сходится при всех / и х. Рассмотрим Еначале асимп­тотику при условии L2/x/> 1. Тогда в выражении для Р (х, і) можно все значения erfc заменить их предельными erfc(oo) = 0,

За исключением члена ряда erfc * _ ■. Имеем

^ 2 Ух*

Р(х, t) = р°етїс[х/2У1й}. (11.93)

Полученнсе решение (II.£3) имеет десякий смысл. С одной сто­роны, сно спксыЕает ргспределение /аЕхения в пласте конечней дли кы L при махых Еременах v. t<^L2. С другой стороны, оно д;ет распределение давления в пласте бесконечной протяженности L->• -> оо. Любое конечное изменение давления распространяется за заданное время лишь на конечное расстояние и, если рассматри­ваются ма/ые времена, межно считать пласт бесконечным. Решение (11.93) автомодельно: независимые переменные х и t входят в него лишь в кокбингции x/yVt.

В силу линейности уравнения (11.86) решение для случая про­извольного вида функции Р (0, /) = f (і) можно получить с помощью принципа суперпозиции с использованием интеграла Дюамеля

Р(х, t) = I (df(z)/dt)Pi (х, t~x)dt, (11.94)

О

Где Р\(х, і) — решение (11.92) или (11.93) для случая скачкообраз­ного изменения давления при х = 0.

Рассмотрим теперь противоположную асимптотику В этом случае выражение (11.92) неудобно тем, что приходится суммировать много членов ряда. Чтобы получить решение в более удобном виде, можно воспользоваться так называемой второй тео­ремой разложения для преобразования Лапласа [25], согласно которой регулярная функция F (а), стремящаяся к нулю при | а |->- -> оо, является преобразованием Лапласа функции

3>(/) = ЈRes[F(a)e«], (11.95)

K Ck

Где сумма вычетов берется по всем особым точкам а* функции F (о) в порядке неубывания их модулей. Тогда для F (а), выражаемого формулой (11.90), получим разложение

Pi (х, t) = р°( 1 — x/L) — 2p%t-' s;n [тс (1 — x/L)] exp (— it2xt/L2) - f

+ О [exp (— (4 — є) m2x//L2)]. (11.96)

Из формулы (II. 96) видно, что приближение к стационарному линейному распределению давления происходит экспоненциально, причем характерное время выхода на стационарный режим имеет порядок

Г-2. (11.97)

Для типичных условий фильтрации маловязкой нефти или во­ды в коллекторах с высокой проницаемостью * имеет порядок 104 см2/с. Тогда из (11.97) следует, что характерное время пере­ходных процессов в малых блоках породы протяженностью 1 м тя0,1 с, при L = 300 м (порядка расстояния между скважи­нами) т » 3 ч, L = 10 км (порядка размеров месторождения) т = 100 сут и при L=100 км (порядка размеров крупной водо­напорной системы) т K 109 с ~ 30 лет. В коллекторах с высоко­вязкой нефтью и низкой проницаемостью значение х может ока­заться на один-два порядка меньше. Тогда соответственно на один-два порядка увеличиваются значения характерных времен.

В практических задачах часто приходится рассматривать не­стационарные процессы в сложных системах, в которые входят элементы с различными собственными временами. Оценивая вре­мя установления стационарного течения для каждого элемента, мы упростим задачу, отделив те элементы, движение в которых можно считать стационарным, и те, в которых нестационарный процесс находится в начальной стадии.

Плоскорадиальное движение. Рассмотрим одномер­ное осесимметричное (плоскорадиальное) нестационарное тече­ние, соответствующее нестационарному притоку к одиночной сква­жине в круговом пласте. Распределение давления определяется как решение уравнения пьезопроводности с радиальной сим­метрией

Dp/dt = (*/г) д \гдрІдг)Ідг 0<р<л<Я<оо, (II.98)

Удовлетворяющее начальному условию

P(r,0) = f(r) (11.99)

И граничным условиям при г = р и г — R.

Как и выше, в силу линейности уравнения (11.98) можно под­разумевать под р только отклонения от стационарного распределе­ния давления р=С} lnr + C2, т. е. считать начальное распределе­ние f (г) = 0.

