НЕВЕРОЯТНО - НЕ ФАКТ

А ТЕПЕРЬ О ПОГОДЕ

Вряд ли есть радиопередача, пользующаяся большей популярностью, чем сообщение о погоде. Хорошая по­года для человека — это залог хорошего настроения. Ведь план ближайшего дня иногда сильно зависит от погоды, не говоря уже о планах отпуска.

Прогноз погоды слушают внимательно: негодуют,

когда он не выполняется, радуются удачам метеоро­логов.

Метеостанции, раскиданные по всем уголкам зем­ного шара, ведут систематические наблюдения за по­годой уже много десятков лет. Ими накоплен огромный материал о температуре воздуха и почвы, об облачно­сти и ветре, о давлении и количестве осадков. Хотите узнать, какая температура воздуха была в 10 часов утра 12 июля 1927 года в городе Ефремове? Пожалуй­ста, порывшись в архивах, вы найдете эти сведения. Все они обрабатываются по тем правилам, которые мы обсуждали.

Для каждого элемента погоды построены самые разные кривые распределения. Ведь не угадаешь напе­ред, какие случайные величины заинтересуют специа­листа, планирующего сельскохозяйственные работы, и курортника, интересующегося погодой в прогулочных целях. В метеорологических справочниках приведены средняя годовая температура, средняя месячная тем­пература, средняя максимальная температура (для каждого дня всегда отмечается верхняя отметка, до ко­торой добиралась ртуть термометра), средняя мини­мальная температура... Все эти величины подвержены 5еспорядочным (и систематическим) колебаниям. По­этому интересны средние отклонения от средних значе - •шй для всех этих величин.

В этом году я собираюсь поехать встречать Новый год в Сухуми или Гагру. Перед принятием такого ре - ления я выписал из библиотеки справочник по климату и с нудной дотошностью ученого деятеля стал анализи­ровать данные о погоде этих мест.

Оказалось, что у меня есть шансы попасть в настоя­щую жару. В городе Сухуми в январе был однажды зафиксирован абсолютный максимум температуры в 24 градуса. Вспомнив, о чем писал на предыдущих страницах, я решил не полагаться на мизерную веро­ятность повторения такой температуры в эту зиму и в соответствующей таблице нашел «средний из абсо­лютных максимумов». (Это вот что такое. Каждый год отмечается максимальная температура января, февраля и т. д. «Среднее», о котором говорится, было выведено чуть ли не за 100 лет.) «Средний абсолютный макси­мум» оказался равен 18 градусам. А на такую темпе­ратуру, хотя бы в течение одного-двух дней, уже можно рассчитывать даже невезучему субъекту. Восемнадцать градусов в тени — этого совершенно достаточно, чтобы с полным наслаждением загорать; а загорать на солнце в январе — это совершенно превосходно. Значит, беру отпуск в январе.

Но, скажет внимательный читатель, знание одного лишь среднего значения абсолютных максимумов со­вершенно недостаточно, чтобы судить о вероятности события. Ведь нормальная кривая может быть очень плоской, колокол может быть невысоким, и тогда веро­ятность среднего будет невелика.

Правильно. Такие 18 градусов — сомнительный за­лог блаженства. Я продолжаю листать справочник и нахожу то, что требуется. Другая таблица дает значе­ние «среднего отклонения» «средней максимальной тем­пературы» от «многолетнего среднего январского»: это 2 градуса. («Среднее отклонение» — это еще одна ха­рактеристика ширины кривой нормального распределе­ния. Полуширина кривой, с которой мы подробно зна­комили читателя, немного больше «среднего отклоне­ния».)

Как получены эти 2 градуса? Предположим, в 1900 году средняя январская температура равнялась 15 градусам, в 1901 году -- 14, в 1902 — 18, в 1903 — 20, в 1904 — 17 и т. д. Поместив рядом, в следующей графе таблицы, абсолютные отклонения от среднего (то есть от 18 градусов), получим для 1900 года — 3, 1901 — 4, 1902 — 0, 1903 — 2, 1904 — 1 и т. д. Теперь остается сложить эти цифры за все годы наблюдений п разделить на число лет. Так были получены эти 2 градуса.

