ДВИЖЕНИЕ ЖИДКОСТЕИ И ГАЗОВ В ПРИРОДНЫХ ПЛАСТАХ

Неравновесность при фильтрации однородных жидкостей. Движение в трещиновато-пористых и слоисто-неоднородных пластах

Вводя в качестве основных локальных характеристик фильт­рационного движения давление р и скорость фильтрации и (а в некоторых случаях и температуру пористой среды Т), мы неявно допускаем, что в пределах физически бесконечно малого объема пористой среды эти величины изменяются незначительно.

В свою очередь, это означает, что локально каждый элемент среды находится в состоянии термодинамического равновесия. Такое допущение справедливо, пока рассматриваются процессы существенно более длительные, нежели процесс установления термодинамического равновесия в физически бесконечно малом объеме пористой среды. Однако в некоторых существенных для приложений случаях строение реальных объектов таково, что «элементарный объем» достаточно велик, а процесы установления термодинамического равновесия в нем настолько замедленны, что их длительность оказывается сопоставимой со временем переход­ного процесса в пласте в целом. Тогда эти неравновесные про­цессы подлежат учету и их влияние может оказаться определя­ющим. Именно так обстоит дело в некоторых задачах двухфазной фильтрации (см. гл. IV). В этом параграфе рассматриваются неравновесные процессы, происходящие при неустановившемся движении однородной, ньютоновской жидкости в трещиновато - пористых и слоистых пластах.

Фильтрация однородной жидкости в трещи­новато-пористой среде. Ряд крупнейших месторождений нефти приурочен к трещиноватым породам, в которых существует развитая система трещин, полностью или частично, наряду с порами, обусловливающая фильтрационные свойства среды. Спе­цифика такой среды обусловлена тем. что трещина, в отличие от пор, имеющих все размеры одного порядка, это — узкая щель, два измерения которой на несколько порядков больше третьего. В результате даже при самом незначительном объеме трещин в общем объеме пустот твердого скелета они могут оказывать определяющее влияние на движение жидкости.

Обычно различают чисто трещиноватые и трещиновато-пори­стые среды. Первые из них представляют собой блоки горной породы, между которыми имеются трещины, причем сами блоки непроницаемы и не обмениваются жидкостью с трещинами (на­пример, трещиноватые граниты); в трещиновато-пористой среде блоки представляют собой куски обычной пористой среды, обла­
дающей пористостью и проницаемостью (трещиноватый известняк). Во всех случа­ях объем трещин пренебрежимо мал по сравнению с общим объемом, занятым твердым скелетом и пустотами, в большин­стве случаев он мал и по сравнению с, об­щим объемом пустот, складывающимся из объема порового пространства пористых блоков и объема самых трещин. Лишь в тех случаях, когда собственная пористость блоков практически равна нулю (например, у трещиноватых изверженных пород), при­ходится принимать в расчет объем соб­ственно трещин.

Напротив, в большинстве случаев гидравлическая проводи­мость системы трещин во много раз больше гидравлической про­водимости блоков. Поэтому можно сказать, что в трещиновато - пористой среде жидкость «хранится» в пористых блоках, а пере­мещается по трещинам. При стационарном движении жидкости это не приводит к существенным отличиям от обычной пористой среды. Однако при нестационарных процессах и в процессе вы­теснения одной жидкости другой проявляется ряд важных осо­бенностей. Фильтрация в чисто трещиноватых средах происходит качественно так же, как в обычных пористых, лишь с небольшими количественными отклонениями. Поэтому в дальнейшем основное внимание уделяется трещиновато-пористым средам.

Закон фильтрации. Для ламинарного движения вяз­кой жидкости в щели с параллельными стенками справедлива формула Буссинеска

V 12ц Дл:'

Здесь Q — расход жидкости; Ь — ширина щели в сечении, пер­пендикулярном к оси х; h — раскрытие щели; [і — вязкость жидко­сти; р— давление.

Существование такой простой формулы, справедливой для движения в отдельной трещине, побудило многих исследователей к поискам выражений, описывающих течение в упорядоченной системе трещин. Однако более эффективным оказалось описание течения в трещиновато-пористой породе методами механики сплошной среды.

