НЕВЕРОЯТНО - НЕ ФАКТ

АЗАРТ И РАСЧЕТ

Мы закончили обсуждение игр, в которых участ­ник — пешка, которой ходит случай. Такие игры, как рулетка, штосс или кости, должны нравиться, с одной стороны, людям резкого, импульсивного действия (им нет времени подумать), а с другой стороны — людям сла­бовольным, которые охотно вверяют свою судьбу в чу­жие руки.

Игры, в которых надо принимать решения, значи­тельно интереснее и для литератора, и для психолога.

«Но вот, наконец, в три часа ночи игрокам пошла карта. Настал вожделенный миг, которого неделями ждут любители покера. Весть об этом молнией разнес­лась по Тиволи. Зрители затаили дыхание. Говор у стой­ки и вокруг печки умолк. И все стали подвигаться к карточному столу. Соседняя комната опустела, и вскоре человек сто с лишним в глубоком молчании тесно об­ступили покеристов».

Так начинается рассказ об игре в покер в романе Джека Лондона «Время не ждет». За столом пять иг­роков. Герой романа Харниш и его друзья Луи, Кернс, Кэмбл и Макдональд — все золотоискатели. Сцена борьбы — салун Тиволи в маленьком поселке на Даль­нем Севере.

Покер у нас мало распространен. Прошу еще раз у читателя извинения, что приходится уделять внимание столь малоуважительному занятию, как разъяснение правил карточной азартной игры покер. Кстати говоря, слово «азарт» приобрело в русском языке новый смысл. Ведь это перевод французского слова hazard, что озна­чает «случай» (до революции писали — азардные иг­ры). Так что азартные игры — это игры, построенные на случае, что звучит уже вполне научно и респекта­бельно.

Однако вернемся к делу, то бишь к покеру. У каж­дого игрока по пять карт на руках. Сила карт зависит от того, образуют ли две из них, или три, или четыре, или все пять какую-либо из следующих комбинаций, расположенных нами в порядке возрастания мощи: па­ру (скажем, две дамы); две пары (это понятно); трой­ку (например, три валета); стрит (допустим, десять, валет, дама, король, туз); тройку и пару (это тоже по­нятно); цвет (все карты одной масти); каре (четыре одинаковые); королевский флеш (одноцветный стрит). В покере картами не ходят. Смысл игры состоит в тор­говле при закрытых картах, причем эта торговля про­исходит в два приема. Впрочем, предоставим слово Джеку Лондону.

«Торговаться начали втемную — ставки росли и росли, а о прикупе никто еще и не думал. Карты сдал Кернс. Луи-француз поставил сто долларов. Кэмбл только ответил (то есть поставил столько же. — А. К.), но следующий партнер — Элам Харниш — бросил в котел пятьсот долларов, заметив Макдональду, что надо бы больше, да уж ладно, пусть входит в игру по дешевке. (То есть «всего лишь» за пятьсот долларов, ибо по правилам игры каждый следующий должен по­ставить по крайней мере столько же, сколько предыду­щий по кругу игрок. — А. К.)

Макдональд еще раз заглянул в свои карты и выло­жил тысячу. Кернс после длительного раздумья ответил. Луи-француз тоже долго колебался, но все-таки решил не выходить из игры и добавил девятьсот долларов. Столько же нужно было выложить и Кэмблу, но, к уди - лению партнеров, он этим не ограничился, а поставил еще тысячу.

— Ну, наконец-то дело в гору пошло, — сказал Хар­ниш, ставя тысячу пятьсот долларов и, в свою очередь, добавляя тысячу, — красотка ждет нас за первым пере­валом. Смотрите, не лопнули бы постромки!

— Уж я-то не отстану, — ответил Макдональд и по­ложил в котел на две тысячи своих марок да сверх то­го добавил тысячу.

Теперь партнеры уже не сомневались, что у всех большая карта на руках».

Хоть и жалко прерывать захватывающее повество­вание, но нам надо разобраться в происходящем с точ­ки зрения нашей темы.

