Физическая оптика

Линейный осциллятор в световом поле

Поглощение света осциллятором и ансамблем осцилляторов. Закон Бугера. Спектроскопия поглощения. Уменьшение фазовой скорости света в среде. По­казатель преломления. Неоднородный ансамбль осцилляторов. Однородная и неоднородная ширина спектра. Возбуждение коротким импульсом. Релакса­ция энергии и дефазировка. Принципы частотной и временной спектроскопии.

На основе модели гармонического осциллятора рассматриваются основные эффекты взаимодействия света с веществом: поглощение света и уменьшение скорости световой волны, распространяющейся в среде. Анализируются особен­ности взаимодействия света с неоднородным ансамблем осцилляторов, в кото­ром отдельные осцилляторы имеют разные собственные частоты колебаний. Обсуждаются оптические методы исследования вещества, принципы стацио­нарной и нестационарной спектроскопии.

Поглощение света осіщллятором и ансамблем осцилляторов. Одним из основных эффектов, возникающих при взаимодействии света с веществом, является эффект поглощения света. Причина этого явления состоит в том, что свет возбуждает колебания элементарных оптических осцилляторов среды (атомов, молекул) и передает им свою энергию. В результате энергия среды возрастает, а энергия самой световой волны уменьшается — среда поглощает свет.

Основные закономерности поглощения света средой удается описать в рам­ках простой классической модели среды как ансамбля гармонических осцилля­торов. Рассмотрение этой задачи мы начнем с оценки мощности, передаваемой световой волной отдельному осциллятору.

Возбуждение осциллятора гармоническим полем. Возбужде­ние осциллятора световым полем описывается уравнением

х + Гі + ui^x = —Е.

т

Здесь е и тп — заряд и масса осциллятора, и>0 и Г — собственная частота и коэффициент затухания колебаний, х — координата, Е — напряженность электрического поля световой волны (рис. 7.1).

Запишем световое поле в виде

(7.2)

где ш — частота, £ — комплексная амплитуда поля. Подставив (7.2) в (7.1), получим уравнение вынужденных колебаний

(7.3)

Решение уравнения (7.3) ищем в виде

х = - xexp (iut) +к. с.,

где х — комплексная амплитуда колебаний осциллятора. Подставив (7.4) в

(7.3) , находим

* = --2---------------------------------------------------------- ТТ^£- (?-5)

m ujq — + ццГ

Формулы (7.4) и (7.5) описывают установившиеся колебания осциллятора в поле монохроматической световой волны.

Индуцированное поглощение. Вычислим мощность Р, передавае­мую светом осциллятору. По определению мощности

TOC o "1-5" h z Р = dA/dt, (7.6)

іще

dA — Fdf—eEdx, (7.7)

dA — элементарная работа, совершаемая световым полем над осциллятором. Подставив (7.7) в (7.6), получим

Р = еЕх. (7.8)

Согласно (7.2), (7.4), (7.8),

Р = jiu) (£*х + £xe2uot) - I- к. с.,

т. е. мгновенная мощность Р осциллирует на частоте 2ш. Средняя по периоду световых колебаний мощность

TOC o "1-5" h z (Р) = Ро = |iu>£*x + к. с. (7.9)

Подставив (7.5) в (7.9), получим

рп = ^ Ш2Г К|2

0 2m (oJq — ш2)2 4- и>2Г2 ’

яли

_ 47ГЄ2 и>2Г

0 ~ me (CJ2 - LJ2)2+W2r27’

где

I = с£ |2/87г,

I — интенсивность световой волны.

Из (7.10) видно, что Ро > 0. Это значит, что свет передает свою мощность осциллятору, при этом сам свет поглощается. Для характеристики величины поглощения удобно ввести сечение <7, определив его формулой

Ро = ОІ.