Допустим, что трещиновато-пористая среда состоит из систе­мы блоков, отделенных друг от друга трещинами, причем форма и расположение блоков нерегулярны (рис. 34). Возьмем в каче­стве элементарного макрообъема (см. гл. I) объем, размеры которого велики по сравнению с размерами отдельного блока, а следовательно, и интересующие нас процессы происходят в мас­штабе, значительно более крупном, чем размер блока. (Размеры блоков и, следовательно, длина трещин I бывают самыми раз­личными. Излагаемый подход основан на предположении, что

Т. е. блоки велики по сравнению с размером пор d, но малы по сравнению с размером пласта L). Рассмотрим вначале наиболее существенный случай, когда проницаемость блоков мала настолько, что при описании макроскопического движения жид­кости ею можно пренебречь. Считая движение в трещинах мед­ленным (безынерционным), можно записать для него закон Дар - си, который выводится из анализа размерности так же, как и в гл. I. При этом, учитывая возможную анизотропию системы трещин и то, что каждая из них характеризуется двумя размера­ми — длиной I и раскрытием h, формулу закона фильтрации удобно представить в виде:

Здесь щ — компоненты вектора скорости фильтрации, опреде­ляемого обычным образом; — тензор трещинной проницаемости; h — среднее раскрытие трещин; / — характерный размер блока. Кон­кретный вид безразмерного тензора проницаемости k% определяется геометрией системы трещин; для среды, состоящей из непроницае­мых блоков и нескольких систем плоских регулярно расположенных трещин, он может быть получен на основании формулы Бусси - неска (11.89).

В общем случае трещиновато-пористой среды формулу закона фильтрации также можно записать в виде (111.90).

Неравновесность распределения давлений. Как уже упоминалось, характерная особенность трещиновато-по­ристой среды состоит в том, что движение жидкости в ней про­исходит в основном по трещинам, в то время как объем трещин мал и основные запасы жидкости заключаются в пористых блоках. Предположим, что на границе трещиновато-пористого пласта, жидкость в котором первоначально находилась под давлением Р0, происходит снижение давления до некоторого иного значения Р\. Пренебрегая проницаемостью блоков, можно использовать для описания движения в трещинах обычные соотношения теории фильтрации в пористой среде (например, в случае слабосжимае - мой жидкости и упруго деформируемого пласта — уравнения теории упругого режима). После некоторого переходного процесса в трещинах установится новое стационарное распределение дав­ления, причем, по крайней мере вблизи границы пласта, давление окажется значительно ниже первоначального. Поскольку давление в блоках в силу предположений их непроницаемости не могло измениться, то между жидкостью в блоках и жидкостью в трещи­нах создается значительная разность давлений — порядка Р0—Pi, а следовательно, в блоках возникают локальные градиенты дав­лений ~ (Ро—Pi)//, значительно превосходящие существующий в пласте градиент давления в трещинах ~ (Ро—P\)/L. В этих условиях в пласте даже при самой незначительной прони­цаемости блоков возникают локальные фильтрационные потоки, обусловливающие приток жидкости из блоков в трещины и выравнивание местных разностей давлений между блоками и тре­щинами.

Тот факт, что в трещиновато-пористой среде могут в нестацио­нарном процессе возникать местные разности давлений и местные перетоки между блоками и трещинами, лежит в основе описания среды, состоящей из малопроницаемых пористых блоков и тре­щин, при малом суммарном объеме трещин.

Введем вместо одного давления жидкости в данной точке среды два — давление в трещинах pi и давление в порах блоков р2■ В предположении, что проницаемость блоков k2 очень мала, можно для определения фильтрационного потока в жидкости через некоторую площадку среды использовать уравнение (111.90), подставляя в него значение давления в трещинах р\.

Составим уравнения баланса жидкости в трещинах и блоках. Обозначая через трещинную пористость (отношения объема трещин к полному объему среды), имеем

^^ + div(pB)-<7 = 0, (III.91)

Где q — количество жидкости, перетекающее за единицу времени из блоков в трещины в единице объема среды.

Для блоков можно пренебречь непосредственно фильтрацион­ным потоком, так что уравнение неразрывности имеет вид:

+ ? = ("1-92)

Где т2 — пористость блоков (в расчете на общий объем среды).

