Физическая оптика

Дифракция слаборасходящихся пучков

Приближение Френеля в теории дифракции. Интегралы Френеля и спираль Корню. Дифракция Френеля на одномерных структурах. Дифракция на краю экрана. Дифракция на щели. Дифракция Френеля на двумерных структурах. Дифракция на квадратном отверстии. Дифракция на круглом отверстии. Дифракция гауссова пучка.

Рассматривается дифракция слаборасходящихся световых пучков. Обсу­ждается физическое содержание френелевского приближения в теории ди­фракции. Рассчитываются картины френелевской дифракции на одномерных и двумерных структурах.

Приближение Френеля в теории дифракции. При расчетах дифрак­ционных картин широко применяются два основных приближения теории ди­фракции: приближение Френеля и приближение Фраунгофера. Первое из них описывает дифракцию слаборасходящихся (“параксиальных”) пучков света, второе — дифракцию в дальней зоне. Познакомимся с френелевским прибли­жением в теории дифракции.

Рассмотрим дифракцию плоской монохроматической световой волны на от­верстии. Общее решение задачи дифракции дается в этом случае интегралом Гюйгенса-Френеля (см. лекцию 13)

■ г p-ikp

£{P) = - J£{M)- da, (14.1)

Е

где S — комплексная амплитуда светового поля, Е — поверхность, стягиваю­щая отверстие, Р — точка наблюдения поля, М — некоторая точка на поверх­ности Е, р — расстояние между точками М и Р, А — длина световой волны, к = 2п/Х — волновое число.

Введем координаты х, у в плоскости экрана с отверстием и координаты хо, у о в плоскости наблюдения, находящейся на расстоянии 2 от экрана с отвер­стием и параллельной ему (рис. 14.1). В этом случае дифракционный интеграл можно записать в виде

ОО ОО

iff e~tkl>

£(x0,yo, z) = - J J 80(x, y)—^-dxdy, (14.2)

— OO —OO

где

P = y/z2 + (x - x0)2 + (y - j/o)2- (14.3)

Часто в оптике приходится иметь дело с узкими слаборасходящимися пучками света. В этом случае хорошо выполняются неравенства

Неравенства (14.4) позволяют написать приближенное выражение для р

(х - Хо)2 + (у - Уо)2

р = Z +

2z

Подставив (14.5) в (14.2) и пренебрегая отличием р от г в знаменателе подын­тегрального выражения, получим

£{x0,y0,z) = х

ОО ОО

xe~lkz J J Є0(х, у)ехр^-~ [(z - z0)2 + (у - 2/o)2] j dxdy. (14.6)

— OO —OO

Формула (14.6) дает решение задачи дифракции в приближении Френеля. В этой формуле £(xo, yo, z) — распределение комплексной амплитуды поля в плоскости наблюдения, £о(х, у) — распределение амплитуды поля в плоскости экрана с отверстием, z — расстояние между плоскостью экрана и плоскостью наблюдения, Л — длина световой волны, к = 27г/А — волновое число. Обсудим физическое содержание и условия применимости приближения Френеля.

Основная формула фреиелевского приближения (14.5) с физической точ­ки зрения означает замену сферических волновых фронтов вторичных волн Гюйгенса параболическими поверхностями. Вообще говоря, такое приближе­ние накладывает определенные ограничения на допустимые размеры отвер­стия и положение точки наблюдения поля. Приближение Френеля исключает из рассмотрения некоторые области пространства, а именно область, вплотную прилегающую к экрану с отверстием, а также периферийные точки простран­ства, лежащие на больших расстояниях от оси пучка. Однако из физических зображений ясно, что в первой из указанных областей световое поле почти такое же, как в падающей волне, а во вторую область свет почти не проникает. Поэтому мы не будем интересоваться этими областями, хотя, в принципе, соот­ветствующие расчеты можно провести на основе общих формул (14.2), (14.3).