Переходя в уравнении (11.98) к изображениям по Лапласу, получаем

R-'d [rdp (г, a)ldr]!dr = v2P (г, о), v2 = а/%, (11.100)

Общее решение которого имеет вид

P(r, o) = C, IoM + C2Ko(rv). (11.101)

Где І0 и Ко — модифицированные функции Бесселя от мнимого аргумента нулевого порядка.

Будем искать решения для случая, когда на скважине зада­ется постоянный дебит при всех / > 0. Решение этой задачи ис­пользуется в наиболее распространенных способах определения параметров пласта по наблюдениям нестационарного притока к скважине. Положим

(2тс&/|л) (гдр/дг) — — q = const или (др/дг)г=р = — = pVр; р (R, t) = 0. (11.102)

Удовлетворяя граничным условиям, получим из (11.101) и (11.102) Р (го) = (p"lpva )[Ко (Я v) Io (rv) — Ко (rv) І0 (Јv)]:

: [I, (pv) Ко (Яv) + Io (flv) Ki (Pv)]. (11.103)

Радиус скважины p обычно равен 10 см или менее. Если рас­стояние между скважинами R > 300 м, то для типичных условий исследования скважины на нестационарный приток можно при­менить «промежуточную асимптотику», т. е. положить

Что позволяет упростить выражение (11.103), полагая р]Лз/*С1<^ При этом можно использовать асимптотические формулы для Ко (г), Ki (г), Io (г) и \i(z) при больших и малых значениях аргумента

Io (Z) ^ е2 (21CZ)-1'2, Ко (Z) « е - (ir/22)'/2 2 - со Ко (г) як — ІП (тг/2) 7 = ес 2 0,

Где С = 0,7772 — постоянная Эйлера.

Тогда из (11.103) получим

Р(г, о)= — ро-'КоМ. (11.105)

В частности, для давления в скважине

Р(Р, о) = р'о-1 In (tpv). (11.106)

Отметим важное обстоятельство: соотношение (11.105) не содер­жит радиус скважины р. Это означает, что в области примени­мости условия р2/х/ 1 распределение давления не зависит от ра­диуса скважины. Используя таблицы преобразований Лапласа и связь между преобразованием функции Лапласа и ее производной, получим

Р (г, t)=2-1p'Ei(—r2/4*t). (11.107)

Для давления на скважине с помощью асимптотического выра­жения Ei (— х) = ln-j-A - при X ОО имеем

Р (р, /) = _ др (4^)-' In (Тр2/4х/) = Q(X (4%kh)~x In (2,25х//Р2), (11.108)

Где Q — полный дебит скважины (q — дебит на единицу толщины пласта). Формулы (11.107) и (11.108) часто используются для определения параметров пласта по данным о нестационарном притоке.

Определение параметров пласта. Общий принцип исследования пластов при нестационарном течении заключается в том, что путем изменения режима эксплуатации скважин в пла­сте искусственно создается нестационарный режим фильтрации и измеряется давление в зависимости от времени в одной или не­скольких скважинах. На основе данных об изменении дебитов и давления, используя решения задач нестационарной фильтрации,

Можно оценить параметры пласта — проницаемость, пьезопровод- ность, расстояния до границ и т. д.

Самым простым и наиболее употребительным способом созда­ния нестационарного течения является временная остановка од­ной из скважин. Условие ее остановки с момента t0 можно рас­сматривать как задание на скважине при t>t0 постоянного де­бита — Q. Тогда давление на забое остановленной скважины описывается формулой (11.108), определяющей прямую в коорди­натах р. In t. При построении кривой восстановления давления в остановленной скважине асимптотически прямолинейный участок часто устанавливается через непродолжительное время, обычно в первые часы (рис. 5).

Пусть уравнение асимптоты есть р = A In t + В. Сравнение с формулой (11.108) показывает, что А = Q^/iizkn, В —A In (4х/^р2). Поскольку значение Q известно, то после определения по графику параметров А и В можно найти гидропроводность пласта kh/p и отношение х/р2.