Тогда

SHAPE * MERGEFORMAT

47ГЄ2

а{ш) =

тс (coq - и2)2 + ш2Т2'

Резонансная кривая. В области частот вблизи резонанса |а>-ц>о| формула (7.13) приобретает вид

же

тс (шо - w)2 + Г2/4‘

Таким образом, зависимость сечения поглощения от частоты света имеет вид лоренцевой кривой (рис. 7.2). Максимум сечения поглощения приходится на частоту ui = ио, совпадающую с собственной частотой колебаний осциллятора. Ширина распределения ст{из) (полная ширина по полувысоте) равна коэффи­циенту затухания колебаний осциллятора

Аш = Г.

Отметим, что при точном резонансе и> = шо, когда сечение поглощения дости­гает максимума, его величина

(7.14а)

обратно пропорциональна параметру Г. Физически это связано с тем, что при резонансе именно параметр Г, определяющий величину потерь, ограничивает амплитуду установившихся вынужденных колебаний осциллятора (см. форму­лу (7.5)). Считая, что потери обусловлены собственным излучением осцилля­тора и используя формулу (5.24), параметр Г можно оценить как

Подставив (7.146) в (7.14а), получим

(7.14в)

где Л — длина световой волны. Итак, сечение резонансного поглощения све­та атомом имеет порядок квадрата длины световой волны. Например, для А = 0,5 MKM имеем Птах ** Ю~9 СМ2.

Закон Бугера. Рассмотрим теперь поглощение света модельной средой, представляющей собой ансамбль гармонических осцилляторов. Пусть плоская монохроматическая световая волна проходит отрезок среды длиной dz, при­чем среда содержит N элементарных осцилляторов (атомов) в единице объема ірис. 7.3). Обозначив площадь поперечного сечения светового пучка буквой S, запишем полное число осцилляторов, находящихся в поле световой волны, в пае

dN = NSdz.

Будем считать, что каждый осциллятор поглощает мощность Р0, определяв­шую формулами (7.12), (7.13). Тогда суммарное изменение мощности света на данном отрезке среды составит

dP = - P0dN.

Соответственно, изменение интенсивности света будет равно dl = S~1dP или, в силу (7.15), (7.16),

dI = - P0Ndz. (7.17)

Подставив (7.12) в (7.17), получаем уравнение для интенсивности света: dl — —IoN dz, решение которого есть

I(z) = I0exp(-8z), (7.18)

где /о — интенсивность падающей волны,

8 = <jN, (7.19)

8 — коэффициент поглощения. ,

Формула (7.18) выражает закон поглощения света в среде, называемой так­же законом Бугера-Ламберта-Бэра. Согласно этому закону, интенсивность све­та экспоненциально уменьшается по мере увеличения дистанции, пройденной светом в среде (рис. 7.4).

Из (7.14), (7.19) вытекает следующее выражение для коэффициента погло­щения:

■nNe2 Г

^ = тс (uj0 ~ со)2 + Г2/4' (7'20)

Как видно из формулы (7.20), коэффициент поглощения 8 не зависит ни от

интенсивности падающего света, ни от геометрических размеров облучаемого

образца, а является характеристикой самого поглощающего материала. Для разных веществ и разных условий коэффициент поглощения света меняется в широких пределах. Например, для оптических волокон 8 = 10~4 — 10_6 см-1, а для металлов и полупроводников 8 = 103 — 106 см-1. Наряду с показателем преломления, коэффициент поглощения света представляет собой важнейшую оптическую характеристику вещества.

Выше мы вывели закон Бугера, исходя из простейшей модели среды как ан­самбля неподвижных невзаимодействующих между собой классических осцил­ляторов. Однако экспериментальные исследования показывают, что этот закон

справедлив для широкого класса объектов: жидких, твердых и газообразных сред, а также смесей различных веществ, причем в очень широких пределах изменения интенсивности излучения. Таким образом, закон Бугера почти уни­версален. Отклонения от этого закона начинают проявляться лишь для очень мощных (лазерных) световых пучков. Эти отклонения связаны с нелинейно­стью отклика вещества на сильное световое поле, квантовыми эффектами и т. п.