Для того, чтобы замкнуть полученную систему уравнений, нуж­но, помимо уравнения состояния жидкости и уравнений, связы­вающих изменения пористостей т1 и т2 с давлением, дать и выражение для потока q. Это выражение можно получить из анализа размерностей. Заметим прежде всего, что поскольку движение жидкости в пласте считается безынерционным, то без­ынерционным должно быть и движение жидкости в блоках. Далее, поток q может зависеть от давлений в блоках р2 и в трещинах ри размера I и проницаемости k2 блоков, вязкости жидкости ц, ее плотности р и должен обращаться в нуль при равенстве давлений рі и р2. Предположим вначале, что плотность р и вязкость р, жидкости мало зависят от давления и их можно считать постоян­ными, равно как и проницаемость блоков k2. Тогда выражение для q должно быть инвариантным относительно выбора начала отсче­та давления и может зависеть лишь от разности р\—р2. Таким образом, q зависит от размерных величин р2—ри р, ц, k2, I.

Заметим теперь, что вследствие безынерционности движения раз­мерности проницаемости, давления и вязкости могут быть выбраны независимо, при одном лишь условии [k2\ [р] [[а]-1 = L2r_I; по той же причине можно считать, что размерность массы М не связана

С размерностью давления или вязкости. Отсюда следует

Р"2~Р\

<7= а

Н - /

Где а — безразмерная постоянная, характеризующая геометрию сре­ды. Соотношение (II 1.93) должно быть уточнено в случае, если плот­ность жидкости р и вязкость ее (а зависят от давления.

Например, при фильтрации термодинамически идеального газа имеем

21 р^

Где ро — давление, отвечающее плотности ро.

Трещинная пористость /лі обычно мала, и ею в большинстве случаев можно пренебречь, если среда трещиновато-пористая (но не чисто трещиноватая), а пористость блоков т.2 считать функцией обоих давлений р\ и р2. Ограничиваясь линейным приближением, имеем соотношение

+ (III.95)

Где величины Ргь Р22 и т2о можно считать постоянными.

Изменение пористости т, как обычно, следует учитывать лишь в тех выражениях, где она дифференцируется. Кроме того, по­скольку т входит в уравнения только в произведении с плотностью р, изменения пористости существенны лишь в случае слабо - сжимаемой (капельной) жидкости; при фильтрации газа ими можно пренебречь. Ограничиваясь случаем капельной жидкости, имеем

Р = Ро [1 + Мр — Ро)], (III.96)

Где р = рі, р2 — в зависимости от того, рассматривается жидкость в трещинах или в блоках.

Подставляя выражения (111.90), (II 1.95) и (111.96) в (III.91) и (III.92) и полагая т\ = 0, имеем систему уравнений

Ро д I, др\\ ар0£2р2 — Pi

-Ik - \ ар° 2Рг~Pl _ о -

Dxt\ Ч dxt) /г fj -

-СРО [-р« + (Ї22 + Р.) Щ + ^^ = 0. (III.97)

Чаще всего рассматривается случай, когда среда однородна и изотропна, так что проницаемость выражается шаровым тензором кц — куЪц. При этом система (III.97) принимает простой вид:

P-Vp - - Л(Р2-Рі) = 0, *Vpi-4(p2-p,) = 0, (III.98)

Где

Л Ak* - в - Р21

+ (Р22 + Р.) Р22 + f»*"

Из системы (III.98) можно исключить одно из давлений. Опре­делив из второго уравнения р2 и подставив полученное значение в первое уравнение, имеем

Дрх dV*Pi X 2 X kxl*

~ді V Р,; 02= Л(1_р)= а^(1_р) . (III.99)

В пределе при т]-»-0, что соответствует беспрепятственному обмену жидкостью между блоками и трещинами, уравнение (III.99) переходит в обычное уравнение упругого режима с коэф­фициентом пьезопроводности х/(1—р). Нетрудно видеть, что этот коэффициент пьезопроводности отвечает проницаемости си­стемы трещин и пористости и сжимаемости блоков.

Особенности постановки задач фильтрации в трещиновато-пористых средах. Уравнение (111.99) и система (III.98) обладают рядом особенностей, которые на первый взгляд кажутся необычными и причина которых лежит в вырожденном характере рассматриваемой системы, относящейся к среде с пренебрежимо малыми трещинной пористостью и про­ницаемостью блоков. В связи с этим представляет интерес иссле­дование свойств решений этой системы.

