ОСНОВЫ ТЕОРИИ ПРОЧНОСТИ СВАРНЫХ КОНСТРУКЦИЙ

ТЕНЗОР И ДЕВИАТОР НАПРЯЖЕНИЙ, ИХ ИНВАРИАНТЫ

Поскольку сами по себе компоненты напряжений зависят от вы­бора осей координат, при анализе напряженного состояния мате­риала и его прочности необходимо напряжения выражать через ин­вариантные величины, которые не зависят от выбора осей координат.

Тензором напряжений называется таблица из девяти напря­жений, которые при повороте осей координат преобразуются в соответствии с формулами (2.11):

В результате поворота координатных осей все компоненты тен­зора Та изменяются. Можно так повернуть координатные оси, что­бы остались неравными нулю только его компоненты с одинако­выми индексами, расположенные на диагонали:

"а 0 0"

Т„ = 0 а 0 , (2.14)

0 0 а

где а может принимать три значения: стг, а2, а3, которые называ­ются главными нормальными напряжениями.

От поворота координатных осей напряженное состояние мате­риала не может измениться. Поэтому тензор (2.13) должен быть равен тензору (2.14). Разность этих тензоров приравнивается нулю:

Если тензор равен нулю, то равен нулю и его определитель. Раскрывая определитель по минорам первой строки, получим:

(ахх - a)[(ayy - a)(azz - а) - azyayz] - - axy[ayx(azz - а) - azxayz] + axz[ayxazy - azx(ayy - а)] = 0.

Последнее, кубичное относительно а, уравнение приводится к виду:

а3- I1 а[1]-I2 а-13 = 0, (2.15)

где I1, I2, I3 — инварианты тензора напряжений Та, т. е. скаляры, не зависящие от поворота координатных осей и однозначно ха­рактеризующие интенсивность напряженного состояния:

Три решения кубического уравнения (2.15) дают значения трех главных нормальных напряжений (а1, а2, а3).

Главные напряжения являются компонентами тензора (2.14), равного исходному тензору напряжений (2.13). Их можно вычис-

ЭЛЕКТРОННАЯ БИБЛИОТЕКА

Гидростатическое напряжение не может вызывать пластиче­ской деформации. Чем оно больше (по арифметической величине), тем меньше пластичность материала при вязком его разрушении.

Гидростатические напряжения приводят только к упругому растяжению или сжатию материала. Поэтому при анализе пла­стических деформаций из тензора напряжений Та целесообразно вычесть гидростатические напряжения. В результате получается девиатор тензора напряжений Da, т. е. та часть тензора напряже­ний, которая управляет пластическими деформациями:

Производя над девиатором напряжений те же операции, что над тензором напряжений, можно вычислить его инварианты.

Если обозначить главные компоненты девиатора напряже­ний S, а инварианты — J, то уравнение (2.15) для девиатора на­пряжений запишется как:

S3 - J1 • S2 - J2 • S - J3 = 0. (2.20)

Формулы для инвариантов девиатора можно получить, если в формулах (2.16) нормальные напряжения аи заменить на разность

qii qm:

J1 = (oxx - Om ) + (oyy - Om ) + (ozz - Om ) = 0;

J2 ~~(<Jxx - Om ) ' (oyy - Om ) - (oyy - Om ) ' (ozz - Om ) - ~(®zz ~ ) ‘ (^xx _ ) qxy Oyz ^ 0Zx ;

J3 = (axx - Om ) ■ (oyy - Om ) ' (ozz - Om ) - (axx - Om ) ' °yz -

~(ayy - Om ) ' -(ozz - Om ) ■ + 2ox

Большое значение в дальнейшем будет иметь второй инвари­ант девиатора напряжений, который определяет условия пласти­ческой деформации материала. Раскрыв скобки, для этого инва­рианта получим:

а после группировки членов суммы:

x

Теперь раскроем правую часть выражения (2.18) для средних напряжений:

J2 - 3 • (exx +Vyy +О22 ) • (exx +Vyy +О22 ) - 3 •(1 X X (^XX ^ в// ^ в 22 ) в 22 " ^yy в22 " ^XX ЯУУ " ^XX ^ в Xy ^ в/2 ^ ®ZX —

— "3 ^ (^XX ^ Я// ^ в22 ) в22 " ^yy в22 " ^XX

- вуу ■ вXX + V2xy + Ъ2У2 +°L — 01 • [2eXx + 2я2/у + 2eL -

— 2exx ‘ вуу — 2вуу " в22 — 2в22 ‘ вXX ^ 6(^Xy ^ в/2 ^ в ZX )].

Из последней формулы следует, что второй инвариант девиа - тора напряжений составляет:

J2 ~ 10 ‘ [(°XX — Ъуу ) ^ (^уу — ®22 ) ^ (^22 — ®XX ) 6 ‘ (®Xy ^ ^/2 ^ ®ZX )].

6 (2.21)

Если величина J2 определяет условия пластической деформа­ции при любом напряженном состоянии, то по ней целесообразно определить эквивалентное напряжение (или интенсивность напря­жений) a;, которое соответствует растягивающему напряжению axx при одноосном растяжении стандартных круглых образцов:

°; = A 4JJ2 = 0XX,

где А — постоянный коэффициент, который нужно найти из усло­вия, что последнее уравнение справедливо, когда в выражении (2.21) все компоненты напряжений, кроме axx, равны нулю. Запи­шем это уравнение:

A ^6• [(°xx -0)2 + (0-0)2 + (0-axx)2 + 6• (02 + 02 + 02)] ^.

Откуда, после сокращения на axx, следует, что постоянная A = V3, и, следовательно, интенсивность напряжений можно вы­числять по формуле:

CTi =J1 • [(CTXX — °уу )2 + (°уу — СТ22 )2 + (СТ22 — °XX )2 + 6 • (CTXy + ^2 + ^ZX )].

(2.22)

При плоском напряженном состоянии главные компоненты девиатора напряжений можно найти из (2.19), если девиатор при­равнять соответствующему тензору, состоящему только из глав­ных компонентов:

где S — главные компоненты девиатора напряжений.

Выразив гидростатические напряжения ат через нормальные напряжения axx и ayy, получим:

yx yy 2 Вычитая из обеих частей равенства его правую часть, получим уравнение для неизвестной S:

Раскрывая определитель, получим квадратное уравнение:

°Ж _ S 1-І °yy fxx _ S-Oyx-Oxy = 0

или

S2 _ I CTxx Qyy

откуда главные компоненты девиатора напряжений вычисляют­ся по формуле:

Из выражения (2.23) видно, что если координатные оси совмес­тить с главными осями, то axx = ст1; ayy = ст2; axy = ayx = 0. Тогда:

Sl,2 ^(^2^ ) = T1,2.

Если координатные оси повернуть на 45° относительно глав­ных, то axx = ayy и S1,2 = ±®xy = х1,2. Следовательно, главные ком­поненты девиатора напряжений S1,2 всегда равны главным каса­тельным напряжениям т1,2, действующим всегда на площадках, наклоненных под углом 45° к главным нормальным напряже­ниям.