ПРИНЦИПЫ ЛАЗЕРОВ

МАТРИЧНОЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЕ ГЕОМЕТРИЧЕСКОЙ ОПТИКИ

Рассмотрим луч света, пропускаемый или отражаемый оптическим элементом, действие которого обратимо по отно­шению к входящему и выходящему пучкам и не зависит от поляризации света (например, линза или зеркало) [1]. Обо­значим через г оптическую ось этого элемента (например, линию, проходящую через центры кривизны двух сфериче­ских поверхностей линзы). Предположим, что луч распро­страняется преимущественно в направлении оси г в плоско­сти, содержащей эту ось. Лучевой вектор гх в данной плоско­сти на входе г = гх этого оптического элемента (рис. 4.1) можно охарактеризовать двумя параметрами, а именно, его радиальным смещением ^(^х) и отклонением по углу от оси г. Точно так же лучевой вектор г2 в данной плоскости на

Выходе z — г2 можно охарактеризовать его радиальным смещением r2(z2) от оси г и отклонением по углу 02. Отметим, что как для входящего, так и для выходящего лучей используется одна и та же ось значений г, ориентирован­ная так, как показано на рис. 4.1. Соглашение о знаках углов таково: вели­чина угла считается положительной, если вектор г нужно вращать по часо­вой стрелке для того, чтобы он оказался направлен вдоль положительного направления оси г. Так, например, на рис. 4.1 величина 0Х положительна, тогда как величина 02 — отрицательна.

В приближении параксиальных пучков лучей (англ. paraxial-ray ap­proximation) предполагается, что угловые отклонения 0 достаточно малы, чтобы выполнялись приблизительные соотношения sin 0 = tan 0 = 0. В этом случае параметры на выходе (г2, 02) и на входе (гх, 0Х) оказываются связан­ными некоторым линейным преобразованием. Если ввести обозначения 0Х = (drx /dzi)2l - г/ и02 = (dr2/dz2)Z2 = г', то можно записать:

Где А, Б, С и И — константы, характерные для данного оптического элемен­та. Таким образом, в матричном представлении соотношения (4.2.1) естест­венно записать в виде:

Где ABCD-матрица, или лучевая матрица, полностью характеризует дан­ный оптический элемент в приближении параксиальных пучков лучей.

В качестве первого и самого простого примера рассмотрим распростране­ние луча на расстояние Az = L в свободном пространстве среды с показателем преломления п (см. рис. 4.2а). Если плоскости на входе и на выходе располо­жены прямо на ее границах, в среде с единичным показателем преломления, то, используя закон Снеллиуса, в параксиальном приближении получаем:

Г2 =/j +Lr[/n, (4.2.3а)

Г2=г{, (4.2.36)

Так что соответствующая ABCD-матрица имеет вид:

1 L/n

0 ! • (4.2.4)

Расчет АВС1)-матрицы для: (а) распространения в свободном пространстве,

(б) распространения через тонкую линзу, (в) отражения от сферического зеркала

В качестве следующего примера рассмотрим прохождение луча сквозь линзу с фокусным расстоянием f (величина f берется положительной для фокусирующей линзы). Очевидно, что для тонкой линзы (см. рис. 4.2б)

(4.2.5а)

Второе соотношение получается из хорошо известной формулы геометри­ческой оптики, а именно (1/р) + (1/q) = (1//), и учета того факта, что p = r1/r{y8iq = - r2/r2. Используя также соотношение (4.2.5а), получаем:

Г2=~(1/ИП+Г{.

В соответствии с (4.2.5), АВСВ-матрица в этом случае равна:

1 О 1// 1*

В качестве третьего примера рассмотрим отражение луча сферическим зеркалом с радиусом кривизны II (величина Я берется положительной для вогнутого зеркала). В этом случае плоскости и г2 выбирают совпадающи­ми и расположенными непосредственно перед зеркалом, а положительное направление оси г считают одним и тем же для падающего и отраженного лучей (рис. 4.2в). За положительное направление оси г принимают направ­ление слева направо для падающего луча и справа налево для отраженного. Угол для падающего луча положителен, если вектор гх нужно вращать по часовой стрелке для того, чтобы он оказался направлен вдоль положитель­ного направления оси г19 тогда как угол для отраженного луча положителен, если вектор г2 нужно вращать против часовой стрелки для того, чтобы он оказался направлен вдоль положительного направления оси г2. Например, на рис. 4.2в величина г{ положительна, а величина г2'— отрицательна. При этих условиях лучевая матрица для вогнутого зеркала с радиусом кривиз-

Лучевые матрицы для некоторых простых случаев

Если вместо вектора в правой части (4.2.10) подставить выражение (4.2.9), то получим:

(4.2.11)

Рис. 4.3

Распространение луча через три различные плоскости, когда известны матрицы для распространения луча между

ПЛОСКОСТЯМИ 2 = 21И2 = 2(

И ПЛОСКОСТЯМИ 2 = 2гИ2 = 22

Таким образом, полную АВС1)-матрицу для составной системы можно полу­чить перемножением АВСХ>-матриц для отдельных ее компонент. Отметим, что порядок, в котором матрицы входят в такое произведение, противополо­жен порядку пересечения соответствующих элементов световым лучом.