Следует учитывать, то радиус скважины в формуле для при­тока обычно не равен истинному вследствие того, что скважина вскрывает пласт не на всю толщину и не вся поверхность ее от­крыта для фильтрации жидкости (несовершенство скважины по степени и характеру вскрытия). Кроме того, как было показано в § 1 данной главы, на кажущийся радиус скважины существенно влияет загрязненность призабойной зоны, где проницаемость мо­жет быть существенно уменьшенной, или наличие в ней трещин. Поэтому, зная величину х/р2, нельзя по отдельности определить X и р2. Для определения пьезопроводности пласта удобнее использо­вать метод гидропрослушивания, т. е. исследовать изменение дав­ления в реагирующей скважине, не работавшей к моменту изме­нения дебита возмущающей скважины. В этом случае характер­ным размером является не радиус скважин, а расстояние между скважинами, которое известно достаточно точно.

Для определения пьезопроводности пласта методом гидропро­слушивания, если дебит возмущающей скважины изменяется скач­ком, можно использовать формулу (11.107), записав ее в виде

Ap = p(r, t)-p(r, 0) = = — Q, a (41ГМ)-1 Еі (— г2/4х0,

(11.109)

Где Ар — изменение давления в реагирующей скважине; Q — из­менение дебита; г — расстояние реагирующей скважины от воз­мущающей. Обработка кривых изменения давления в реагиру­ющей скважине заключается в том, что на кривой фиксируется время появления каких-либо
характерных точек. Например, удобно фиксируется точка касания кривой Ар (t) с прямой, проведенной из начала координат. В этой точке (t = 11), как следует из формулы (11.109), r2/4x/i =0,44, от­куда х = 0,57г7/ь

Приведенные примеры решения обратных задач для определе­ния параметров пласта ограничены условиями, при которых сква­жина может рассматриваться как мгновенно пущенный источник постоянной интенсивности в бесконечном однородном пласте. Фактически, когда возмущение, вызванное закрытием скважины, доходит до границ пласта, т. е. через время порядка Q=R2/x, кри­вая восстановления давления в скважине начинает искажаться, а через достаточно большое время выходит на горизонтальную асимптоту, соответствующую стационарному пластовому давле­нию. С другой стороны, приток из пласта в скважину, остановлен­ную на устье, не прекращается мгновенно вследствие сжигаемо - сти жидкостей и газов, заполняющих скважину. Время выхода на асимптоту в координатах Ар, In t не должно превышать времени дополнительного притока после остановки. Поэтому возможны условия, особенно в скважинах, расположенных близко от границ пласта, когда прямолиьейного участка на кривой p(\nt) не суще­ствует. В связи с этим был предложен ряд способов обработки кривых восстановления давления, учитывающих приток в сква­жину после ее остановки.

Один из наиболее общих методов обработки кривых восста­новления давления был предложен в работе [31]. В этом методе непосредственно используются преобразования Лапласа кривых восстановления давления, вследствие чего он пригоден при про­извольном изменении дебита скважин. Такой метод позволяет также в ряде случаев определять по кривым восстановления дав­ления некоторые характеристики неоднородности пласта.

Рассмотрим пласт произвольной конфигурации, в котором при і = 0 начинает эксплуатироваться скважина при нестационарном режиме. Пусть в результате измерений известны зависимости р (р, t)

И -^р ~ __ = q (t). Давление в пласте р(х, у, г, і) удовлетворяет

Уравнению (11.83), а его преобразование по Лапласу Р (х, у, zt а) — уравнению

V2P = 7P/x. (II. 110)

На непроницаемых участках границы справедливо условие дР/дп =0, на контурах питания Р = 0, на скважине P\r=? = Рі{<з). Положим U=~P(x, у, z, о)/Pi (о). Функция U удовлетворяет уравнению (11.110) и однородным условиям на внешних границах пласта (на скважине <7=1). Эта функция не зависит от режима работы скважины. Для преобразования по Лапласу дебита сква-

_ оо

Жины Q(o) = $q (t) имеем

О

Q (a) = 2к (Ш[л) p J e—' (dp/dr)r=Pdt = о

= 2it (kh/p) ?Pi (a) (dViir)r^. (11.111)

