Теория электропривода

Математическое описание процессов электромеханического преобразования энергии. Математическое описание обобщенной электрической машины

Основным элементом электромеханической системы является электродвигатель. Его можно представить состоящим из механической части (ротора или якоря, обладающих инерцией) являющейся механическим звеном, и электрической, в которой происходит электромеханическое преобразование энергии. Эту часть сокращенно называют ЭМП – электромеханический преобразователь энергии. ЭМП можно рассматривать как идеализированный двигатель, ротор (якорь) которого не обладает механической энерцией и не имеет механических потерь. К такому ротору приложен развиваемый ЭМП при скорости w электромагнитный момент М двигателя.

Любую многофазную электрическую машину при условии равенства полных сопротивлений статора (ротора) для изучения динамических процессов можно заменить эквивалентной двухфазной машиной. При такой замене возможно обобщенное математическое описание процессов преобразования энергии во вращающейся машине на основе рассмотрения идеализированного 2-х фазного ЭМП, который иначе называется обобщенной электрической машиной.

При обобщенном математическом описании за основу была принята теория Уайта и Уотсона, которые обобщили теории электромеханического преобразования энергии различных видов электрических машин. Полученная при таком описании модель машины и является обобщенной электрической машиной.

При замене реальной машины обобщенной сделаны следующие допущения:

1. Магнитная цепь машины не насыщена и имеет высокую магнитную проницаемость m.

2. Неравномерность зазора, обусловленная пазами, не учитывается, воздушный зазор считается равномерным, а ротор гладким. Сосредоточенные в пазах реальной машины проводники обмоток с током в обобщенной машине заменяются синусоидальными токовыми слоями, эквивалентными по МДС первым гармоникам МДС соответствующих реальных обмоток.

3. Не учитываются потери в стали на гистерезис и вихревые токи.

4. Зазор явнополюсной машины принимается равномерным, а не явнополюсность учитывается разной проводимостью по продольной и поперечной осям путем введения понятная переменой радиальной магнитной проницаемости:

, где

- электрический угол поворота ротора относительно статора.

5. Параметры ротора считаются приведенными к статору.

6. Сопротивления обмоток фаз статора и ротора считаются одинаковыми.

Схему обобщенной двухполюсной машины можно представить так, как изображено на рис. На 2-х взаимно перпендикулярных осях a и b, жестко скрепленных со статором, расположены две обмотки статора. На 2-х взаимно перпендикулярных осях d и q, жестко скрепленных с ротором, расположены две обмотки ротора. Они вращаются в пространстве вместе с ротором с угловой скоростью wЭЛ. Процессы проходящие в машине, описываются уравнениями равновесия ЭДС в цепях статора и ротора и уравнением электромагнитного момента.

Согласно закону Кирхгофа уравнения электрического равновесия имеют вид:

;

;

;

.

В обобщенном виде эти уравнения можно записать так:

.

Уравнения потокосцеплений с обмотками:

;

;

;

.

1-й индекс у индуктивностей и взаимных индуктивностей обмоток указывают, в какой обмотке наводятся ЭДС, а 2-й – током какой обмотки она создается. Например, L1a,1a - собственная индуктивность фазы a статора; L1b, 2d – взаимная индуктивность между фазой b статора и фазой d ротора.

В обобщенной форме эти уравнения имеют вид:

При работе реальной машины взаимное положение обмоток статора и ротора непрерывно меняется, следовательно, их собственные и взаимные индуктивности являются функцией электрического угла поворота ротора.

У симметричной неявнополюсной машины собственные индуктивности статора и ротора не зависят от положения ротора, т. е.

;

.

Взаимные индуктивности между обмотками статора равны 0, т. к. магнитные оси этих обмоток сдвинуты в пространстве относительно друг друга на угол jэл.=90°, т. е.;

Взаимные индуктивности обмоток статора и ротора проходят полный цикл изменений при повороте ротора на jэл.=2p. Поэтому с учетом принятых на рисунке, направлений токов и знака угла поворота ротора можно написать:

;

;

;

.

Здесь L12 – максимальная взаимоиндуктивность когда оси соответствующих обмоток совпадают.

Для явнополюсной машины в соответствие с выражением собственные и взаимные индуктивности обмоток можно представить в виде суммы 2-х составляющих, одна из которых пропорциональна m, а другая - Dm. Первые не отличаются от рассмотренных для неявнополюсной машины. Вторые совершают полный цикл изменения при повороте ротора на одно полюсное деление.

Т. к. ротор считается гладким, то собственные индуктивности явно полюсного статора не зависят от положения ротора, а собственные индуктивности ротора изменяются в соответствии с изменением Dm. Взаимные индуктивности между обмотками ротора при явно полюсном статоре ¹0 и также определяются изменением Dm, т. к. явнополюсный статор при вращении ротора изменяет картину магнитного поля в воздушном зазоре. Соответствующие изложенным положениям выражения для индуктивностей и взаимных индуктивностей здесь не приводится ввиду их громоздкости.

С учетом представления потокосцеплений в обобщенной форме, уравнение электрического равновесия можно записать в виде:

Электромагнитный момент обобщенной машины можно найти как частную производную от запаса электромагнитной энергии А по геометрическому углу. .Т. к. , то

Подставив сюда выражения собственных и взаимных индуктивностей неявнополюсной машины, уравнение электромагнитного момента можно получить в виде: .