Спектроскопия поглощения. Зависимость коэффициента поглощения света веществом 8 от частоты и> называют оптическим спектром поглощения. Измеряя спектр поглощения, можно экспериментально определить характери­стики элементарных оптических осцилляторов — собственные частоты и коэф­фициенты затухания колебаний. Эти параметры, в свою очередь, несут важную информацию о строении и свойствах атомов и молекул, процессах взаимодей­ствия частиц, позволяют определять состав и термодинамическое состояние среды и т. п. Получение и анализ этой информации составляют предмет опти­ческой спектроскопии.

Идеальным прибором для измерения оптического спектра поглощения явля­ется узкополосный, перестраиваемый по частоте лазер. Схема измерений по­казана на рис. 7.5. Излучение лазера пропускается через исследуемую среду и направляется на регистрирующую аппаратуру, с помощью которой измеряет­ся интенсивность (мощность, энергия) света. При перестройке частоты лазера сигнал на выходе системы изменяется, передавая частотную зависимость ко­эффициента поглощения <5(ш).

На рис. 7.6 показана схема спектроскопии поглощения, в которой исполь­зуется источник излучения с широким спектром (например, дуговая лампа). В этом случае анализ спектра осуществляется с помощью спектрального прибо­ра (призма, дифракционная решетка). В качестве примера на рис. 7.7 показана схема опыта по наблюдению спектра поглощения света раствором марганцо­вокислого калия. В этом опыте пучок белого света дуговой лампы проходит через раствор, затем через стеклянную призму и направляется на экран. При этом в желто-зеленой области спектра на экране наблюдается темная полоса. Появление этой полосы вызвано поглощением желто-зеленого света раствором марганцовокислого калия. Аналогичный опыт можно проделать с парами на­трия. Помещая в пучок света натриевую горелку, наблюдаем поглощение света в желтой области спектра.

Уменьшение фазовой скорости света в среде. Показатель прело­мления. Выше мы рассмотрели эффект поглощения света в среде. Теперь рас­смотрим процесс переизлучения света ансамблем возбужденных осцилляторов. Это позволит выяснить механизм другого важного эффекта, возникающего при взаимодействии света с веществом — эффекта уменьшения скорости света или замедления световой волны в среде.

Рассмотрим распространение плоской монохроматической световой волны в прозрачной среде. Известно, что в этом случае влияние среды сводится к уменьшению скорости распространения световой волны; скорость света в среде есть

v = с/п, (7-21)

где с — скорость света в вакууме, п — действительная положительная вели­чина, большая единицы, называемая показателем преломления среды. В этом пункте мы выведем выражение для п, исходя из представления о среде как ансамбле осцилляторов.

Предположим сначала, что показатель преломления среды п известен. То­гда распространение света в среде можно описать формулой

E=hei^t-kz'> +К. С.,

А

где ш — частота, £ — комплексная амплитуда волны,

к = шп/с, s (7.23)

к — волновое число для света в среде. Вводя волновое число для света в ваку­

уме

ко = ш/с, (7.24)

перепишем (7.23) в виде

к = ко + (п — 1)к0. (7.25)

Из (7.22) и (7.25) видно, что световая волна приобретает в среде дополнитель­ный фазовый набег, пропорциональный толщине среды. Например, для слоя среды толщиной Az дополнительный фазовый набег равен

Дір = (п — l)koAz. (7.26)

Поле на выходе из среды в этом случае есть

Е = ^£ ехр [i(ut — kAz)} + к. с. = -Z ехр [i(u>t — ко Дг) — г Дір] + к. с. (7.27)

Предположим теперь, что толщина слоя среды Дz настолько мала (много мень­ше длины световой волны), что

д<р«1. (7.28)

Тогда, воспользовавшись формулой ехр(-гДр) « 1 — г Дір, получим из (7.27)

Е = ЕП + ЕЯ, (7.29)

где

Е„ = ^£ ехр [i(u)t - ЛоДг)] + к. с.,

Ел = -£яехр [i(u>t - koAz)] + к. с., £д = - гД<р£.