Интегралы Френеля и спираль Корню. На практике расчеты по фор­муле (14.6) сводятся к вычислению интегралов

а а

С(а) = j cos(7t£2/2) dt, S(a) = J sin(7rf2/2) dt, (14.7)

о 0

называемых интегралами Френеля. Специальные функции С (а) и S(a) та­булированы, соответствующие таблицы имеются, например, в справочниках [7; 8]. Разработан также графический способ построения дифракционных кар­тин, основанный на применении так называемой “спирали Корню”. Эта кривая строится следующим образом. На плоскости х, у наносятся точки с декартовы­ми координатами, равными значениям интегралов Френеля:

х = С(а), у - 5(a). (14.8)

При непрерывном изменении параметра а эти точки образуют гладкую кривую, которая и называется спиралью Корню. Вид этой кривой показан на рис. 14.2, а. На рис. 14.2, б показан пример построения на спирали Корню. Длина отрезка АВ на этом рисунке определяется формулой

l2(au а2) = [C(ai) - С(а2)]2 + [S(ai) - S(a2)]2 . (14.9)

Дифракция Френеля на одномерных структурах. Если начальное распределение поля £о(х, у) зависит лишь от одной пространственной перемен­ной, например

£о{х, у) = £0{х), (14.10)

то говорят, что имеет место дифракция на одномерной структуре. Подставив

(14.10) в (14.6) и используя формулы

ОО----------------------------------------------------------------------------------------

/ехр(-S*2) dv = Ш =(1 -*>/f' (14U)

получим

оо

ik

£{x0,z) = (1J^e %kz j £o(x)exp

— OO

Таким образом, дифракционный интеграл сводится к однократному интегралу.

Дифракция на краю экрана. Направим ось х перпендикулярно краю экрана. Тогда можно написать

Г 1, х > 0,

£о(х) = £0{ п ~ (14.13)

^ 0, х < 0.

£(х0 ,z) = £0{-^re-ikzJ(x0), (14.14)

V2A z

где

Выразим интеграл (14.15) через интегралы Френеля (14.7). Для этого введем переменную

Тогда

оо

J{x0) = y/jcz/k J ехр(—І7г£2/2) (14-17)

«і

где

£i = - xq л/kjnz. (14.18)

Используя обозначение (14.9), интенсивность света в точке наблюдения можно представить в виде

I(x0,z) = ^1012(£иОо), (14.19)

где 1о — интенсивность падающей плоской волны. Результат построения, вы­полненного с помощью спирали Корню (см. рис. 14.2), показан на рис. 14.3. Ре­зультат расчета хорошо согласуется с данными эксперимента (рис. 13.3, 13.4).

Дифракция на щели. Обозначим ширину щели буквой d и направим ось х перпендикулярно щели, как показано на рис. 14.4. В этом случае

Дифракционная картина, построенная с помощью спирали Корню, показа­на на рис. 14.5. Из нее видно, что характер дифракции меняется при измене­нии числа Френеля Np. Так, если Np 1 (рис. 14.5, а), то дифракция почти не проявляется и хорошую точность дает приближение геометрической опти­ки. В данном случае профиль интенсивности излучения остается почти прямо­угольным, ширина пучка остается равной ширине щели, а интенсивность света на оси пучка совпадает с интенсивностью падающей волны. Влияние дифрак­ции в этом случае заметно лишь вблизи границы области геометрической тени, где наблюдаются осцилляции интенсивности и свет слегка проникает в область геометрической тени.

По мере удаления точки наблюдения от экрана со щелью, число Френеля Np уменьшается. В области, где Np ~ 1 (рис. 14.5,5), интенсивность света на оси пучка испытывает значительные осцилляции, появляются боковые макси-

шшшШ

d

Рис. 14.6. К расчету дифракции плоской волны на квадратном отверстии

мумы интенсивности, однако ширина светового пучка все еще примерно равна ширине щели. В области же, где Np - С 1 (дальняя зона дифракции), световой пучок сильно уширяется и поперечный профиль пучка не имеет ничего общего с исходным (прямоугольным) профилем (рис. 14.5, в).

Дифракция Френеля на двумерных структурах. Для описания ди­фракции на двумерных структурах необходимо пользоваться общей формулой (14.6). Вычисления в этом случае, вообще говоря, сложнее, чем в случае ди­фракции на одномерных структурах. Рассмотрим несколько конкретных при­меров.

Дифракция на квадратном отверстии. Пусть отверстие в экране имеет вид квадрата со стороной d (рис. 14.6). В этом случае

1, если: |х| < d/2 и |j/| < d/2, О, вне этой области.