Добыв «среднее отклонение», я значительно про­яснил условия проведения своего отпуска. То есть могу достаточно смело рассчитывать на то, что встречусь с такими днями, когда температура будет лежать в пре­делах 16—20 градусов. Ну а будут ли отклонения от 18 градусов больше 2? Возможно. Но если температу­ра не поднимается выше 14 градусов (отклонение в два раза больше среднего), то я буду считать, что мне не повезло. Если же за месяц пребывания в Сухуми стол­бик термометра не пересечет 12 градусов — это уже редкостное невезение, и старожилы скажут, что такого они не помнят.

На этом можно было бы закончить разговор о ме­теорологических исследованиях, но я засомневался в его исчерпывающей полноте. Наши рассуждения насчет ве­роятности отклонений справедливы в том случае, если распределение температуры подчиняется нормальному гауссову закону. А подчиняется ли оно на самом деле? Данные о «среднем значении» и о «среднем отклоне­нии» от среднего — это хорошо, а «полная кривая рас­пределения» все-таки лучше. Какова она?

Составители справочника предусмотрели и такой за­прос и привели данные для построения многолетней средней кривой распределения максимальных темпера­тур января. Согласно этим данным ниже нуля темпера­тура в январе не наблюдалась ни разу. В среднем

2,2 дня в январе имеют температуру между 0 и 5 гра­дусами (можно сказать и так: вероятность темпера­туры между 0 и 5 градусами в январе в городе Сухуми равняется 2,2/31, то есть 0,07 (семь процентов шансов). Температура между 5 и 10 градусами наблюдалась в среднем в течение 11,3 дня января; между 10 и 15 градусами— 12,4 дня; между 15 и 20 — 4,7 и, нако­нец, между 20 и 25 градусами — 0,4 дня. Я построил кривую и увидел, что все в порядке — получилась нор­мальная колоколообразная кривая.

Дни с температурой выше 10 градусов (в Москве в это время мороз и заносы) я считаю превосходной погодой: можно загорать, купаться, ходить на водных

лыжах, кататься на катере. А таких дней в среднем за месяц будет 17,5, то есть больше половины. Значит, ве­роятность хорошей погоды одна вторая: орел или реш­ка? Можно рискнуть — взять отпуск в январе и по­ехать загорать в Сухуми.

Итак, вы видите, что справочник по климату может великолепно служить руководством к действию: при его помощи можно делать определенные прогнозы. Не­которые предсказания оказываются почти категориче­скими: в январе в Сухуми температура ниже 0 не опус­кается, до плюс 12 в какие-то дни она повысится непре­менно и т. д. Менее решительные суждения могут быть сформулированы в виде предположений. И кой-какие прогнозы можно делать и без глубоких соображений. Разумеется, носят они вероятностный характер, но сохраняют этот характер и в том случае, когда их де­лают специалисты.

— Это ни на что не похоже, — сказала она тоскли­во. — Пропал весь отпуск. Дождь и дождь не переста­вая. Сколько можно! А еще говорят, что этот месяц обычно не очень дождливый.

— Старожилы говорят, что такого не помнят, — сказал он. — Аномалия. Не повезло. А что сказало бю­ро погоды?

— Обещают на завтра такую же погоду, как сего­дня, — и после паузы: — Слушай, давай уедем, черт с ними, с путевками.

— Не угадаешь. Уедешь, и как раз дожди кончатся. Хоть бы наука помогла. Вычислить вероятность про­должения дождей, что ли, а потом решить?

— Разве можно такие вещи вычислять? — с недо­верием спросила она. — А потом... ну, допустим, вычис­лишь, получишь 30 процентов за дождь, а 70 против. Решим остаться и... проиграем. При 70 проиграть не так уж трудно.

Честно говоря, я не решился бы дать совет этой паре. Проиграть не так уж трудно и при шансах на вы­игрыш в 90 процентов. Но все же, если следовать ве­роятности всегда, то, подводя итоги, придешь к выводу, что расчеты помогли.

Что же касается возможности рассчитать, будет ли дождь идти завтра после того, как он уже льет целую неделю, то она имеется. Существует довольно простая формула математика прошлого Томаса Бейеса, опубли­кованная впервые в 1763 году в его посмертной работе «Опыт решения одной проблемы теории вероятностей». В ней впервые был поставлен вопрос о том, как может быть использована теория вероятностей для составле­ния того или иного суждения о явлении, располагая лишь ограниченным рядом наблюдений. Пусть перед нами урна с шарами. Шары могут быть только белы­ми, могут быть только черными, а могут быть и белые и черные, то есть состав шаров — смешанный. Мы ска­жем, что любой состав урны имеет равные априорные вероятности.