Из формулы (11.111) следует, что отношение

T(a) = P,(a)/Q(a) (11.112)

Зависит только от вида функции U, но не от режима эксплуатации скважины. Вид функции ф (а) полностью определяется параметрами пласта. Когда функции pi (t) и q (t) известны, нетрудно численно получить зависимости Pi (а) и Q (а), а отсюда — ф (о). По виду функ­ции ф (а) можно определить некоторые параметры пласта. Рассмот­рим простейший пример—скважину в однородном бесконечном пласте. Функция U, как легко получить из формулы (11.105), имеет вид

И = Ко М/Ко (pv), v = уїГх, (11.113)

Откуда

Ф (a) = (2TzkhPdU/dr)-lv. = (2itfcftp)-yKo(pv)/Ki (pv). (11.114)

При практическом построении преобразований Лапласа от функ­ций pi(t) и q(t) удобно перейти к переменной х = 1/a, полагая

Со

Р (х) = J Р (t)e~i/Tdt. Значения х не следует брать меньше 1—2 мин.

О

Поэтому, учитывая порядок * и р, видим, что значения р ]/"а/* = = p/j/хт достаточно малы, чтобы можно было использовать пред­ставление функций Ко и Кі для малых значений аргумента. Тогда получим

<F (т) = W (а) = — ц (2itJfeA)-4n (тр/2 У*?) = = p. (irM)-1 In х + [і^ісАЛ)-1 ln(4x/T2P2). (11.115)

Параметры пласта — коэффициенты в формуле (11.115) — опре­деляются по графику ¥ (In t) точно так же, как и по графику р (In t) при мгновенной остановке скважины. То, что зависимость ¥(1пх) прямолинейна, позволяет ограничиться вычислением инте­гралов при трех — четырех значениях х.

Описанный общий подход позволяет получать методом восста­новления давления некоторые параметры неоднородного пласта.

Рассмотрим пример. Пусть скважина радиусом р расположена в центре круговой зоны радиуса R в бесконечном пласте. Прони­цаемость зоны k\ и пьезопроводность *i отличаются от проницае­мости k2 и пьезопроводности *2 во внешней зоне пласта. Функция Г(г) для этого случая может быть получена с использованием решения вида (11.101) и асимптотических формул (11.104). При этом для p2/xi< х < R2/%i функция W (х) асимптотически выража­ется формулой (11.115) при k = k\ х==*і, а для х > R2U2 имеем

ЦТ (х) = !л(4тсМ)"11п X + |Л (4nk2h)~l In (4x2/f2p*2), (11.116)

Где эквивалентный радиус скважины о* тот же, что и для стацио­нарного притока (см. 11.19):

Р' = Я(р/Я)т = р(р/#)7-1, т = (11.117)

Сравнивая формулы (11.115) и (11.116), видим, что формула (11.117) описывает преобразованную кривую восстановления дав­ления в скважине радиуса р* в однородном пласте с параметрами внешней зоны. Точно так же можно показать, что эквивалентный радиус скважины, определяемый по данным о нестационарном притоке при горизонтальных или вертикальных трещинах, таков же, как и определяемый для стационарного течения при тех же условиях. Из этого примера видно, что исследование скважин ме­тодом восстановления давления позволяет определить степень за­грязнения призабойной зоны и оценить эффективность работ по интенсификации притока.

Описанный метод обработки кривых восстановления давления можно использовать и для определения других параметров неод­нородности пласта: расстояния до непроницаемого или проводя­щего экрана, радиуса трещин и т. д.

Метод интегральных соотношений. Хорошо разра­ботанная теория уравнений математической физики позволяет получить в принципе точные решения широкого класса задач не­стационарной фильтрации. Однако эти решения не всегда удовлет­воряют требованиям простоты и обозримости. Учитывая недоста­точную точность исходных данных в задачах фильтрации, связан­ных с движением жидкостей и газов в природных пластах, часто можно удовлетвориться простыми приближенными, легко обозри­мыми решениями.