Решая, участвовать ему в игре или нет, подравнять свою ставку к уже сделанным или поднять ставку по­выше, игрок так или иначе оценивает вероятность свое­го выигрыша. (Блеф в крупной игре исключен; в ко­нечном счете при крупной игре всех партнеров не запугаешь, и они не бросят карты, махнув рукой на уже попавшую в котел ставку, а когда их придется открыть, то выиграет тот, чья карта сильнее.)

Разумеется, практически игроки не вычисляют зна­чение вероятности выигрыша и руководствуются лишь опытом. Но если опыт большой, то одно сводится к дру­гому; игрок подсознательно решает сложную задачу, определяя вероятность того, что на руках партнеров находятся комбинации более высокие, чем у него. Кро­ме того, в первом туре торговли он учитывает, насколь­ко «прикупной» является карта.

Но не будем останавливаться на доприкупной ситуа­ции. Подсчет шансов на выигрыш здесь слишком за­труднителен, и, главное, на этой стадии игры рисковый или осторожный характер партнеров являются неизвест­ными величинами, которые мешают решить уравнение.

Пропускаем две страницы романа. Двое игроков вы­ходят из игры, считая свои шансы на выигрыш ничтож­ными. Остаются трое. Первый тур торговли завершен, то есть ни один из оставшихся трех игроков не желает рисковать большей суммой до прикупа.

«Прикуп состоялся в гробовой тишине, прерываемой только тихими голосами играющих. В котле набралось уже тридцать четыре тысячи, а до конца игры еще бы­ло далеко... Харниш отбросил восьмерки и, оставив се­бе только трех дам, прикупил две карты...

— Тебе? — спросил Кернс Макдональда.

— С меня хватит, — последовал ответ.

— А ты подумай, может, все-таки дать карточку?

— Спасибо, не нуждаюсь.

Сам Кернс взял себе две карты, но не стал смотреть их. Карты Харниша тоже по-прежнему лежали на столе рубашкой вверх.

— Никогда не надо лезть вперед, когда у партнера готовая карта на руках, — медленно проговорил он, глядя на трактирщика. — Я — пас. За тобой слово, Мак.

Макдональд тщательно пересчитал свои карты, что­бы лишний раз удостовериться, что их пять, запи-

т

сал сумму на клочке бумаги, положил его в котел и сказал:

— Пять тысяч.

Кернс под огнем сотни глаз посмотрел свой прикуп, пересчитал три остальные карты, чтобы все видели, что всех карт у него пять, и взялся за карандаш.

— Отвечаю, Мак, — сказал он, — и набавлю толь­ко тысчонку, не то Харниш испугается.

Все взоры опять обратились на Харниша. Он тоже посмотрел прикуп и пересчитал карты.

— Отвечаю шесть тысяч и набавляю пять...»

Итак, один из партнеров остался при своей карте. Ясно, что у него комбинация из четырех или пяти карт, и притом сильная, то есть никак не ниже «цвета». Оче­видно также, что у обоих партнеров, поменявших две карты, на руках каре. Действительно, если бы к своей тройке они не купили бы такую же четвертую карту, то бросили бы свои карты, спасовали.

Каждый из игроков подсознательно, на основе опы­та, может оценить вероятность того, что у партнеров на руках более крупная карта, чем у него, и соответственно вести торговлю, учитывая, кроме того (вот здесь-то расчеты нам не помогут), характер партнеров.

После нескольких туров торговли никто из игроков не желает рисковать большими суммами, и наступает кульминационный момент игры.

«Ни один из игроков не потянулся за котлом, ни один не объявил своей карты. Все трое одновременно молча положили карты на стол; зрители бесшумно об­ступили их еще теснее, вытягивая шеи, чтобы лучше видеть. Харниш открыл четырех дам и туза; Макдо­нальд — четырех валетов и туза; Кернс — четырех ко­ролей и тройку. Он наклонился вперед и, весь дрожа, обеими руками сгреб котел и потащил его к себе».

Игра окончена, и мы можем перейти к математиче­ским комментариям. Можно не сомневаться, что герои Джека Лондона теории вероятностей не знали и не про­изводили в уме математических подсчетов для выработ­ки своей игровой политики. Но действовали они в пол­ном согласии с теорией.