Заметим, что уравнению вида (III.99) удовлетворяет не только давление рь но и давление р2 и, следовательно, любая их линей­ная комбинация. Чтобы убедиться в этом, достаточно второе урав­нение (II 1.99) умножить на р/Л и продифференцировать по t, а затем прибавить к исходному уравнению. После этого из системы (III.98) легко исключается р\. Это показывает, что обоим давлениям и лю­бой их комбинации присущи те свойства, которыми должно обла­дать любое решение уравнения (111.99). Вместе с тем, как нетрудно убедиться, не все эти линейные комбинации равноправны. Среди них есть одна, а именно р =р2 — (Зрі, которая должна быть непре­рывной по времени в замкнутой области определения решения, включая и границу t = 0. Действительно, пусть надо найти огра­ниченное решение системы уравнений (II 1.98) в пространственной области D при 0 < ^ < Т; заданы начальные распределения дав­лений pi и р2. Интегрируя первое уравнение (111.98) по мало­му промежутку времени 0<г<є и устремляя є к нулю, на­ходим

Limp(;t, t) — р (х, 0).

Представим теперь второе уравнение системы (III.98) в виде:

—Ар+ (1 — РМ/Л + *V2y0I = 0.

Если выбирать достаточно малые моменты времени, то первый член этого выражения будет стремиться к своему начальному зна­чению р(х, 0). Следовательно, к такому же значению с обратным знаком будет стремиться и сумма двух других членов. Поэтому для того, чтобы давление р\ (х, t) было непрерывным при t -> 0, не­обходимо, чтобы начальное распределение рі (х, 0) удовлетворяло уравнению

*у2рі + (1-р)Лр, = Ар(х, 0) (III.100)

При соответствующих граничных условиях. В противном случае давление рі (х, t) в трещинах при t = 0 скачкообразно изменяется в соответствии с уравнением (III.98). Если р Ф 0 и поэтому р Ф р2, происходит также и мгновенное перераспределение давления в по­рах р2 при неизменном р. Это имеет простой физический смысл. Изменение давлений р\ и р2 вызывает изменение массы жидкости, заполняющей пористые блоки, что приводит к перетоку некоторого количества жидкости из блоков в трещины или обратно. Если из­менение массы жидкости конечно (не бесконечно мало), оно требует конечного времени, так как происходит под действием ограничен­ных сил давления, которые не могут вызвать бесконечно больших скоростей перетока. Это показывает, что мгновенное изменение мас­сы, заключенной в блоках жидкости, невозможно, а следовательно, невозможно и мгновенное изменение приведенного давления р = = Р2 — РРь однозначно связанного с этой массой. Если же р\ и р2 одновременно изменяются скачком таким образом, что приведенное давление р не меняется, то перемещения жидкости не происходит и такое согласованное мгновенное изменение давлений возможно. Если учесть также собственный объем трещин, то появится также и другая независимая комбинация давлений р', определяющая из­менение эффективного объема трещин; давления р\ и р2 окажутся непрерывными при t = 0, и необходимо будет задавать их началь­ные значения отдельно.

Другая особенность системы (111.98) заключается в том, что в ней исключен за малостью поток жидкости непосредственно по пористым блокам. Поэтому выравнивание разности поровых давлений между двумя соседними точками среды может проис­ходить лишь посредством обмена жидкостью между блоками и трещинами и перемещения ее по трещинам. В результате в тре­щиновато-пористой среде, описываемой уравнениями (111.98), могут существовать разрывы непрерывности (скачки) порового давления, которые не исчезают мгновенно (как при упругом ре­жиме), а затухают во времени по экспоненциальному закону. Чтобы убедиться в этом, установим условия на скачках для реше­ний системы (111.98).

Рассмотрим изолированную поверхность разрыва £. При выводе условий на скачках ее можно считать плоской и принять за плос­кость х = 0.

Проинтегрируем второе уравнение (111.98) по л: в пределах от —є до є. В силу ограниченности р2, Рь д2рі/ду2 и d2pi/dz2 при s 0 имеем

Таким образом, производная дрі/дх, а вместе с ней и само дав­ление в трещинах р\ непрерывны на поверхности £.