Подставив (14.31) в (14.6), получим

£Ы, Уо, г) = £0-^е lkzJ(x0)J(yo),

где

(14.33)

Введем переменные

Используя обозначение (14.9), распределение интенсивности света в дифракци­онной картине можно представить в виде

i(x0,y0,z) - І/„і2(Ь-Ь)і2(т, т)-

В частности, для интенсивности света на оси пучка, т. е. в точках с координа­тами хо = У о = 0| получаем

I(0,0,z) = lo[l2(-A, A)}2, где введен безразмерный параметр

А = (d/2)/k/'nz --- y/zn/z = [Щ и дифракционная длина пучка

гл — kd2/ 4я

(см. лекцию 13).

Распределение интенсивности света вдоль оси пучка, построенное с помо­щью спирали Корню, показано на рис. 14.7. Анализ распределения интенсив­ности в плоскости, перпендикулярной оси пучка, показывает, что на небольших расстояниях от экрана с отверстием дифракционные эффекты заметны лишь вблизи границы области геометрической тени. В дальней зоне дифракции све­товой пучок утрачивает свой первоначальный профиль, его поперечный раз­мер возрастает пропорционально пройденному расстоянию z, а интенсивность света на оси пучка монотонно уменьшается. Экспериментальные наблюдения подтверждают эти выводы.

Дифракция на круглом отверстии. Обозначим радиус отверстия R и введем полярные координаты г, р на плоскости ху (рис. 14.8) и го, ро на плоско­сти ХоУо - Для вычисления дифракционного поля воспользуемся, как и прежде, формулой (14.6). Делая переход к полярным координатам

х = г cos р, у = г sin tp,

Х0 = г о COS іро, У о = Го sin Ро

и записывая элемент площади в виде da = г dr dip, получим

сю 2тг

lkz Jг dr jdp£0(r, p) exp j - ^ [гц + r2 - 2rr0cos(ip - p0)} j, о о

где £o(r, p) — распределение амплитуды поля в плоскости экрана с отверстием. В силу осевой симметрии этого распределения

При этом

ОО

~Ік ('г+ /£°WJ(r, r0)exp ] rdr>

где

2іГ

J(r, r0) = J exp cos(<p - <fio)

Последний интеграл выражается через функцию Бесселя нулевого порядка J0(а). По определению [7]

П

Ма) = ~ Jeiasintdt.

Вводя новую переменную

^ = 2 -<Ро + р,

получим

2тг

и, следовательно,

£(ro, Po, z) = £(r0,z) = 2ж і

~ik (z+ё) /£°^J° (~ir)exp rdr‘ (14-35)

Данная формула позволяет рассчитать дифракционное световое поле для лю­бого осесимметричного начального распределения £о(г). В частности, полагая

1, если г < R,

£о (г) = £о

О, если г > R (дифракция на круглом отверстии), получим

R

п21

|j0(^o)exp(_!g_)rdr. (14.36)

Формула (14.36) описывает распределение амплитуды дифракционного свето­вого поля £(ro, z) во всем пространстве. Ввиду сложности выражения (14.36), ограничимся далее рассмотрением поля только на оси пучка. Полагая го = 0 и учитывая, что Jq(0) = 1, получим из (14.36)

5(0, z) = 2г£оехр

Соответственно интенсивность излучения на оси пучка определяется формулой

/(0, z) = 4/0 sin2 (kR2 /4 z), (14.37)

где

і. =

ІО — интенсивность падающей плоской волны. Полученный результат (14.37)

показывает, что при дифракции плоской волны на круглом отверстии интен­

сивность света на оси пучка осциллирует в пределах от нуля до величины, вчетверо превышающей интенсивность падающей плоской волны. Зависимость 1(0, z) показана на рис. 14.9.

Дифракция гауссова пучка. Анализ дифракции гауссова светового пуч­ка проведем на основе общей формулы (14.35). Полагая в этой формуле

£0(г)=£оехр(-г2/2рІ), (14.38)

получим

тхтттУ <14-39>

(1 + z/ikf%) 1 + z/ikplJ

при вычислении использован интеграл 6.631.1 из справочника [13]). Данная формула описывает распределение дифракционного поля во всем пространстве. В частности, на оси пучка

где

(14.42)

дд — дифракционная длина пучка, /о — интенсивность, определяемая фор­мулой 1о = с|£о|2/8тг. График зависимости 7(0, z) представлен на рис. 14.10. Заметим, что, в отличие от дифракции на круглом отверстии, в данном слу­чае нет осцилляций интенсивности вдоль оси пучка — интенсивность на оси убывает с расстоянием монотонно.