СОЕДИНЕНИЯ С НАТЯГОМ

Распределение нагрузок и перемещений по длине соединений при упругом деформировании стыка

Рассмотрим случай передачи соединением крутящего мо­мента. Характер распределения нагрузок и перемещений в посадках может быть установлен [20, 38] путем со­ставления баланса перемещений элемента dz, выделен­ного двумя поперечными сечениями на расстоянии z от края посадочной поверхности (рис. 4.2). В этом случае угловые перемещения сопрягаемой поверхности опреде­ляются: перемещениями втулки и вала от передаваемого крутящего момента; круговыми перемещениями в попе­речных сечениях втулки и вала от действующих на по­верхности контакта касательных напряжений; переме­щениями в стыке сопряженных поверхностей, который рассматривается как третье тело, обладающее особыми механическими свойствами [28]. При упругом деформи­ровании стыка сумма продольных перемещений должна быть равна нулю.

При нагружении соединений крутящими моментами с разных сторон (рис. 4.2, а) в сечение с координатой z втулкой передается момент Mz, а валом — момент М— Mz. При нагрузке с одной стороны в сечение z (рис. 4.2, б) втулкой и валом передается момент Мг. Прираще­ние момента на длине dz составит dMz. Из условия равновесия

DMz = + nddz/2, (4.4)

Где т2 — касательные контактные напряжения в стыке; D — средний диаметр сопряженных поверхностей.

« — с разных сторон; б — с одной стороны от сопряженных поверхностей

Рис. 4.3. Схема закручивания элемен­тов dz втулки и вала

Рассмотрим схему закручи­вания элемента dz для случая приложения нагрузки с разных сторон сопряженных поверхно­стей (рис. 4.3). До приложения нагрузки сечения втулки и ва­ла плоскостью, проходящей через ось симметрии элемен­та dz, совпадают и занимают положение ОО. Под воз­действием внешнего крутящего момента сечения ОО втулки и вала изменят свое положение. Если рассмат­ривать только перемещения в стыке, считая его третьим телом [28], то осевые сечения втулки и вала переме­стятся из положения ОО в положение АВ и С Д. Эле­менты dz втулки и вала под воздействием передаваемого крутящего момента закручиваются на углы Фвт = Фвт + Фвт и Фв — Фв + Фв и занимают положения Л, В, и CiDi.

На поверхности сопряжения втулки и вала действу­ют касательные контактные напряжения TZ, которые вы­зывают круговые деформации в плоскости поперечного сечения. Вследствие неравномерного распределения ка­сательных контактных напряжений по длине поверхно­сти сопряжения элементы dz втулки и вала дополнитель­но закручиваются на углы d0BT = D&BT - f- d6BT и dQB=dQB + + dQB. Осевые сечения втулки и вала займут при этом положение А2В2 и C2D2. Разность углов закручива­ния элементов dz втулки и вала компенсируется каса­тельными смещениями в стыке, угловая величина которых ^Фст = Фет — Фет"

Составляя баланс перемещений по замкнутому кон - туру Л2С2ВД, получаем уравнение

Фст + dQВ + фв + Фв + dQB — фст - f dQm — фвт —

TOC o "1-3" h z — фвт + ^бвт —0. (4.5)

Углы закручивания элементов dz втулки и вала

, . г Mzdz..

Фвт = Фвт + Фвт = г. • (4-6)

^вт* вт

5* 131

, . . (M—Mt)dz

(Рв = Фв + % = ---------- , ,

Где Gвт и GB — модули сдвига материала втулки и вала; 1ВТ, I»—полярные моменты инерции поперечного сечения втулки и вала.

Круговые деформации элементов dz втулки и вала от действующих в стыке касательных напряжений тг определяются выражениями d0BT = DOBT - f d6BT = 61вт — — G2bt; d6B = dQB +dQB = 01B —82B; где 0lBT; 02BT; BIb", 02B — центральные углы поворота точек поверхности контакта в плоскости поперечного сечения втулки и вала на краях элемента dz. Для определения углов 0ВТ и 0В рассмотрим представленные на рис. 4.4 схемы деформа­ций поперечных сечений втулки и вала под воздействи­ем касательных контактных напряжений TZ. Двумя ци­линдрическими и двумя радиальными сечениями выде­лим элемент ABCD. Под воздействием на боковые гра­ни напряжений тр он займет положение ABXCXD. Угол сдвига (BABi=y, рис. 4.4, а), выделенного элемента Y^tp/G - Из геометрии следует:

Dp Р

(4.8)

(4.9)

Ю

Где d6gT и — элементарные углы круговой деформа­ции в поперечном сечении втулки и вала. Принимая на основании работ [47, 56] квадратичный закон распреде­ления касательных напряжений по радиусу, получим тр BT=Tzd[2]/4p2; тр „ = тг4р2/(Р. Подставим эти значения в уравнения (4.8), (4.9)

DenBT=J**-JЈ-f (4.10) 4 а„ р»

D6nB = - Ј-pdp. (4.11) <PGB

Интегрируя уравнения (4.10), (4.11) по радиусу, опре­делим углы круговых деформаций

D,/2 _ _ D/2 D/2

X РФ:

2GB"

Приращения этих углов на длине элемента Dz

(4.13,

На основе зависимости (4.2) угол сдвига от смеще­ний в стыке <рст=2/СтТ2/^, а его приращение на длине элемента Dz

<*фСт = Фст — Фст — ZKjdxJd. (4.14)

Подставляя формулы (4.4, 4.6, 4.7, 4.12—4.14) в урав­нение (4.5), получим после преобразований дифферен­циальное уравнение второго порядка

Лине соединения с натягом можно оценить с помощью предложенного в работе [43] коэффициента концентрации

G = (4.22)

Тср

2М П<Р1

Пряжения, найденные из условия их равномерного рас­пределения по длине соединения. Подставляя в уравне­ние (4.22) выражение (4.20), получаем для случая уп­ругого деформирования стыка

% = E-Kz,D _ Ekz/A (4.23)

D М М J

Если GBT/BT>GB/B, то наибольшие касательные кон­тактные напряжения rZmax и соответствующие им g бу­дут в сечении с координатой z=/. При GaT/BT= GB/B Tzmax и g на краях посадки одинаковы. Если GBT/BT< <G„/B, то наибольшая концентрация нагрузки будет при 2 = 0.

В случае приложения крутящего момента с одной стороны от поверхности сопряжения (рис. 4.2, б) все выкладки носят аналогичный характер, но уравнение (4.5) видоизменяется, и его решение М. = М

= - 2ki/d—j— [eHl+z)ld — tHl~z),d]- Касательные на­пряжения tz и перемещения 6Z в стыке определяются вы­ражениями

X [e*(,+z>/rf - f efc<* z>/rfJ. В этом случае наибольшая кон­центрация нагрузки будет со стороны ее приложения при любом соотношении жесткостей при кручении втулки и

Вала. Коэффициент 6 = №H'd + Ч-

Приведенные соотношения справедливы лишь для слу­чая упругого деформирования стыка при его первона­чальном нагружении или после упрочнения.

Аналогично решается задача о распределении нагру­зок и перемещений в стыке по длине соединения при пе­редаче осевых усилий. Решение этой задачи для абсо­лютно жесткой втулки с учетом контактной податливо­сти стыка дано в работе [43], а с учетом податливости стыка и деформации обеих сопрягаемых деталей от касательных и нормальных усилий — в работе [21].