Первое слагаемое в формуле (7.29) можно интерпретировать как поле исход­ной световой волны, падающей на среду и прошедшей через нее без искажения. Второе слагаемое описывает некоторое дополнительное слабое поле, сдвинутое по фазе относительно падающей волны на п/2. С учетом формулы (7.26) ам­плитуду дополнительного поля можно представить в виде

£д = - ik0Az(n - 1)£. (7.30)

В проделанном выше расчете дополнительное поле возникает как следствие эф­фекта замедления света в среде. С другой стороны, оно не может быть ничем иным, кроме поля, переизлученного элементарными осцилляторами (атомами) среды. Вычислим теперь это переизлученное поле, исходя из представлений об излучении осцилляторов, совершающих вынужденные колебания в поле пада­ющей световой волны.

На рис. 7.8 показан тонкий слой среды, на который падает плоская моно­хроматическая световая волна. Пусть Дг — толщина слоя, N — число атомов

в единице объема среды. Будем считать, что среда достаточно разрежена для того, чтобы влиянием атомов друг на друга можно было пренебречь.

Пренебрегая затуханием колебаний, уравнение вынужденных колебаний ос­циллятора в поле падающей световой волны

Е=бе^ь + к. с. (7.31)

<ь

запишем в виде

х + и£х = — Е, (7.32)

m

где ей m — заряд и масса электрона, ujq — собственная частота осциллятора. Решение уравнения (7.32) ищем в виде

х = + к. с. (7.33)

Подставив (7.31), (7.33) в (7.32), получим

е 1

muSk — ш1

Формула (7.34) устанавливает связь между комплексными амплитудами коле­баний диполя х и поля падающей волны £..

Колеблющийся диполь сам становится источником вторичного излучения. Используя результаты лекции 5, поле вторичного излучения представим в виде

Е0 = if0e“(t_r/c) + К. с., (7.35)

где

еш2х

£q — —о—sin#, (7.36)

сгг

г — расстояние от диполя до точки наблюдения, в — угол между осью диполя и направлением на точку наблюдения (рис. 7.9). В дальнейшем мы ограничимся рассмотрением углов в близких к 7г/2. В этом случае sin в и 1, и формула (7.36) для амплитуды вторичной волны принимает вид

(7.37)

Теперь перейдем к суммированию излучений всех осцилляторов, заключен­ных в рассматриваемом тонком слое среды. Выберем точку наблюдения поля Р на достаточно большом расстоянии от слоя (рис. 7.8). Излучение отдельно­го атома в точке наблюдения описывается формулами (7.35), (7.37). Проводя суммирование, следует учесть, что разные осцилляторы среды расположены на разных расстояниях г от точки наблюдения и поэтому испускаемые ими световые волны приходят в эту точку с разными фазами.

Предположим, что толщина слоя среды много меньше длины световой вол­ны: Az <С Л. Тогда можно вообще пренебречь толщиной слоя и считать, что все осцилляторы расположены в одной и той же плоскости. Введем в этой плоско­сти оси х, у, а ось г проведем перпендикулярно плоскости осцилляторов через точку Р (рис. 7.10, а). На рис. 7.10,5 показано тонкое кольцо радиуса р и ши­рины dp, расположенное в плоскости осцилляторов так, что ось г совпадает с осью кольца. Все осцилляторы, расположенные в пределах данного кольца, находятся на одном и том же расстоянии от точки Р, и поэтому испускаемые ими световые волны складываются в точке Р в одной и той же фазе. Резуль­тирующее световое поле можно, следовательно, вычислить по формуле

dE = Е0 dN,

где Eq определяется формулой (7.35) и описывает поле одного отдельно взятого осциллятора,

dN = N Az2irpdp,

dN — число осцилляторов в пределах кольца. Теперь, чтобы найти полное световое поле, создаваемое в точке Р всеми осцилляторами плоскости, следует подставить (7.39) в (7.38) и проинтегрировать по р. В итоге получим

(7.40)

