Дифференциальное уравнение для диска
Приведём теперь операцию Iz над всеми членами дифференциального уравнения (2.91) для ограниченного цилиндра с источниками энергии. Обозначим при этом (рис. 2.8 в)
$2(x) = yj&(x, z)dz, (2.108)
4 0
|
Тогда |
|
Д д.. ду9Л1 d. д&2 х дх дх х dx дх |
|
Операции Iz над вторым и третьим членами уравнения (2.91) приведут к выражениям (2.104), а IzW{x, z)1 = — | W(x, z)dz = Ж2(х). 4 о |
|
После проведения указанной операции уравнение (2.91) примет вид а) (2.109) б) Здесь Ч*2 — отношение температуры в точке х на грани z = lz ограниченного цилиндра к средней по длине цилиндра температуре в той же точке х (рис. 2.8 в). При стремлении градиента температур по длине цилиндра к 0 &(x, lz)-> &2{х) и 4*2 —^ 1 Для 4*2=1 приходим к дифференциальному уравнению (2.109) для температурного поля пластины с круговой симметрией; такие пластины называются дисками. Температурное поле пластины с двумерным полем температур описывается уравнением (2.107), а для диска - уравнением (2.109). Прежде |
|
——(х—^)~Ь2&2 + —= 0 х dx dx 2 |
|
3{x, k) &2(х) |
|
«,^2 Я I |
|
4* » -■> |
чем переходить к решению этих уравнении, проведем некоторое их обобщение, позволяющее рассмотреть следующий более широкий класс задач: температура среды с разных граней параллелепипеда или со стороны торцов цилиндра разная, тогда
dt ос' dt а"
= о, [SL-SUa-r я = о.
dz Л - dz Л
Если при проведении преобразований, приведших к зависимости (2.104), учесть условия на границах в приведённой здесь форме, то уравнение (2.107) сохранило бы свой вид
21
но значение 3 было бы другим, а именно:
^(х, у) = г(х, у)~^сэф1 tc^ = a Iі а, (2.110)
а +а _ 4 7
где? сэф- эффективная температура среды. Если а=а"_, то
*с*=0,5(^+0, (2.111)
т. е. эффективная температура в этом случае будет равна среднеарифметической температуре двух сред. Тот же вывод остается справедливым и для уравнения (2.109).