В качестве первого и, в некотором смысле, тривиального примера ис­пользования полученного результата рассмотрим распространение луча в свободном пространстве среды с показателем преломления п на расстояние Ь19 за которым снова следует такое же распространение в той же среде на другое расстояние Ь2. Согласно (4.2.4), результирующее матричное соотношение можно записать в виде:

Используя хорошо известные правила перемножения матриц, легко пока*? зать, что произведение этих двух квадратных матриц дает следующую пол*' ную матрицу:

1 (Ь1+Ь2)/п

О 1

(4.2.13)

Этот расчет подтверждает очевидный вывод, что результирующее распро-; странение в свободном пространстве эквивалентно такому распространении*: на суммарное расстояние Ь = Ьх+ Ь2.

В качестве менее тривиального и более полезного примера рассмотрим распространение на расстояние Ь в свободном пространстве среды с показав телем преломления п = 1, за которым следует отражение от зеркала с радиу1< сом кривизны Я. Согласно (4.2.4), (4.2.7) и (4.2.11), полная АВСХ)-матрицц задается соотношением *

Отметим, что определители матриц (4.2.13) и (4.2.14) равны 1, и этот резуль­тат оказывается справедливым для любой произвольной последовательно­сти оптических элементов, поскольку определитель произведения матриц равен произведению их определителей.

Обратимся теперь к вопросу о нахождении элементов А', В', С', П лучевой матрицы при распространении луча через оптическую систему в обратном направлении в зависимости от заданнных матричных элементов А, В, С, О для распространения в прямом направлении. Обращаясь к рис. 4.1, видим, что если взять - г2 в качестве вектора на входе, т. е. если поменять направлю

Ниє вектора г2 на противоположное, то вектор ~гх должен быть вектором на выходе. Для обратного распространения будем использовать то же соглаше­ние о знаках, что использовалось для отражения луча от сферического зерка­ла (рис. 4.2в), а именно: 1) ось г направлена в противоположную сторону, то­гда как ось г остается неизменной; 2) угол между вектором г и осью г положи­телен, если вектор г нужно вращать против часовой стрелки, чтобы направить его вдоль оси г. При этих соглашениях видно, что вектора - Гі и - г2 определя­ются соответственно координатами (гІ9-г{) и (г2,-г2). Тогда следует записать:

Из (4.2.15) можно найти г2 и г2 в зависимости от гх и г/. Поскольку опреде­литель А'В'С'£>'-матрицы также равен 1, получаем:

Сравнение (4.2.16) с (4.2.1) показывает, что А' = £>, В' = Б, С' = С, а £>' = А, так что результирующая А'Б'С'1)'-матрица равна

Таким образом, соотношение (4.2.17) показывает, что матрица для распро­странения в обратном направлении получается из матрицы для распростране­ния в прямом направлении просто перестановкой матричных элементов А и И.

Матричное представление пригодно не только для описания поведения луча при прохождении им оптической системы, но может быть также использова­но для описания распространения сферической волны. Действительно, рас­смотрим сферическую волну, исходящую из точки Рх на рис. 4.4 и распростра­няющуюся вдоль положительного направления оси 2. После прохождения оп­тического элемента, характеризуемого данной АВС1)-матрицей, такая волна обычно преобразуется в другую сферическую волну, с центром в точке Р2.

Рассмотрим теперь два сопряженных луча гг и г2 этих двух волн, т. е. таких, что оптический элемент переводит падающий (или входящий) луч гх В ВЫХОДЯЩИЙ луч г2. Радиусы кривизны и Я2 фронтов двух волн в плоско­сти на выходе 2Х и плоскости на выходе г2 оптического элемента нетрудно получить в виде:

Яі =П/г{, - Й2 =Г2/Г2'-

ВА 4. РАСПРОСТРАНЕНИЕ ЛУЧЕЙ И ВОЛН В ОПТИЧЕСКИХ СРЕДАХ

Отметим, что в (4.2.18) использовано следую соглашение о знаках: величина Л положительа если центр кривизны находится слева от волн; вого фронта. Из соотношений (4.2.1) и (4.2.18) получаем:

+ В СИ + 2)

Соотношение (4.2.19) является очень важным ре­зультатом, поскольку оно непосредственно свя­зывает радиусы кривизны Н2 и ^ волновых фрон­тов соответственно на выходе и на входе данного оптического элемента через элементы описываю­щей его АВС1)-матрицы.

В качестве первого простейшего примера ис­пользования этого результата рассмотрим рас­пространение сферической волны в свободном пространстве между точками с координатами и г2 на рис. 4.5а. Из (4.2.4) при п=1и1 = г2-21,а также (4.2.19) получа­ем: #2 = + (%2 ~ гг)у что> конечно, является очевидным результатом. Рас­

Смотрим далее распространение сферической волны через тонкую линзу (рис. 4.5б). Из (4.2.6) и (4.2.19) получаем:

(4.2.20)

Что просто соответствует известному закону геометрической оптики:

Р1 +9“1 = г1.

Хотя оба примера на рис. 4.5 являются достаточно простыми примене­ниями соотношения (4.2.19), его полезность можно оценить при описании более сложных оптических систем, составленных, например, из последова­тельности линз, расположенных на некотором расстоянии друг от друга. В этом случае полная АВСБ-матрица определяется произведением матриц для каждого оптического компонента, а радиус кривизны фронта волны на выходе легко определяется с помощью соотношения (4.2.19).