(Что такое априорные? Латынь, которая обильно украшала научные сочинения прошлого, вышла сейчас из моды, но некоторые слова оказались стойкими. К ним относятся a priori и a posteriori, что означает «до опыта» и «после опыта». Впрочем, даже и в этом случае мы предпочитаем вводить соответствующие рус­ские прилагательные.)

Предположим, мы вытащили один шар: он оказался белым. Ситуация после этого сразу изменилась, по­скольку уже ясно, что предположение, будто все шары черные, надо отбросить. А если мы вытащили 5 белых шаров подряд? Этот факт сильно повышает вероятность гипотезы, что в урне много белых шаров. Можно ли выяснить, какова вероятность, что белых шаров 100 про­центов, или 90, или 80, после того, как произведен опыт? Или короче — какова априорная вероятность того, что в урне столько-то белых шаров после того, как мы вытащили из урны 5 белых шаров?

Вот такие и подобные проблемы решал Бейес в сво­ей работе.

Одна из формул, выведенных Бейесом, отвечает на вопрос, который интересовал неудачливую пару, попав­шую в полосу дождей. Если какое-то событие произо­шло несколько раз, то можно высчитать, какова веро­ятность его свершения и в следующий раз. Формула, как говорилось, очень простая, и ее можно привести здесь, прибегнув — увы! — к алгебраическим символам, навевающим на некоторых все же страх или скуку:

Р — д, о (вероятность равна дроби, числитель ко­торой равен числу происшедших событий плюс еди­ница, а знаменатель равен этому же числу плюс два). Значит, если дождь идет один день, то вероятность, что он будет идти завтра, равна 2/з, если дождь идет два дня, то назавтра вы можете ждать такой же погоды с вероятностью 3Д, три дня — 4/5... восемь дней — 9/10. Просто, не правда ли?

Но если бездумно применять эту формулу, то мож­но прийти к абсурду. Например, я два раза набирал по телефону 01, вызывая пожарную команду, и она при­езжала: значит, если я буду вызывать ее третий раз, то она прибудет тушить пожар с вероятностью в 75 про­центов. Глупо ведь? Конечно, глупо. Или в этом году с Эйфелевой башни бросились и разбились две девуш­ки, обманутые женихами. Значит, следующая имеет шанс из четырех остаться в живых. Глупо? Конечно, глупо. Но при чем здесь наша простая формула? Про­читав внимательно работу этого превосходного матема­тика, мы увидим, что формула введена в предположе­нии, что о вероятности единичного события нам неиз­вестно ровно ничего, то есть что эта вероятность может быть любой — от 0 до 1.

Итак, формулу Бейеса следует применять в том случае, когда мы ровно ничего не знаем о единич­ном событии. Так ли обстоит дело с дождливой по­годой?

На основании многолетних наблюдений в городе Брюсселе установлено, что если дождь идет 1 день, то вероятность того, что он будет идти и завтра, равняет­ся 0,63; если дождь идет 2 дня — его вероятность на завтра равна 0,68, 3 дня — 0,70, 5 дней — 0,73. Соглас­но же формуле Бейеса мы должны были бы иметь 0,66; 0,75; 0,80 и 0,86. Хотя опыт и теория близки, пол­ного совпадения нет: формула оказывается несколько более пессимистична, чем реальная действительность.

Лучше совпадают с выводами теоремы Бейеса дан­ные, полученные при наблюдении смены температуры. По данным того же города Брюсселя, вероятность того, что завтра температура будет такой же, как и вчера, равна 0,75; если 2 дня температура была неизменной, то она останется такой же. и завтра с вероятностью 0,76; если 3 дня неизменна, то сохранится и завтра с вероятностью 0,78; если 5 дней, то с вероятностью 0,83, и если температура не менялась 10 дней, то с вероятностью 0,85 она останется той же и в 11-й день.

Как видите, предсказание по принципу «сегодня как вчера» имеет обоснование в теории вероятности. Боль­шинство прогнозов погоды носит именно такой харак­тер, а чтобы судить о научной мощи предсказаний, надо было бы скидывать со счетов все прогнозы типа «по­года остается без изменений». Кажется, так метеорологи и поступают, когда испытывают новые теории и схемы предсказания погоды. Предвидение потелления или по­холодания — вот в чем должно проявиться понимание законов климата.