Обратите внимание на одну интересную деталь иг­ры. Два игрока меняли две карты из пяти. С очень большой уверенностью можно предполагать, что они прикупали к трем одинаковым, рассчитывая набрать

3. А. Китайгородский
каре. Так как после прикупа они смело повышали став­ки, то прикуп наверняка был счастливым. Итак, Макдо­нальд знал, что он вступает в битву с двумя каре. Ка­жется, что его противники попали в более сложную си­туацию. Макдональд карт не менял. Значит, на руках у него либо каре, либо самая старшая комбинация — королевский флеш. Но динамика набавления ставок по­казывает, что Харниш и Кернс не допускали мысли о том, что у Макдональда на руках королевский флеш. То есть, используя словарь этой книги, считали, что вероят­ность королевского флеша слишком мала.

Что же, пожалуй, они были правы. Игра, видимо, шла в 52 карты, флеши могут начинаться с двойки, тройки и т. д., до десятки. Значит, их может быть в каждом цвету 9, а всего 36. А сколько каре дает комби­нация карт? Могут быть каре двоек, каре троек и т. д., каре тузов: всего 13 каре. Но каре — это четыре кар­ты, а у каждого игрока на руках их пять. При этом пя­тая может быть любой из остающихся 48. Таким обра­зом, общее число комбинаций из пяти карт, которые приводят к каре, равняется 624, что примерно в 17 раз больше числа возможных флешей.

Итак, наверное, каждый из трех партнеров вел игру, считая, что у противников на руках та же комбинация, чтп v него самого, а именно каре. Но у кого какое? Не­ужто при решении этого вопроса, столь важного для наших трех игроков, можно заменить отгадывание на­обум какими-то логическими рассуждениями и исполь­зовать теорию вероятностей? Оказывается, можно. И успешные подходы к задачам такого типа, требующим не только подсчета числа возможных комбинаций, но и учета психологии участвующих в игре, разрабатывают­ся в так называемой «теории игр».

По поводу тактики игры трех лондоновских героев можно лишь заметить следующее: каждый из них пола­гал, что у противников одно из самых старших каре, так как трудно было бы допустить, что с тремя шестер­ками или тройками на руках кто-либо отважился бы вести столь смелый бой, начавшийся еще до прикупа. Разумеется, в наилучшем положении был Кернс (у не­го было четыре короля и тройка), который знал, что его могут побить только четыре туза (если не говорить о флешах). Он знал, что лишь один из партнеров может быть сильнее его, и поэтому мог играть с вероятностью выигрыша у2. В таком же положении был Харниш (у него было четыре дамы и туз), который знал, что его могут побить лишь четыре короля (ведь один из тузов был его пятой картой, и он, таким образом, мог быть уверен, что каре тузов вне игры). Больше всего риско­вал Макдональд (у него четыре валета и туз) — ему было известно, что его карта бьется двумя комбинация­ми. Я бы оценил вероятность выигрыша Макдональда в '/і-

Но, повторим еще раз, ограничиваться подсчетом воз'можных комбинаций, играя в покер, это значит поч­ти наверняка остаться в проигрыше. Успех в данной иг - ре зависит не столько от карт, сколько от наблюдатель­ности и волевых качеств. В отличие от штосса в покер можно играть и хорошо, и плохо.

Вернемся опять к нашим подсчетам и обсудим еще вероятности прикупа. И здесь оценки вероятностей раз­ных комбинаций чрезвычайно уместны и, разумеется, используются опытными игроками. Положим, надо ре­шить, что лучше: имея на руках три дамы, валета и восьмерку, как это было у Харниша, погнаться за чет­вертой дамой или сбросить восьмерку в расчете полу­чить еще одного валета. В первом случае вероятность равна сумме '/47 + 'Дб, во втором — 3Л7. Таким обра­зом, второй вариант лишь в полтора раза лучше пер­вого. Поскольку первый вариант приводит к более бога­той комбинации, то правильное решение — скинуть две карты и «искать» даму.

Мы рассмотрели два класса игр: такие, как рулетка или штосс, где вероятностные расчеты не могут помочь в выработке игровой стратегии, ибо любая игра в луч­шем случае приводит к проигрышу и выигрышу с рав­ными вероятностями, и где отсутствуют элементы пси­хологической борьбы; и такие, как покер, где вероят­ностные подсчеты оказывают известную помощь игро­ку, психологическая борьба играет важную, если не главную, роль.