Возможность успешного применения приближенных методов в теории нестационарной фильтрации связана со следующими особенностями рассматриваемых задач. Во-первых, большинство задач нестационарной фильтрации однородной жидкости сводится к решению уравнений параболического типа, для которых харак­терно сглаживание начальных возмущений искомых величин со временем и по мере продвижения внутрь области от источника возмущений. Во-вторых, в ряде задач, представляющих практиче­ский интерес, искомое решение имеет в некоторых точках об­ласти (скважины, галереи) известные особенности. При этом в основной части области состояние системы близко к невозмущен­ному. Наконец, в большинстве случаев существенны лишь интег­ральные характеристики решения.

В ряде приближенных методов используется понятие области влияния или области возмущения, вне которой течение можно считать невозмущенным, т. е. сохраняются начальные значе­ния р или и. Возможность введения такой области следует из ана­лиза точных решений, приведенных в настоящем параграфе. На­пример, из формулы (11.93) следует, что отклонение от начально­го убывает с ростом х как ехр(—x2/4*t). Одним из наиболее общих приближенных методов в теории фильтрации является метод интегральных соотношений [3].

Сущность его заключается в том, что исходное дифференци­альное уравнение (11.86 ) или (11.98) в области возмущения сква­жины заменяется системой интегральных соотношений вида

Lf]dp/dtfi(x, t)dx = xL()d2p/dx2fi(x, t)dx, і = 0, 1, ..., п, (11.118) МО £•.(')

Где fi(x, t), і = 0, 1, . . ., n образуют полную систему как функции от х на отрезке [L\ (/), L2(t)j. Если р(х, t), представить в виде разложения в ряд по функциям Д (х, і), то из (11.118) получим систему уравнений для коэффициентов этого ряда.

Рассмотрим задачу о возмущении первоначального стационар­ного движения в пласте. Возьмем простейшую систему функций — последовательные степени пространственной переменной

1, X, X , ..., X, ...

Пусть в момент t — 0 происходит отбор жидкости из пласта с расходом — kb/pHG. Давление в этом случае распределено по ли­нейному закону

Р (х, 0) = Р + Gx. (II. 119)

Будем искать приближенное решение задачи в виде многочлена р(х, t) = P0 (t) + Pi(t)x/l+, ..., +Pn(t)x"/l" (0 <*</),

Р (х, T) = р (х, 0) (х > I). (11.120)

В таком виде задача имеет п+2 неизвестных: Рі (і) и l{t). Для их определения можно составить систему уравнений, состоящую из некоторого числа интегральных соотношений, граничного усло­вия при х — 0 и условия при X = /. При х — I должны выполнять­ся условия непрерывности давления р (/, t) = Р + GI и некоторой степени гладкости функции р (х, t):

Dp (I, t)/dx = д2р (I, t)lдх2 = ... =dkp (I, t)ldxk = 0.

Выбор наилучшего приближенного метода расчета р (х, t) свя­зан с тем, насколько удачно подобрано число используемых ин­тегральных соотношений и условий гладкости.

В рассматриваемом случае

Р(0, t) = px, р(х, 0) = р0 = 0. (II.121)

Используя интегрирование по частям и теорему о дифференци­ровании определенного интеграла, приведем систему (11.118) к виду

(ИЛ22>

±\pxdx = *p(0, 0. (11.123)

J 'fpx*dx =*xk(k — 1) lfpxk-2dx, k>2. (II. 124)

О 0

РИС. 7. Зависимость безразмерного давле­ния от безразмерной координаты для осесим - метричного течения. Решения: 1 — приближенное: 2 — точное

При п = 1 из (11.122) следует

I = 2 Vxt, и (О, t) = —k (др/дх)!^ = k(pi— /?о)/2[л V^t. (II. 125)

Напомним, что при точном решении по формуле (11.93) получим

«о (0, t) = k{px—pQ)l]x V™t - (11.126)

Заметим, что решение для п — 1 совпадает с тем, которое по­лучается по известному методу последовательной смены стационар­ных состояний [44].

