ТЕОРИЯ сварочных процессов

Явная и неявная схемы решения

Особенностью нестационарной задачи является необходимость последовательного прослеживания промежуточных предыдущих состояний тела для правильного расчета текущего состояния, т. е. рассмотрение истории процесса, в то время как для стационарного процесса понятие истории не существует, так как каждое состоя­ние может быть рассчитано независимо от предыдущих.

Если историю процесса прослеживать с достаточно мелким шагом по времени, то можно пренебречь влиянием на температуру данной точки тела температур удаленных от нее точек, т. е. счи­тать, что на каждом шаге порция тепла пересекает только одну границу - между двумя соседними ячейками. Можно также, опре­делив мощности тепловых потоков через границы ячейки на мо­мент начала шага, считать их в течение шага постоянными. В этом случае система уравнений для расчета температур в конце шага оказывается очень простой и распадается на отдельные уравнения, в каждом из которых есть только одно неизвестное. Такая схема решения называется явной и требует существенно меньшего объе­ма вычислений по сравнению с неявной схемой, в каждом уравне­нии которой присутствует несколько неизвестных.

На рис. 13.9 решение по явной схеме (1м) представлено лома­ной линией, каждый отрезок которой соответствует шагу решения. Если в начале шага правильно определено направление отрезка (он параллелен касательной к кривой искомой функции), то эта лома­ная с определенной точностью повторяет вид кривой T(t).

Но если при этом шаг решения недостаточно мелкий, то пред­положение о сохранении постоянства тепловых потоков становит­ся некорректным и приводит к неправильному решению (ломаная

16 удаляется от кривой T(t)). Максимально допустимый шаг по времени т прямо пропорционален квадрату линейного размера самого мелкого элемента / и зависит от свойств материала (для тепловой задачи он обратно пропорционален коэффициенту тем­пературопроводности а), т. е.

/2

т =—. а

Поэтому при решении стационарных задач, как правило, вы­годнее один раз составить и решить систему уравнений неявной схемы, чем выполнять большое число шагов, необходимое для решения по явной схеме. Решение по неявной схеме (2м, 26) пред­ставлено на рис. 13.9 ломаной, составленной из секущих, начало и конец которых лежат на кривой T(t). Порядок точности явной и неявной схем (отклонение ломаной от кривой) при одинаковом мелком шаге одинаков (1м и 2м). При увеличении шага решение по неявной схеме, хотя и становится грубее, но остается устойчи­вым (ломаная 26 продолжает следовать за кривой T(t)). Если функция меняется медленно, то погрешность при этом невелика. Таким образом, явная схема эффективнее для нестационарных за­дач (переходных процессов), где большое число шагов неизбежно, а неявная - для стационарных задач.

Взаимные связи процессов, протекающих при сварке и экс­плуатации конструкции (см. рис. 13.1), в некоторых случаях не мешают моделировать процессы последовательно, на отдельных моделях. Например, если протекание тока вызывает нагрев, а на­грев - структурные и фазовые превращения и деформации от теп­лового расширения, то можно сначала провести моделирование процесса протекания тока, затем рассмотреть процесс распростра­нения теплоты и т. д. Связи между процессами будут учтены, если результаты, полученные с использованием каждой модели, войдут в начальные и граничные условия и повлияют на свойства мате­риала, учитываемые в следующих за ней моделях. Такая последо­вательно решаемая задача называется несвязной. При ее решении пренебрегают обратными связями между процессами (на рис. 13.1 они показаны стрелками, направленными к процессу с меньшим номером): влиянием нагрева на протекание тока, разогревом от пластической деформации и т. д. Это существенно упрощает раз­работку программ и сокращает затраты ресурсов компьютера при выполнении программ, однако существуют задачи, для которых такой метод решения неприменим.

Примером задачи, которую необходимо решать как связную, является моделирование контактной сварки. Площадь и плотность контакта, через который протекает ток, существенно зависят от силы сжатия и деформации свариваемых деталей. В свою очередь, деформации зависят от изменения предела текучести и плавления металла при его нагреве проходящим током. Следовательно, все процессы необходимо моделировать в рамках единой связной за­дачи.

Связная задача требует составления общей системы уравнений для нескольких взаимосвязанных процессов. Такой подход являет­ся правильным, но существенно более сложным для реализации моделирования. Выбор связной или несвязной задачи при модели­ровании должен быть сделан на основе оценки погрешности, уст­ранение которой обеспечивается учетом обратных связей между процессами.

Достаточно полноценную замену связного моделирования мож­но обеспечить при итерационном решении на несвязной модели, если моделировать процессы поочередно, но повторить решение несколько раз, вводя поправки в каждую модель с учетом результа­тов, полученных на остальных моделях при предыдущей итерации.

Сходимость итерационного процесса, как и при решении нели­нейных задач, зависит от степени влияния обратных связей на результаты решения. Блок-схема такой программы показана на рис. 13.10.

Еще более простой алгоритм можно использовать при решении задачи по явной схеме с малыми шагами по времени. В этом слу­чае нет необходимости в итерациях на каждом шаге. Обратные связи между процессами будут учтены, хотя и с запаздыванием на один шаг. При достаточно малом шаге будет получен результат, близкий к результату решения связной задачи.