Из рис. 7.10 видно, что г2 = z2 + р2. Так как нас интересует случай г » р, с хорошей степенью точности можно считать, что

г = z + /э2/2г. (7.41)

По формулам (7.35), (7.40), (7.41) получаем

Ед = ехр [i{wt - fco*)] + к. с., (7.42)

где использовано обозначение (7.24),

£д = 2irNAz£0J, (7.43)

ОО

J = J exp(—ikop2/2z)pdp. (7.44)

о

Интеграл (7.44) вычислим следующим образом:

ОО

J = Иш / ехр(-ар2 - ikop212z)pdp = 77-. (7-45)

q-ю J гк0

о

Подставляя (7.37), (7.45) в (7.43) и пренебрегая отличием г от z, получим

£д = - ikoAz2-KNex

или, с учетом (7.34),

2тг Np2 1

£д = - ik0Az — —,£. (7.46)

т Шп — lj2

Итак выражения для комплексной амплитуды дополнительного поля, возни­кающего в результате взаимодействия света со средой, получены с помощью двух разных подходов. Формула (7.30) выведена феноменологически на основе представления о замедлении световой волны в среде, характеризуемом показа­телем преломления материала п. Формула (7.46) получена с помощью модели, в которой среда представляется как ансамбль гармонических осцилляторов. Если приравнять выражения (7.30) и (7.46), то получим формулу

, 27ГNe2 1

П = 1 +---------------------------------------------------------------------------------- j------- 2 > (7‘47)

т шп - и)2

выражающую показатель преломления п через микроскопические параметры среды: заряд е, массу т, собственную частоту ojq элементарного осциллятора, а также число атомов в единице объема среды N и частоту световой волны и). Согласно использованным приближениям, эта формула справедлива для про­зрачных разреженных сред. Проделанный расчет показывает, что механизм за­медления света в среде связан с взаимодействием (интерференцией) вторичных световых волн, испускаемых атомами среды.

Неоднородный ансамбль осцилляторов. Рассмотрим ансамбль, в кото­ром отдельные осцилляторы имеют разные собственные частоты колебаний. Такой ансамбль можно назвать неоднородным. В реальных системах причи­нами неоднородности могут быть различие квантовых состояний атомов или
молекул, неоднородность изотопного или химического состава среды, хаоти­ческое тепловое движение частиц и т. п. Нас будут интересовать особенности взаимодействия неоднородного ансамбля со световым полем.

Пусть индекс “ J” нумерует различные резонансные частоты (типы осцил­ляторов) в неоднородном ансамбле. Основными характеристиками ансамбля являются набор частот колебаний {cjj} и статистические веса осцилляторов

{Pj}-

Уравнение движения осцилляторов под действием светового поля E(t) за­пишем в виде

xj + Tij - I - JjXj = — E.

m

Обратное воздействие осцилляторов на световую волну (излучение, поглощение или рассеяние света) определяется суммарным дипольным моментом среды — ее поляризацией (см. ч. IV), которая в данном случае имеет вид

(7.49)

где N — среднее число частиц в единице объема среды.

Однородная и неоднородная ширина спектра. На рис. 7.11 показан типичный спектр колебаний (оптического излучения, поглощения или рассе­яния) неоднородного ансамбля. Подобную структуру имеет, например, спектр поглощения или комбинационного рассеяния света в молекулярных газах при не слишком высоких давлениях.

Спектр колебаний неоднородного ансамбля осцилляторов характеризует­ся двумя основными параметрами: однородной шириной Аи> и неоднородной шириной Аи>*. Однородная ширина характеризует спектр колебаний отдельно ззятого осциллятора. Неоднородная ширина есть мера разброса осцилляторов по частотам (дисперсия или ширина полосы резонансных частот). Для неодно­родного ансамбля характерна ситуация, когда

ДLJ* » ДШ

рис. 7.11). Такое соотношение имеет место, в частности, между доплеровской неоднородной) и естественной (однородной) шириной спектра газообразной греды.

