НЕВЕРОЯТНО - НЕ ФАКТ

ЕСЛИ ВЕРОЯТНОСТИ НЕВЕЛИКИ

Во время войны довольно часто стреляли из вин­товок по вражеским самолетам. Может показаться, что это безнадежное дело; о прицельной стрельбе здесь и речи быть не может, поскольку лишь пули, про­бивающие бензобак или поражающие летчика, прино­сят результат. Было установлено, что вероятность удач­ного выстрела равнялась 0,001. Действительно мало. Но если стреляет одновременно много бойцов, то кар­тина меняется.

Примеров, в которых нас интересует вероятность многократно осуществленного события, обладающего малой вероятностью, множество. Например, с задачей попадания в самолет из винтовки полностью совпадает задача о выигрыше в лотерею по нескольким билетам.

Каждая серия «выстрелов» может быть как неудач­ной, так и закончиться одной удачей, а то и несколь­кими. Соответствующее распределение вероятностей было на'йдено французским математиком Пуассоном.

В любом математическом справочнике вы найдете формулу Пуассона, а также таблицы, позволяющие найти интересующую вас вероятность без расчета.

Средняя частота — это результат, идеально совпав­ший с предсказанием теории вероятностей. Если ве­роятность выигрыша равняется 0,01, то из ста билетов выиграет 1, а из тысячи — 10. Единица и десять это и есть средние частоты выигрыша для серий в сто я тысячу билетов. Конечно, средняя частота может быть

и дробным числом. Так, для серий в десять билетог при том же значении вероятности средняя частот;: выигрыша равняется 0,1. Это значит, что в среднек одна из десяти серий по десяти билетов будет содер­жать один выигрыш.

В таблицах Пуассона приводятся цифровые данные для всевозможных значений средних частот. Чтобы бы ло ясно, в каком виде нам сообщаются эти сведения и для общей ориентировки приведем несколько чисел характеризующих распределение вероятности при сред­ней частоте, равной единице. Вот эти числа.

Ста выстрелами при вероятности попадания в 0,01 или тысячью выстрелами при вероятности попадания в 0,001, или миллионом при вероятности в 0,000001, мы поразим цель один раз в 37 процентах случая, 2 раза в 18 процентах, 3 раза в 6 процентах... 8 раз лишь в 0,001 процента. А промахнемся сколько раз? Прома­хов точно столько же, сколько одноразовых попаданий, то есть 37 процентов.

Приведенные проценты, как и любые числа вероят­ностей, работают точно лишь для очень большого чи­сла серий. Если миллион людей приобрел лотерейные билеты, выигрывающие с вероятностью в 0,01, то 37 процентов из них не выиграют ни разу, а 37 процен­тов других лиц обязательно выиграют по одному биле­ту и т. д. Если же мы заинтересуемся выигрышами только 100 человек, то должны считаться с вероятными отклонениями от среднего. В «среднем» 37 из них не выиграют ни разу. Отклонения здесь от «среднего» не превысят 6~У"37. А с такими отклонениями, как мы уже знаем, следует считаться и помнить, что число неудачников будет находиться между 31 и 43. Конеч­но, не исключены и большие отклонения в обе стороны, но их вероятность совсем уж невелика.

Узнав из условий розыгрыша, что в среднем на сот­ню лотерейных билетов один выигрывает, владелец билетов будет считать себя несчастливым, если на его 100 билетов выигрыш не упадет ни разу. Если же ему не повезет несколько раз, то он, возможно, заподозрит устроителей лотереи в несправедливости. Однако сде­лаем простой расчет. Если вероятность одного «про­маха» равна 0,37 (37%), то вероятность двух «непопа­даний» равна квадрату этого числа (0,14), а трех — кубу (0,05). А это не'такие уж малые доли, чтобы де­лать столь решительные выводы.