Но вернемся к работе Бейеса. Мы проиллюстриро­вали примерами лишь одну из формул его теории, ка­сающихся вероятности повторения событий. Но оправда­ны также попытки предсказания будущего и тогда, ко­гда ряд событий неоднороден и состоит из чередую­щихся удач и неудач. В этом случае формула Бейеса меняется лишь незначительно: в ее знаменателе будет стоять полное число событий плюс 2. Например, если проведенная на курорте неделя (7 дней) порадовала нас всего лишь одним хорошим днем, то вероятность дождя на восьмой день нашего отдыха будет вычис - 6 + 1 7

ляться так: р=7+2=:"9'

Если в баскетбол играет сильная команда «Спар­так» со слабой командой, скажем текстильного инсти­тута, и если, придя с опозданием к началу состязания, мы узнаем, что счет 1 : 10 в пользу института, то мы все же не поставим и гривенника против рубля за команду студентов. Для предсказания исхода состяза­ния формула, о которой идет речь, явно без пользы. Она «работает» лишь в том случае, если нам ничего не известно о вероятностях выигрыша и проигрыша команд — участниц состязания. Вот если бы я не знал, кто играет, и не видел бы техники игры, тогда, зная счет 1 : 10, я действительно имел бы право сделать за­ключение: вероятность того, что следующее очко зара­ботает ведущая команда, равна п/13.

Интересно применение работы Бейеса в случаях, ко­гда наши заключения об исходе события делаются на основании комбинации априорного (доопытного) знания и знания результата опыта. Из полной колоды карт по­теряли одну. Какую — неизвестно. Некто просто «с по­толка» высказывает гипотезу, что потеряна пика. Ясно, что при отсутствии какого-либо дополнительного знания вероятность этой гипотезы равняется 74. Веро­ятность противоположного утверждения, что потеряна не пика, равна 3/4. Поскольку автор первой гипотезы настаивает на проверке своего утверждения, то стави-' опыт. Из колоды берутся две карты, которые оказы­ваются пиками. Нетрудно видеть, что сторонники вто рой гипотезы после этого опыта укрепляются в свое мнении, а шансы авторов первой упали.

Формулы Бейеса позволяют произвести и количе­ственные оценки. Можно рассчитать, насколько изме нились вероятности гипотез после того, как получен..

дополнительная информация. Мы не будем приводить формулы и производить вычисления, а подчеркнем лишь идейную сторону дела.

Довольно редко дело обстоит так, что после прове­денного единичного эксперимента ошибочные гипотезы смело могут быть отброшены, а единственно правиль­ная поставлена на пьедестал почета. Большей частью разовый опыт лишь изменяет вероятность достоверно­сти высказанных гипотез. Если одна из них «взяла верх» над другими не слишком значительно, то потре­буется и второй эксперимент, а может быть, и третий, и сотый. По мере накопления информации вероятность правильной гипотезы будет постепенно расти. Впро­чем, рост может быть и не монотонным, а на каком-то разе так называемая правильная гипотеза может здо­рово проиграть и даже совсем рухнуть. Так в примере урны с шарами дело может обстоять следующим обра­зом: вытянув десять черных шаров, мы уже почти уве­римся в том, что в ней нет шаров иного цвета, ан нет — одиннадцатый раз вытащили белый, и вопрос вновь остается открытым. В конце концов истина восторже­ствует и наступит ясность, и тогда опытное исследова­ние может быть прекращено, и результат обнародован.

Имеется ряд проблем, в которых вероятности гипо­тез могут быть достаточно хорошо вычислены на каж­дом этапе исследования в зависимости от полученного объема информации. В подобных случаях планирова­ние эксперимента может быть поручено ЭВМ. Машина будет оценивать вероятности всех гипотез после каж­дого шага и остановится тогда, когда вероятность од­ной из гипотез станет настолько значительной, что ее можно считать истиной.

Работы Томаса Бейеса лежат в основе современного подхода к эксперименту. Подход этот используется в генетических исследованиях, в теории военной стра­тегии, в исследовании движения ядерных частиц и во многих других областях деятельности людей.