Для модели, описываемой уравнениями (7.48), (7.49), можно записать

Дш = Г, Aaj* = i/(Qj), (7.51)

где

<#> = 5>jw3, (7.52)

j

(Qj) — дисперсия резонансных частот,

Cjj —wj — ш, (7.53)

wj — частоты осцилляторов, отсчитываемые относительно средней по ансам­блю частоты колебаний

57 = (7.54)

J

Итак, однородно уширенной называется спектральная линия, которая обра­зуется путем наложения спектральных линий отдельных осцилляторов, име­ющих одинаковую собственную частоту колебаний шо - В противоположность этому, неоднородно уширенной называется спектральная линия, представляю­щая собой суперпозицию спектральных линий осцилляторов, имеющих отли­чающиеся собственные частоты колебаний wj ф u>q. В первом случае формы

спектральных линий отдельного осциллятора и всего ансамбля совпадают, во втором — отличаются, причем спектральная линия ансамбля оказывается, как правило, значительно шире линий отдельных осцилляторов. Примерами одно­родного уширения являются естественное (радиационное) и столкновительное уширения. Для данных типов уширения характерно то, что они присущи спек­тру каждой отдельной частицы. Примерами неоднородного уширения являют­ся доплеровское, изотопическое, вращательное (в молекулярных газах) и т. п. Эти типы уширения присущи только спектру ансамбля частиц, а для отдель­ных осцилляторов они не имеют места.

Возбуждение коротким импульсом. Релаксация энергии и дефази - ровка. Предположим, что ансамбль осцилляторов возбужден коротким све­товым импульсом. В этом случае процесс перехода к равновесному состоянию можно охарактеризовать двумя разными временами — временем релаксации энергии Ті и временем затухания поляризации Тг. Согласно модели (7.48),

(7.49) , поляризация среды может затухать не только из-за уменьшения энергии, но и вследствие относительного изменения фаз (дефазировки) осцилляторов. Поэтому в общем случае имеет место соотношение

Ті > Та - (7-55)

В частности, возможно сильное неравенство

Гх » Г2, (7.56)

означающее, что затухание поляризации целиком обусловлено дефазировкой

колебаний.

В рамках модели (7.48), (7.49) время релаксации энергии есть

Ті = 1/Г = 1/Дш. (7.57)

Что же касается дефазировки колебаний, то ясно, что в неоднородном ансамбле она происходит тем быстрее, чем больше разброс осцилляторов по частотам. Используя понятие неоднородной ширины спектра, можно, следовательно, за­писать

Т2 ~ 1/Дш*. (7.58)

Принципы частотной и временнбй спектроскопии. Ансамбль осцил­ляторов, описываемый уравнениями (7.48),(7.49), представляет собой линейную систему. Как и всякая линейная система, он может быть охарактеризован ча­стотным коэффициентом передачи (в терминах оптики — линейной оптической восприимчивостью) x(w) и импульсной переходной функцией (функцией Гри­на) h(t). Частотный коэффициент передачи характеризует отклик системы на гармоническое воздействие, в то время как функция Грина описывает ее реакцию на очень короткий возбуждающий импульс. В общем случае эти две характеристики линейной системы связаны между собой преобразованием Фу­рье:

оо

К*) = ^ J х(и)еш1<ко, (7.59)

—ОО

оо

x(u>) = J h(t)e~luidt, (7.60)

—ОО

В соответствии с принципом причинности, согласно которому отклик системы не может опережать воздействие на нее, функция Грина отлична от нуля лишь для положительных значений своего аргумента, а для отрицательных значений времени она равна нулю:

h(t < 0) = 0. (7.61)

Поэтому формула (7.60) может быть записана в следующем виде:

ОО

X(w) = J h{t)e~iu, tdt. (7.62)

