Дифференциальное уравнение теплопроводности для пластинь1
Рассмотрим температурное поле параллелепипеда, в котором градиент температур в направлении z мал, и составим для такого тела дифференциальное уравнение теплопроводности. Проведём над всеми членами уравнения (2.93) операцию 12:
z 0
|
(2.103) |
|
где f{x, y,z)~ функция координат x, y,z. Обозначим |
&x{x, y)-=j&(x, y,z)dz
^ О
здесь <9,(х, у) - осреднённая по оси z температура в точке х, у параллелепипеда (рис. 2.8 б).
Итак,
|
дх1 |
|
dy2 |
|
ду |
|
(2.104) |
|
a. |
|
агз д2э, 1Хк^т-К-^ |
dz I і dz Li dz L dz
|
z 0 |
z 0
Последнее преобразование сделано на основании условия (2.92).
|
(2.105) |
IW (*, y^)] = jw (х, у, z)dz = Wx (х, у).
В частности, при W = const имеем WX=W.
Запишем теперь уравнение (2.93) после проведения операции 12 над всеми его членами:
д2&х д2Эх a К——г—-$(x, y,L) + Wx =0.
* йх2 у ду2 L ■ 1
Обозначим
ш — *^(х, у, L )
(2Л06)
где — отношение температуры в точке х, у на грани z = /z параллелепипеда к средней по направлению z температуре на отрезке 0<z<lz с теми же координатами О, у) (рис. 2.8 б). Учитывая (2.106), перепишем последнее уравнение
Если в направлении оси z градиент температур стремится к нулю, то
ОС
Ч*[ 1 и -~jl. Этот случай соответствует пластине с двумерным полем
4
температур.
