Теория и практика экструзии полимеров

ТЕЧЕНИЕ ЖИДКОСТИ ЧЕРЕЗ ПЛОСКУЮ НЕОГРАНИЧЕННУЮ ЩЕЛЬ

При выводе основных расчетных уравнений предполагаем, что:

I) жидкость несжимаемая, с произвольной кривой течения

y=/w,

смачивает стенки канала;

2) жидкость высоковязкая, массовыми силами пренебрегаем;

3) процесс изотермический;

4) влиянием боковых стенок канала пренебрегаем. Предполага­ем также, что давление является функцией только координаты *, I. е., что р = />(*), и поэтому градиент давления dp/d* = const (рис. 1.16, а).

Рассмотрим при этих условиях баланс сил, действующих на • юмент жидкости единичной ширины, толщиной 2у и длиной d* (см. рис. 1.16, а).

Проектируя действующие силы на ось *, получим:

р2у 1 - (p+dp)2y ■ I + 2td* • I = 0.

о I куда

ТЕЧЕНИЕ ЖИДКОСТИ ЧЕРЕЗ ПЛОСКУЮ НЕОГРАНИЧЕННУЮ ЩЕЛЬ

(1.102)

| ле р — давление жидкости; d/>/d* — градиент давления в направлении оси г; А — пысота канала; т — напряжение сдвига в плоскости, перпенликулирной оси у, и направлении оси z.

ТЕЧЕНИЕ ЖИДКОСТИ ЧЕРЕЗ ПЛОСКУЮ НЕОГРАНИЧЕННУЮ ЩЕЛЬ

Рис. 1.16. К анализу процесса течения и плоской неограни­ченной щели

Из уравнения (1.102) следует, что в плоском неограниченной щели напряжение сдвига изменяется линейно по высоте канала (рис. 1.16, б).

Для жидкостей с произвольной кривой течения имеем следую­щее реологическое уравнение:

. dv,

= (1103)

гле v — текущая скорость жидкости.

Интегрированием уравнения (1.103) получим:

v у

fdv= I /(т)<1у. (1 104)

0 /;/ 2

Для ньютоновской жидкости с реологическим уравнением

(1.105)

у = /(т) = т/р

имеем:

1 f А

(1.106)

V = — J T(iy. МА/2

С учетом (1.102) для напряжения сдвига получим следующее выражение для скорости жидкости в плоской неограниченной щели:

Id рУ. 1 dpf

V = —j yxiy = f-

2ц dz

(1.107)

Для жидкости, подчиняющейся степенному закону вязкости, имеем |см. уравнение (1.26)]:

(1.108)

у = /(т)=лг*.

Совместным решением уравнений (1.108) и (1.104), с учетом выражения для напряжения сдвига (1.102), получим:

(1.109)

у -■ - - у т-тт. у dz

v= I /(t)dy = J A/2

*4У

A/2 Пр A/2

d y =

Для бингамовских жидкостей г/ т~тт

/(т) =-- т - при т>хт;

П/>

/(т)=0 при Т£ТТ. Из уравнения (1.104) получим:

d р

>• Т.-И-'т

Пр

(1110)

J_dp Пр dz

_iH)

Расход жидкостей (производительность) через неограниченную плоскую щель находится интегрированием скорости по попереч­ному сечению рассматриваемого канала:

А/2 Л/2

vyff2- rdv 0

А/2

(1.111)

Q = 2B ( i'dу = 2В 0

• и - // - ширима щели.

Первый член правой части уравнения (1.111) равен нулю, так ».iK при у = /г/2 v = 0 (из условия смачиваемости стенок).

Кроме тою,

dv = /(x)dy (1.112)

|см. уравнение (1.103)|.

Для нахождения выражения дифференциала dy обратимся к рис 1.16, б, на котором представлен график изменения напряже­ния сдвига по высоте канала, откуда следует (из подобия треуголь­ников), что

У _ т

Л/2

где тс - напряжение сдвига на стенках канала.