о

В настоящее время в оптике разработаны и применяются спектроскопические методики, которые позволяют измерять как дисперсию восприимчивости х(ш), так и импульсный отклик среды h(t). Методы стационарной или частотной спектроскопии, в которых характеристики исследуемой среды (коэффициент поглощения, показатель преломления, интенсивность рассеяния) измеряются в зависимости от частоты излучения и>, несут информацию о дисперсии воспри­имчивости х(ш)- Идеальным прибором для частотной спектроскопии является лазер с перестраиваемой частотой излучения. Импульсные или нестационар­ные методы, появившиеся после создания лазеров, генерирующих сверхкорот­кие световые импульсы, дают возможность прямого измерения импульсного отклика среды h(t). Поскольку функции х(оо) и h(t) связаны между собой пре­образованием Фурье, обе группы методов, в принципе, дают эквивалентную спектроскопическую информацию. На практике нестационарную спектроско­пию применяют, как правило, для исследования узких спектральных линий.

Один из примеров показан на рис. 7.12. На рис. 7.12, а представлен спектр колебаний молекул водорода, измеренный с помощью узкополосного, перестра­иваемого по частоте лазера. На рис. 7.12, б изображен импульсный отклик (де­фазировка) колебательно возбужденных молекул водорода, измеренный с по­мощью сверхкоротких лазерных импульсов.

Частотная восприимчивость и импульсный отклик неод­нородного ансамбля осцилляторов. В качестве примера вычислим функции х(ш) и h(t) для модельной неоднородной системы, описываемой урав­нениями (7.48), (7.49).

Обычно в оптике хорошо выполняются условия

й » Aw* > Г, (7.63)

т. е. средняя частота колебаний осцилляторов значительно превышает как од­нородное, так и неоднородное уширения. В этом случае целесообразно перейти от уравнения (7.48) к укороченному уравнению для амплитуды колебаний.

Предположим, что световое поле представляет собой узкополосный (ква - зигармонический) процесс, причем средняя частота поля настроена на центр неоднородно уширенной полосы:

E(t) = ^£(4) ехр (г wt) + к. с. (7-64)

Подставив (7.64) в (7.48), будем искать решение в виде

xj(t) = 7}Xj(t)exp(iwt) + к. с. (7.65)

В приближении медленно меняющихся амплитуд, означающем, что £(t) и xj(t) мало меняются за время порядка периода световых колебаний, получим

Г

xj + -^xj = itlijxj + A(t), (7.66)

где

A(t) = 7 £(t), e

(7.67)

7 :

2 tmw

Подставив (7.65) в (7.49), получим

P = ^73ехр(гш<) + к. с., (7.68)

где

= Л/е(х), (x) = Y^PJZJ - (7-69)

Итак для расчета поляризации среды необходимо вычислить среднюю ампли­туду колебаний (х), определяемую формулами (7.66), (7.69).

Найдем решение уравнения (7.66). Применяя спектральный метод, разло­жим функцию A(t) и xj(t) в интеграл Фурье:

ОО

т = ^ I А(ш)еш(Ь,, (7.70)

—ОО

оо

xj{t) = J xj(w)e‘“tdu;. (7.71)

—ОО

Подставив (7.70), (7.71) в (7.66), находим связь между спектральными ампли­тудами

xj(w) = Xj{w)A{w), (7.72)

где

XJ(«) = --------------------------------------------------- -1 - р>0, (7.73)

гиі — iu)j + Г/ 2

— частотный коэффициент передачи (линейная оптическая поляризуе­мость) для данного осциллятора.

Подставив (7.72) в (7.71) и используя формулу обратного преобразования Фурье

(7.74)

вытекающую из (7.70), получим

(7.75)

где

(7.76)

hj(t) — функция Грина осциллятора, соответствующая частотному коэффи­циенту передачи xj(w)- Наконец, подставив (7.73) в (7.76), найдем явное выра­жение для hj(t):

(7.77)

Заметим, что согласно (7.77),

/ij(0) = 1, /1.7(00) = 0.