Теперь остановимся на играх, результат которых за­висит от умения игрока правильно оценивать вероят­ности тех или иных событий и почти не связан с проник­новением в психологию партнера. Игры такого типа на­зываются не азартными, а коммерческими. Классическим представителем коммерческих игр является преферанс. Эта игра распространена у нас достаточно широко, и я не стану разъяснять ее правила.

Приведем из этой игры несколько типичных задач и покажем, на каких принципах основываются манеры игры хороших игроков. В преферансе каждая масть представлена восемью старшими картами. В подавляю­щем числе актов игры у «играющего» имеется на руках четыре — реже пять козырей. Смотря только в свои карты, он, «играющий», раздумывает, как разделились между «вистующими» отсутствующие у него козыри. Ведь, чтобы объявить свою игру, надо ему рассчитать, сколько надеется он взять взяток, а это, в свою очередь, зависит от того, как распределились козыри у партне­ров. Если у них четыре, то возможны три варианта: че­тыре на одной руке; разделились на три и один; нако­нец, — мечта «играющего» — разделились поровну: два и два. Если у «играющего» пять козырей, то у «вистую­щих» возможностей две: либо три на одной руке, либо два и один.

Для подсчета вероятностей надо, как мы знаем, счи­тать число комбинаций.

Пусть у меня — «играющего» — на руках туз, ко­роль, семерка и восьмерка козырей. У моих партне­ров — Петра Ивановича (П. И.) и Николая Василье­вича (Н. В.) — дама, валет, десятка, девятка. Как они разложились — неизвестно. Если мне очень не повезло, ,то есть все отсутствующие у меня четыре козыря оказа­лись на одной руке, то они могут быть либо у П. И., либо у Н. В. Это два случая. Козыри могут разделиться и так: у П. И. один из четырех, у Н. В. три. Таких слу­чаев, конечно, четыре. Еще четыре случая имеется, ког­да один из^ козырей находится у Н. В., а три у П. И. И шесть вариантов появляется, когда козыри распреде­ляются пополам: дама и валет; дама и десятка; дама и ‘девятка; валет и десятка; валет и девятка; наконец, де­сятка и девятка. (Множить на 2 не надо, так как, если дама и валет у П. И., то десятка и девятка у Н. В. и так далее.)

Всего случаев шестнадцать. Следовательно, вероят­ность наскочить на вариант, когда все козыри на одной руке — 2/16 (Vs) . Только очень осторожные игроки и при очень крупной игре считаются с возможностью такой неприятности. А хорошие игроки в нормальной игре ею пренебрегают. Но и рассчитывать на то, что козыри раз­делились пополам, они тоже не станут, ибо вероятность ЭТОГО события 6/i6 (3/в) все же меньше половины.

Подавляющее большинство опытных игроков, назна­чая игру, предполагают, что наиболее вероятный расклад не хуже, чем «три — один». И они правы, так как в 14 случаях из 16 (6 случаев расклада пополам и 8 слу­чаев расклада «три — один») недостающие козыри раз­ложатся благоприятно. Вероятность такой ситуации — ,,14/16 (7/в) - А это близко к единице.

Если у «играющего» на руках пять козырей, назначе­ние игры в большой степени зависит от его темперамен­та, ибо вероятность наткнуться на три козыря на одной Труке равна '/4. Действительно, из всех 8 вариантов (2 — по три козыря, 3 — по одному козырю и 3—по два козыря) вероятность такого события равна 2/8 ('Л).

И еще одна задача на подсчет комбинаций. Для преферансиста интересен расклад не только козырей, но и второй масти. Рассмотрим случай, когда у «играю­щего» на руках две масти по четыре карты. Одна масть козырная, другую, как говорят, надо разыграть, то есть постараться и на ней взять побольше взяток. И в этом случае решающим является расклад карт, но теперь обеих мастей по рукам «вистующих» партнеров. Как назначить игру? С какими раскладами следует счи­таться?