Запишем теперь первое уравнение системы (III.98) для точек впереди поверхности разрыва (х = +0) и для точек за этой поверх­ностью (*=—0), обозначая соответствующие значения знаками + и —, и вычтем полученные уравнения друг из друга. Имеем

3 (Pt - РЇ) + А[ (р+ _ р+) _ (рГ _рг)]=0.

Dt

По доказанному, [pi] = pt — pi =0, так что для скачка давле­ния [р2\ = pt — рТ имеем

D[p2Vdt+A[pd = 0. (III.101)

Таким образом, скачки порового давления р2 должны удовлет­ворять уравнению (III. 101) или после интегрирования

[р2] =[р2]оехр(—At). (III.102)

Здесь через [р2]о обозначен начальный скачок в момент t = 0. Допустим теперь, что вблизи поверхности 2' (являющейся или не являющейся поверхностью разрыва давления р2) производная дрі/дх непрерывна. Тогда первое уравнение системы (III.98) можно вне поверхности Е' (принимаемой за плоскость х = 0) продифференци­ровать по х, получив при этом

(III.103)

Применяя к этому уравнению те же рассуждения, что и выше, и используя непрерывность производной дрі/дх на поверхности получим

Отмеченные особенности решений уравнения (111.99) и систе­мы (III.98) порождают соответствующие особенности в постанов­ке граничных и начальных условий, которым должны удовлетво­рять эти решения.

Прежде всего, как уже было сказано, нельзя требовать, чтобы при стремлении t к нулю оба давления (в порах и трещинах) при­нимали заранее заданные значения pi (0, х, у, z); р2(0, х, у, z). Обязательно соблюдение условия непрерывности приведенного дав­ления р — Р2 — Ррь тогда давление в трещинах pi определяется из

Уравнения (III. 100) и может оказаться разрывным. Таким образом, начальное условие будет иметь вид:

Р (0, х, у, г) = р2 (0, х, у, z) — $p\ (0, х, у, z) = /(*, у, z). (III.105)

В свою очередь, при стремлении к границе области лишь дав­ление в трещинах рі должно быть непрерывно вместе со своими производными.

Динамические процессы в окрестности сква­жины. Хотя уравнения нестационарной фильтрации в трещино­вато-пористом пласте и сложнее уравнений пьезопроводности, будучи линейными, они допускают полное исследование стандарт­ными методами. Проследим специфику переходных процессов в трещиновато-пористой среде на примере течения вблизи скважины.

Рассмотрим осесимметричную задачу, предполагая, что в пласт, находящийся при постоянном давлении Ро = 0, начинается закачка жидкости с расходом Q через скважину пренебрежимо малого радиуса.

В цилиндрических координатах рассматриваемая задача сво­дится к решению уравнения

Дрі д( І д дрЛ і д ( дРЛ

ІН ~ У дГ\Т дг Г ~dFj ==%TdF\r Wj <IIL 106>

При условиях

Р\ (0, г) = 0; рх (t, со) = 0; (г = —Р* (0- (ІН-Ю7)

Эта задача сформулирована для давления в трещинах pi; при желании ее можно сформулировать для давления в пористых бло­ках р2■ Тогда краевое условие при г = 0 примет вид:

( дрА і, д ( дрА

Остальные условия и основное уравнение останутся без изменения.

Применяя к соотношениям (III.106) — (III.107) преобразование Лапласа, получаем

{rw\=r-p*> = (III. 108)

Этим условиям удовлетворяет решение

(III.109)

Где Ко— функция Макдональда, так что по формуле обращения при р* = const (пуск с постоянным дебитом)

C+t°°

= ^ J е^Ко(("1-110)

С—ioo

Этот интеграл может быть сведен к интегралу по вещественной переменной. Проанализируем лишь асимптотику полученного реше­ния при малых значениях параметра р = 2~xriVxt. Представим вы­ражение (III. 110) в виде:

Оо

С—Іоо

При - q/xt 1 рассматриваемое выражение переходит в известную формулу теории упругого режима (см. § 4 гл. III). Если же - q/xt > 1, то аргумент функции Макдональда равномерно мал, так что для нее можно воспользоваться приближенным представлением

Ko(z) = -(c + ln-f-) + o(I).