Для второго приближения (п = 2) используем снова соотно­шение (11.122) и условие

(др/дх)хы-о = 0, (11.127)

Что дает

Р(х, t) = рі{\—хЛ)2, /2=12х/. (11.128)

Для скорости фильтрации при х = 0 получим

И (0, t) = k(pi — poVVS^t, (11.129)

Что близко к точному решению (11.126). Если во втором прибли­жении вместо (11.127) использовать интегральное соотношение (11.122), то вид решения не изменится.

Если для третьего приближения (п — 3) использовать соотноше­ния (11.122), (11.123) и (11.127), то третье приближение совпадает со вторым. Если же использовать первые три интегральных соот­ношения без условия (11.127), то получим (опуская промежуточные выкладки)

Р(х, t) = px(\— 0,583С + 0,107С2 + 0,0061 С3), С = х/У%Г. (11.130)

На рис. 6 приведено сопоставление полученных приближен­ных решений с точными. При построении приближений более вы­сокого порядка возникают трудности, обусловленные тем, что отсутствуют сколько-нибудь обоснованные правила выбора

Наилучшего из нескольких дополнительных условий. Кроме того, при этом приходится строить приближения функций с помощью многочленов высокого порядка. Впрочем, основная цель построения приближенных решений — получение простых аналитических за­висимостей — достигается уже приближениями второго порядка.

Рассмотрим без подробных выкладок осесимметричную задачу о пуске скважин с заданным дебитом q в бесконечном пласте. Решение уравнения (11.98) ищется в виде

Р (г, t) = q In (r/l) + P0 + P1 (r/l) +, ..., +Pn (r/l)", (П.131)

Где 1(f)— переменный радиус зоны возмущения. Система интеграль­ных соотношений имеет вид

±'\пгр(г, t)dr=-xq, (11.132) 'о

Jt Р (г> 0 dr = 1{\р (г - 0 rk~~4r (k>\). (11.133) о о

В нулевом приближении (Ро = Pi = ... =0) имеем единствен­ную неизвестную функцию / (/), которая определяется из уравне­ния (11.132): _ _

1 = 2 Vа*/, р0(г, t) = q In (r!2 Vxt). (11.134)

С использованием уравнений (11.132), (11.133) и условий непре­рывности р и др/дг (т. е. р = 0 и дрідг = 0) при г = l(t) получим первое приближение в виде

I = /Ш, р = q In (r/УШй) —q + qr/УШ. (11.135)

При сопоставлении приближенных решений 1 с точным 2 (рис. 7) имеем, что даже результаты расчета по формуле (11.134) и тем более по формуле (11.135) довольно хорошо согласуются с точным решением.

Метод интегральных соотношений позволяет с удовлетвори­тельной точностью получить простые приближенные решения за­дач о притоке к скважинам в ограниченном пласте. Соответству­ющие точные решения получаются в виде плохо сходящихся рядов Фурье — Бесселя и трудно обозримы. Ограничимся здесь одним примером.

Рассмотрим круговой пласт радиуса R, на контуре которого поддерживается постоянное давление, равное начальному (прини­маемому за нуль). В начальный момент производится пуск сква­жины пренебрежимо малого радиуса, расположенной в центре пласта. Тогда вплоть до момента / = t\ = R2H2xt в первом прибли­жении справедливо представление (11.135). При t > ti необходимо учитывать условие на контуре

P(R, 0 = 0. (11.136)

Используя снова первое приближение разложения (11.131) и полагая l(t) = R, получим с учетом (11.136)

Р (г, t) = q In (r/R) + Ро (0 (1 —r/R). (11.137)

Тогда из первого интегрального соотношения (11.132) получим

Jt]p(r, = |я2^° = -*/>0. (11.138)

О

Уравнение (11.138) следует решить при условии непрерывности давления при tsztь Ро !<=/,=— Я - Решение имеет вид

P0(t) = — <?ехр[— 6*(/ — /,)/Я2]. (11.139)

Таким образом, будем иметь приближенное выражение для рас­пределения давления

Р(г, 0 = <7 In (г/Я) — <7(1 — г/Я) ехр [— 6*(/ — /і)/Я2]. (11.140)

Как видно, распределение давления экспоненциально стремится к стационарному.