Комбинации карт (одна масть черная, вторая крас­ная), которые могут очутиться на одних руках «вистую­щих», рассчитываются следующим образом. Четыре кар­ты, как говорилось выше, распределяются 16 способами. А на каждую комбинацию черной масти приходится 16 вариантов распределения красных карт. Всего же ва­риантов будет (16)2, то есть 256.

Какие комбинации могут быть? Ну прежде всего поистине трагическая, когда четыре черные и четыре красные на одной руке. Таких будет две: все восемь

карт или у П. И., или у Н. В. Их вероятность очень мала 2І256 (V128), и заядлые преферансисты вспоминают та­кие проигрыши (а они бывают) как черный кошмар и на них не рассчитывают.

А какова вероятность самого желанного для «играю­щего» расклада, то есть по две черные и две красные карты на каждой руке «вистующих». Так как для одной масти таких комбинаций шесть, то есть всего (6)2, то есть 36. Вероятность этого светлого исхода равна 36/гso Oh). На такой вариант опытные игроки, разумеется, также не рассчитывают. Остается среднее.

Волнующий момент игры в преферанс — приобрете­ние прикупа. Прикуп — это 2 закрытые карты из 32. «Свои» карты — их 10 — преферансисту известны, а 2 карты (прикуп) из 22 он должен «угадать».

В каждом отдельном случае игрок делает свой рас­чет. Все зависит от того, какие карты у него на руках и на что он рассчитывает, торгуясь за прикуп.

Положим, он надеется купить пятого козыря к своим четырем. Среди 22 не его карт 4 не его козыря. Значит, вероятность лежащей в прикупе карты быть козырем */ї2, З НЄ быТЬ ИМ — 18/22*

Две карты лежат рядышком рубашкой кверху. Воз­можны четыре случая: та, что слева, — нужный ему ко­зырь — раз, та, что справа, тоже козырь — два, обе

карты козырные — три, нет в прикупе козырей — че­тыре. По теореме умножения вероятности этих собы­тий равны:

(4/22 - 18/22); Г/22 - 722); г/22 - 722); (18/22 - 18/22), а ЭТО дает 0,148; 0,148; 0,034; 0,670 (в сумме, разумеется, еди­ница).

Какая карта слева, какая справа, игроку все равно. Так что шанс у него на удачу равен 0,148 + 0,148 = = 0,296, то есть почти 30 процентов. Как, стоит ему рисковать?

Есть такое выражение — «прикупная карта». Пусть у нашего «героя» на руках по три «сильные» карты трех мастей и одна карта из четвертой масти, скажем, из пик. Достаточно ему приобрести одну любую (кроме пики), чтобы получилась выигрышная игра. Среди 22 не его карт 7 пиковой масти (у него одна), следователь­но, вероятность пики 7/гг, вероятность любой из карт других мастей — |5/г 2- Его погубит лишь один ва­риант — в прикупе 2 пики: вероятность этого случая Г/гг)2, ТО есть около 0,1.

Значит, 90 процентов шансов за то, что его покупка будет удачной и ему есть смысл рисковать.

Я знал одного человека, который не очень любил трудиться. Если ему удавалось наскрести денег на би­лет в сторону «туда», он садился в поезд и отбывал на юг, в края неги и загара, имея в кармане несколько рублей. Насколько мне помнится, все эти путешествия кончались одинаково: он возвращался довольный, заго­релый и даже потолстевший. Как же он устраивался? Очень просто: он играл в преферанс (а играл он без­упречно). Это не значит, что он выигрывал каждую игру. Но любое назначение, любой его ход был оправ­дан вероятностным подсчетом, который он производил подсознательно, на основе своего богатейшего опыта. Когда его спросили, не боится ли ои нарваться на игро­ков, которые играют не хуже его, он ответил, что садит­ся играть только после того, как понаблюдает за игрой своих будущих жертв.

Как видите, случайностей карточного расклада он не боялся.