В результате получаем

Pl(t, r) = -/>JC + ln(2-WV^)], r(*f)-,/2« 1, xf/ЖІ. (III.112)

Смысл соотношения (III.112) прост: оно означает, что если характерное время трещиновато-пористой среды 6=г|/х не слиш­ком мало, существует промежуточный квазистационарный ре­жим, когда жидкость, поступающая из скважины, поглощается ближайшими к ней блоками. Лишь тогда, когда давление в бло­ках в окрестности скважины сравняется с давлением в трещи­нах (т. е. по истечении времени — 0), начинает сказываться обмен жидкостью с более отдаленными участками пласта.

Отметим еще одно обстоятельство. Соотношение (III.112) показывает, что существует некоторый промежуток времени г2/х <С^<С0> на протяжении которого давление в скважине не ме­няется. Если временем г2/х можно пренебречь (обычно это сотые доли секунды и менее), то из (III.112) следует, что при скачко­образном изменении дебита скважины давление в ней изменяется скачком, а затем сохраняет постоянное значение на протяжении времени ~ 6. Это действительно наблюдается на практике и мо­жет быть использовано для оценки характерного времени 0. Допустим теперь, что дебит скважины изменяется периодически по гармоническому закону, так что

/>* = (II 1.113)

Тогда в пласте со временем установится периодическое распре­деление давлений

Р(г, 0 = Р{г)еш, (III. 114)

Где Р (г) — комплексная амплитуда колебаний давления. Выражение для нее можно получить либо из задачи (III.106) — (III.107), либо по известным правилам операционного исчисления.

В результате получим

(ІПЛ.5)

Проанализируем это выражение при малых и больших значе - иях г — г (ю/х)1/2. Если (например, когда измерения производятся непосредственно в скважине) г < 1, то можно воспользоваться из­вестной асимптотикой

Ко (z) — — (С + In г/2) +0 (z2).

Полагая здесь г = (ї/(1 + і-ц)1/2г, получим

Если

Г«(х/и,)1/2, Ш0»1, (Л2/* « 1/и, « 6, R2«^),

То

P(r)/P, = — С + In (2—*/2). (III. 117)

Колебания давления в окрестности скважины происходят син­хронно с колебаниями дебита, причем таким образом, как если бы мы имели квазистационарную фильтрацию в пласте радиуса

R = 2e<V/2 = 3,56tj'/2. (III.118)

При фиксированной амплитуде колебаний дебита амплитуда ко­лебаний давления не зависит от частоты. Если юб С 1, то P(r) = —С+ In fr (m/*),/2/2J + 1/4ііг (III. 119) и возникает сдвиг фаз, равный

Г 2 2 —\ 1 /2

9(«) = агс^/іп^];|Р(г)|/Р.= ^ + 1п«^ VI) . (ІІІ.120)

Такая асимптотика соответствует обычному упругому режиму; амплитуда колебаний давления падает с ростом частоты. Таким образом, с ростом частоты амплитуда колебаний давления падает, а сдвиг фаз возрастает примерно до со — х/г] = 1 /б, затем сдвиг фаз начинает падать, а амплитуда колебаний давления остается постоянной. Это обстоятельство может быть использовано для оценки характерного времени 6 трещиновато-пористого пласта по наблюдениям колебаний давления при периодическом возбуж­дении скважины.

Движение в слоистых пластах. Близкие по характеру задачи возникают при исследовании фильтрации в слоистых пластах. Например, если движение происходит в двух лежащих друг над другом пластах, отделенных слабопроницаемой пере­мычкой, то давление в каждом из них следует уравнению упруго­го режима, в правую часть которого входит интенсивность пере­тока между пластами. Эту интенсивность в большинстве случаев можно считать пропорциональной разности давлений в соответст­венных точках пластов. Сходство возникающей задачи с задачей фильтрации в «двойной» пористой среде очевидно.

Из всего разнообразия задач этого цикла мы рассмотрим здесь лишь одну — задачу об истощении пласта, граничащего с пластом

Большой мощности, но малой проницаемости. Она представляет большой интерес в связи с оценкой запасов нефти и газа некоторых месторождений.

Предположим, что область фильт­рации имеет вид, приведенный на рис. 35. Допустим, что пласты I и II сложены породами одинаковой по­ристости, но существенно различной проницаемости, так что kh^kiH, хотя Н > h.