Из последнего выражения получим:

А ^,С, Т

Ь= 2~- (1.114)

С учетом выражений (1.112) и (1.114) уравнение (1.111) приво­дится к следующему виду:

„ I В/г2 'с в/i2 . .

Qs~7~T I TAT)dT = "TT 1 ^<T)dT - (1.115)

1 о 2 Тс О

Для ньютоновских жидкостей_/(т) = т/р. т. с.

„ В/r г. с т2 , /?Л2 тс

2т? о7 “"и’ <1116>

или с учетом, что

d р И

Tc = dT2- С"7)

окончательно получим:

^ в/i1, dP

В случае течения через плоскую щель степенной жидкости, для которой Дт) = схт*. из уравнения (1.115) следует:

„ B/r's i +1 . а В/г T*t2 aBhk+2 (6р к

2т2 о Т 2т2 * + 2 (* + 2).2*+l(d*J <1||9)

Для каналов постоянных размеров при стационарном течении можно принять, что

d р Лр

dF T

Тогда из уравнения (1.119) получим:

п aBhk*2 рк

где Др - перепад дапления в плоской шелн.

Для бингамовской жидкости, для которой/(т)® (т - т7)/пР. при « * тт А*) = 0, при т £ тт из уравнения (1.115) получим:

/ т/(т)с! т+/V(T)dr. (1.121)

° tr

Первый член правой части уравнения (1.121 )равеп нулю, так как Дт) = 0 при т < т, 17|.

Поэтому

>

3

/

B/r dp

ч

3

Ь

12г)р d^

dp h

1^5 J

2

dp h

[55j

.. В/г I с, 2 V В/г Q = = f (т - ттт }dr = =—

2тс П/,т. ' 2тспр

1.8.2. ТЕЧЕНИЕ ЖИДКОСТИ ЧЕРЕЗ ЦИЛИНДРИЧЕСКИЕ КАНАЛЫ

3

Тг Тт тгтг т.

(1.122)

При общепринятых допущениях в отношении ньютоновской * ид кости (и зотермичность и ламинарность процесса, прснебре - кснис массовыми и инерционными силами, несжимаемость жид­кости, смачиваемость стенки) из рассмотрения баланса сил, дей­ствующих на элемент жидкости толщиной dr и длиной d* (см. рис. I 17), получим:

.2 . л л. /„.л„_..2

ркг - + 2nrxdz~(р + dр)пг - О,

«»I куда

(1.123)

d р г

T"dz2’

ml - г — текущий радиус.

При г = R из уравнения (1.123) получим выражение для напря­

жения сдвига на стенке канала:

(1.124)

dp R

dc 2

ml - R — радиус канала.

Графическая иллюстрация уравнения (1.124) представлена на рис. 1.17. Из него следует, что:

(1125)

53

т/т с =г/К.

Рис. 1.17. К апашiv процесса течения в iih пшаричеекпм канале

откуда

r~~R - (1.126)

Для жидкостей с произвольной кривой течения имеем следую­щее реологическое уравнение:

dv v

Y_d7=/(T)' <1|27>

которое при интегрировании дает:

fdv=J/(x)dr. (1 128)

о к

Откуда для ньютоновской жидкости [см. уравнение (1.105)) скорость потока в цилиндрическом канале равна

v^[ldr (1.129)

С учетом уравнения (1.123) получим:

v2

ТЕЧЕНИЕ ЖИДКОСТИ ЧЕРЕЗ ПЛОСКУЮ НЕОГРАНИЧЕННУЮ ЩЕЛЬ

(1.130)

-TTr2 4м d z

откуда следует, что распределение скорости для ньютоновской жидкости при напорном ее течении в цилиндрическом канале яв­ляется квадратной функцией от радиуса R.

Для степенной жидкости (см. уравнение (1.108>| с учетом выра­жения (1.123) из уравнения (1.128) следует:

A+l

1 (d/Л* Я**1

(1.131)

d г = ~

a(A' + l)(d^J 2

Для бингамовской жидкости, реологическое уравнение кото­рой описывается формулой (1.24), имеем: г d р

v = (1132)

И Пр R Пр Пр ^Пр

Выражение для расхода жидкостей через круглый канал нахо - iiiM путем интегрирования скорости потока по поперечному сечс - ншо канала:

R R?