Из всего сказанного можно сделать вывод, что в та­ких играх, как преферанс, много важнее правильно на­значить игру (то есть в соответствии с теорией вероят­ностей); правильно выбрать тактику игры; играть столь

Совершенно, чтобы каждый ход был верным (то есть со­гласным с теорией вероятностей), нежели быть удач­ливым в прикупе или в раскладе карт у «вистующих* Значит, выигрыш в преферансе не зависит от слу­чая? Нет, зачем такое крайнее суждение. Зависит. Не только тогда, когда партнеры одинаково хорошо шп одинаково плохо играют. Поэтому, если Петр Иванович и Николай Васильевич встречаются с одними и темг же равными им по умению партнерами по субботам г проворачивают пару пулек, то результат-такой игры зс долгий срок обязательно будет нулевым. Случай всту­пит в свои права и уравняет выигрыши и проигрыши пі той же причине, по которой Монте-Карло заканчивает свой рабочий день примерно равными числами «красно­го» и «черного».

Что же касается систематического выигрыша в та­кие игры, как преферанс, то он может быть лишь в том случае, если один игрок играет лучше другого. А «луч­ше» — это значит, что он сознательно или подсозна­тельно правильно оценивает вероятность расклада карт, вероятность прикупа нужной карты и прочее.

Еще одно воспоминание. Тоже порядочно лет назад мы отдыхали с одним из крупнейших физиков нашего века, Львом Давидовичем Ландау. Ландау, или, как мы его звали, Дау, в карты никогда не играл, и чувство азарта ему знакомо не было. Но как-то раз его уговори­ли принять участие в довольно глупой карточной игре, которая называется «Спекуляция». Банк в этой игре забирает тот, у кого на руках старший козырь. Все партнеры по очереди открывают свои карты. Допустим, открылась дама бубен: бубны козырь. Дама выиграет, если среди оставшихся, подлежащих открытию карт не окажется короля или туза бубен. Владелец дамы имеет право продать даму, а любой из партнеров купить ее. Между ними начинается веселая торговля. Даму поку­пают, а через две карты открывается король, и промах­нувшегося покупателя подымают на смех. Нетрудно ви­деть, что цена, которую можно предложить за даму, мо­жет быть строго вычислена. Известно, сколько карт вышло, сколько остается нераскрытыми в колоде, сле­довательно, можно подсчитать вероятность появления короля и туза. Дау каждый раз проделывал эту работу. А так как считать надо очень быстро, то он был очень сосредоточен и смешно контрастировал с остальными игроками, которые делали из этой игры веселую забаву. Разумеется, никто из нас не соразмерял цены карты с вероятностью того, что она будет перебита последую­щими картами. Все играли наобум, кроме Дау. К на­шему удивлению, через час игры обнаружилось, что Дау в «солидном» выигрыше. Он был очень доволен.

При полной осведсмленности, то есть при правиль­ной оценке вероятности события, сумма выигрышей II проигрышей будет стремиться к нулю. Так же как игрок в карты, знаток лошадей на бегах может обыграть дру­гих лиц только в том случае, если он оценивает вероят­ности события правильно, а они ошибаются.

В связи со сказанным Интересно остановиться на заблуждении игроков на ипподроме. Им кажется, что хорошее знание лошадей есть залог успешной игры. Де­ло, однако, обстоит не так, и игрок, ничего не пони­мающий в лошадях, за долгий период игры придет к такому же финансовому результату, что и знаток. А по­скольку ипподром снимает существенный процент ста­вок, то этим результатом будет, конечно, проигрыш.

Такое положение дел возникает по той причине, что ставки на лошадей, грубо говоря, распределяются про­порционально вероятностям их выигрыша. Но сумма выплаты за выигравшую лошадь обратно пропорцио­нальна вероятности выигрыша. Эта сумма определяется весьма просто: все сделанные ставки складываются и делятся на число билетов, поставленных на выиграв­шую лошадь.

Здесь полная аналогия с игрой в рулетку, когда сравнивается стратегия двух игроков, один из которых ставит только на «красное» и «черное», а другой только на «номера». У первого вероятность выигрыша равна '/г, а у второго—'/зе - Первый будет выигрывать часто, но мало; второй редко, но большими суммами. В конечном счете выигрывает зеро, то есть оба игрока проиграют.

Из сказанного следует, что вмешательство, даже са­мое маленькое, случайности уже делает единичное со­бытие, строго говоря, непредсказуемым, а всю область явлений позволяет зачислить по ведомству проблемы вероятности. К этому важному заключению мы еще вер­немся, когда вместо карт, рулетки и бегов займемся по­ведением молекул.