Формула (7.77) позволяет переписать (7.75) в виде

(7.79)

Итак, решение уравнения (7.66) дается формулами (7.79), (7.77). Интеграл

(7.79) носит название интеграла Дюамеля. Формула (7.79) выражает тот факт, что “отклик” линейной системы xj(t) есть линейный запаздывающий функци­онал относительно “входного сигнала” A{t). С помощью (7.79) нетрудно выяс­нить физический смысл функции Грина hj(t). В самом деле, полагая

A(t) = const • S(t)

где S(t) — дельта-функция, получим

xj(t) = const • hj(t).

Таким образом, функция Грина характеризует отклик системы на очень корот­кий возбуждающий импульс. Подставив (7.79) в (7.66), нетрудно показать, что функция Грина удовлетворяет следующим уравнению и начальному условию:

Таким образом, функция Грина может быть найдена либо путем фурье-преоб - разования частотного коэффициента передачи, либо как решение однородного уравнения, описывающего свободные колебания линейной системы. Разумеет­ся, оба подхода дают один и тот же результат.

Используя формулы (7.79), (7.69), среднюю амплитуду колебаний (х) также можно представить в виде интеграла Дюамеля

ОО

<*) = J A(t - 0ЩЄ) (ів, (7.83)

о

где

М«) = 5>J МО, (7.84)

j

h(t) — функция Грина ансамбля осцилляторов. Из условия нормировки веро­ятностей J2PJ — 1 и (7-82) следует, что в общем случае h(0) = 1. Кроме того, j

из (7.84) и (7.77) вытекает (7.61).

Итак, функция Грина рассматриваемого неоднородного ансамбля осцилля­торов описывается формулами (7.84), (7.77). Частотная восприимчивость среды определяется формулой (7.62).

Пример: доплеровская дефазировка. Рассмотрим возбуждение газообразной атомарной или молекулярной среды коротким импульсом света

Я(0 = 5^(*)е<м"*,)+к. с. (7.85)

А

Из-за того, что скорость света есть конечная величина, элементарные осцилля­торы среды, расположенные в разных точках пространства г, начнут колебать­ся в разные моменты времени. Это приведет к тому, что непосредственно после прохождения светового импульса все осцилляторы будут совершать колебания на одной и той же частоте, но с разными фазами, причем изменение фазы ко­лебаний в пространстве будет закономерно связано с длиной волны возбужда­ющего излучения (“волна когерентных колебаний”). Затем под влиянием хао­тического теплового движения частиц начнется разрушение пространственно - сфазированной решетки осцилляторов (рис. 7.13) и вследствие этого — зату­хание оптической поляризации среды. Описанный механизм релаксации поля­ризации назовем доплеровской дефазировкой.

Рис. 7.14. Характеристики доплеровской дефазировки

Выведем выражения для частотной восприимчивости среды х(^) и функции Грина h(t), соответствующих доплеровской дефазировке. Для этого воспользу­емся формулой.

й> = kvz (7.86)

для доплеровского сдвига частоты осциллятора и функцией распределения те­пловых скоростей

(7.87)

В формулах (7.86), (7.87) к — волновое число световой волны,

at = кБТ/М,

0-2 — дисперсия тепловых скоростей, кБ — постоянная Больцмана, Т — абсо­лютная температура газа, М — масса осциллятора (атома или молекулы).

Пренебрегая затуханием колебаний, запишем функцию Грина отдельного осциллятора, обладающего скоростью vz, в виде

h(vz) = exp(ikvzt), а функцию Грина для всего ансамбля как

ОО

h = (h(vz)) = J h(vz)w(vz)dvz.

— OO

Подставив (7.87), (7.89) в (7.90), найдем

h{t) = ехр.

ОО

x(w) = J /і(і)е_ш‘сіі = —— ехр(—u>2/2<72),

— ОО

где

а = kav.

Итак, поставленная задача решена. Графики функций x(oj) и h(t) показаны на рис. 7.14 (ср. с рис. 7.12). Полученные здесь результаты могут быть обобщены с учетом столкновений, изменяющих тепловые скорости, а также квантовые состояния и зависящие от них собственные частоты колебаний осцилляторов. Соответствующая теория развита в работах [6; 8; 9] (см. также лекцию 6).