Q = j v2nrdr = тт J vdr = л vr" о о

(1.133)

Первый член правой части уравнения (1.133), из условия сма­чиваемости, равен нулю.

Из уравнения (1.127) получим, что

dv = /(x)dr, (1.134)

a dr находится дифференцированием уравнения (1.126):

(1.135)

dr = —dx.

тс

Гогда из уравнения (1.133) получим:

(1.136)

(?=-^T2/(x)dt.

4 О

Для ньютоновской жидкости с учетом ее реологического урав­нения из выражения (1.136) следует:

(1.137)

я/?3т:? •> х. л Я4 dp (? = “Г—ОХ-—-—f.

х3 О й d*

( учетом, что в цилиндрическом канале постоянного размера d/i/d* = tap/L, уравнение расхода для ньютоновской жидкости при­мет вид (уравнение Пуазейля):

0-t~L' <М38)

и р— перепал давления на длине I. цилиндрического канала.

Для жидкости, подчиняющейся степенному закону (1.108), из уравнения (1.136) получим:

TOC o "1-5" h z п я/?3 т. с 2 к « яд/?3 х£'3

Q = —Г / х дх dx =----------- =

X3 о X3 Л + 3

(1.139)

лаЯ**3 Г dpt тмЯ*’3 j'Ap4*

2‘(*+3)[<fcJ 2*(* + 3)t i

При A = 1 уравнение (1.139) превращается в уравнение Пуазсй - ля (1.138).

Для бингамовской жидкости с реологическим уравнением, описываемым формулами (1.108) и (1.136), имеем:

kR

Q

(1.140)

Тс

J* t2/(T)dT + TJ T2/(t)di

0 Тт

Первый член правой части уравнения (1.140) равен нулю, так как при х < хт Дх) = 0. С учетом этого из данного выражения получим:

'-Т

(1.141)

,, л/?3 V 2/ i я/?

тс Т, 4т1р

Расход бингамовской жидкости через круглую трубу можно представить и через перепад давления, заменив для этого напря­жение сдвига на стенке следующим его выражением:

ДpR

Теория и практика экструзии полимеров

Постачальник ПВХ, ПУ, промислових та гідравлічних рукавів

Компанія «Укр-Флекс» є провідним постачальником промислових рукавів та шлангів на українському ринку. Завдяки високій якості продукції, широкому асортименту та надійному обслуговуванню, ми забезпечуємо потреби різних галузей промисловості і гарантуємо задоволення …

Причины перейти на инженерные пластики

За последние десятилетия появилось множество полимерных материалов. Физические, механические свойства ряда из них настолько хороши, что они активно используются как альтернатива металлу. Особым спросом пользуются так называемые инженерные пластики. Полипропилен, …

СИСТЕМЫ ОХЛАЖДЕНИЯ РУКАВНЫХ ПЛЕНОК

Системы охлаждения экструзионных агрегатов для производ­ства рукавных пленок должны обеспечивать: — заданную интенсивность охлаждения с целыо получения ка­чественного изделия при заданной производительности экструдера; — заданную структуру пленки; — равномерность охлаждения …

Как с нами связаться:

Украина:
г.Александрия
тел./факс +38 05235  77193 Бухгалтерия

+38 050 457 13 30 — Рашид - продажи новинок
e-mail: msd@msd.com.ua
Схема проезда к производственному офису:
Схема проезда к МСД

Партнеры МСД

Контакты для заказов оборудования:

Внимание! На этом сайте большинство материалов - техническая литература в помощь предпринимателю. Так же большинство производственного оборудования сегодня не актуально. Уточнить можно по почте: Эл. почта: msd@msd.com.ua

+38 050 512 1194 Александр
- телефон для консультаций и заказов спец.оборудования, дробилок, уловителей, дражираторов, гереторных насосов и инженерных решений.