Будем рассматривать истощение системы, предполагая, что вна­чале она находилась под давлением Ро, а с момента t = 0 начи­нается отбор жидкости через нижний пласт в сечении х = О, причем давление на всей линии х = 0 одинаково, а отбор жидкости Q со­храняется постоянным. Система считается замкнутой, т. е. границы АВ, ВС и CD непроницаемы. При этом задача сводится к решению совокупности уравнений

Dt \дх

= X! f^ + ^j (0<y<H, 0<x<L) (III.121)

При условиях

(*!)„_.• (ш.122)

—п

При сделанных предположениях (тонком нижнем и слабопрони­цаемом верхнем пластах) постановку задачи можно упростить.

Заметим, что в силу равенства граничных значений давления в обоих пластах при у = 0 производные по х от давления в этих пластах —одного порядка, а следовательно, скорость фильтрации в направлении оси х в верхнем пласте пренебрежимо мала (по усло­вию k\Н <^kh). Вместе с тем скорости фильтрации в направлении оси у совпадают при у = 0, что может быть только в случае, если изменение давления в направлении этой оси в верхнем пласте про­исходит быстрее, чем в нижнем. Отсюда следует, что

Д2р/ду2 » д^р/дх2, у> 0.

Поэтому второе уравнение системы (III. 121) можно записать в виде:

Др/ді = %\д2р/ду2, у> 0. (III.124)

Первое уравнение, относящееся к нижнему пласту, можно осред - нить по мощности. Имеем

ДР_ <рр_ /др\ _ д-р /др\

Dt ~хдх2 + h [ду)у=_0-хах* +hk \ду)и=+0'

P = - jfjhpdy. (III. 125)

Наконец, заменим условие р = р \у=—о на р\у=+0= Р - Со­вершаемая при этом ошибка мала при малой толщине h нижнего пласта. В результате возникает следующая упрощенная задача:

Dp/dt = *,д2p/ду2 (р = р (х, у, і), у > 0),

Р(х, у, 0) = Р(х, 0) = Ро, р(х, 0, t) = P(x, t), (III. 127)

Dp ду

= 0, — Q = const, ~ =0. (III.128)

,/=H p. dx U=o 4 dx —' v '

Решение этой задачи легко получить операционным методом. Не приводя его полностью, выпишем формулу для изображения от давления на галерее ро — Р (0, і). Имеем

Ро =

Отсюда легко получить несколько простых выражений, отвеча­ющих различным временам с момента пуска галереи.

Пусть прежде всего время t настолько мало, что возмущение, возникающее на галерее, не достигло непроницаемых границ систе­мы; t С L2I% < Н2/%\. При этом в (II 1.129) можно ограничиться асимптотикой о > xL—2 хіЯ~2. Для таких значений а гиперболи­ческие тангенс и котангенс можно заменить их предельными зна­чениями при a-у оо, равными единице.

Учитывая, что в данном случае k\%lkh j/o*i <С 1, имеем

Ро qVy.( о

Р°~т =—[а + - шуг1)

+ (IIL130)

Следовательно,

Po(0 = ^o+2j/ + j/ ±qt+ ... (ПІ.131)

Таким образом, на первой стадии движения влияние верхнего слабопроницаемого пласта сказывается лишь в добавлении малых членов, порядка /1/2 по сравнению с главными.

Первое из выражений (III.133) отвечает движению в высокопро­ницаемом пласте в пренебрежении притоком из малопроницаемого; согласно второму изменение давления определяется в основном притоком из верхнего пласта. Наконец, при еще больших време­нах, / > #2/хі, начинается вторая фаза фильтрации в верхнем плас­те (истощение верхнего пласта).

При этом

(III.134)

Таким образом, для двуслойного пласта рассматриваемого вида отчетливо выделяются два периода движения при эксплуата­ции на истощение. На протяжении первого периода истощается первый пласт, а движение в малопроницаемом верхнем пласте незначительно, на второй стадии нижний пласт практически пол­ностью истощен, и происходит истощение верхнего пласта.

Если по данным о падении давления по мере отбора на первой стадии подсчитать запасы жидкости или газа в пласте, то получим лишь запасы в нижнем пласте Vo — mhbL, что значительно меньше истинных запасов V = (mh + ш\И) bL. Это обстоятельство оказы­вается существенным для ряда месторождений.