Железобетон

РАСЧЕТ ПРОЧНОСТИ ПО НОРМАЛЬНЫМ СЕЧЕНИЯМ ЭЛЕМЕНТОВ ПРЯМОУГОЛЬНОГО И ТАВРОВОГО ПРОФИЛЯ

Элементы прямоугольного профиля с одиночной ар­матурой (без предварительного напряжения) имеют сле­дующие геометрические характеристики (рис. III.12):

АЬс = Ьх; Zb — H0—0,5дс, (III.8)

Где H0 и B —рабочая высота и ширина сечення.

Высоту сжатой зоны х определяют на основании ра­венства (III.3) из выражения

BxRb = RsAs. (III. 9)

Условие прочности, согласно выражению (III.4), име­ет вид

M*ZRbbx(H0— 0,5*). (III. 10)

Удобно пользоваться также выражением моментов, взятых относительно оси, проходящей через центр тяжес­ти сжатой зоны:

M<.RsAs(H0 — 0,5*). (III.11)

Формулы (III.9) и (III.10) или (III.11) применяют совместно. Они действительны при X<Lyh0, где ІУ опре­деляют по выражению (11.42).

Коэффициент армирования

H=As/bh0 (III. 12)

И процент армирования р-ЮОс учетом соотношений (III.9) и £=X/HQ могут быть представлены так:

Li = LRb/Rs; = 100м - = 1 OOlRb/Rs. (III. 13)

Отсюда можно устано­вить максимально допусти­мое содержание арматуры в прямоугольном сечении по предельным значениям из условия (11.42) (см. § II.6).

Если x>lyh0, то изгиба­ющий момент вычисляют П0,| указаниям, приведенным в п. III.2.

Рис. III.12. Прямоугольное се­чение с одиночной арматурой и схема усилий при расчете прочности элемента по нор­мальному сечению

1 — нормальные трещины; 2 — Граница сжатой зоны

Из анализа выражений (111.10) и (111.11) следует, что несущая способность элемента может быть удов­летворена при различных со­четаниях размеров поперечного сечения элемента и ко­личества арматуры в нем. В реальных условиях стои­мость железобетонных элементов близка к оптимальной при значениях:

|і=1. .

Ц =0,3.

£=0,3. I =0,1.

0,4 0,15

} (HI. 14)

0,6

-для балок - для плнт

Прочность сечения с заданными B, As (материалы и момент М предполагаются известными) проверяют в та­кой последовательности: из выражения (III.9) находят высоту сжатой зоны х, проверяют ее по условию (III. 1) и затем пользуются выражениями (III.10) или (111.11).

Сечение считается подобранным удачно, если его не­сущая способность, выраженная по моменту, превышает заданный расчетный момент не более чем на 3—5 %.

Сечення подбирают по заданному моменту по выражениям (III.9) и (III.10) нлн (III.11) прн знаке равенства в инх.

В практике для расчета прямоугольных сечеиий с одиночной ар­матурой пользуются вспомогательной таблицей (III. 1). Формулы

(ШЛО) н (IM.11), преобразуя, приводят к виду

M = A0BhlRb-, As=Mlnh0Rs,

(III. 15) (III. 16)

Где

A0 = (Xlh0){ 1 -0,5*/fco) = |(1 -0,5|); T) = Z/H0 = 1 - 0,5X/H0 = 1 - 0,5Ј.

Из равенства (III. 15) находят выражение для определения рабочей высоты сечення

H0=VM/A0BRb.

По выражениям (III.17) и (III.18) для коэффициен­тов А0 и составлена табл. III.1. Пользование этой табли­цей значительно сокращает вычисления.

Размеры сечений bah подбирают в следующем по­рядке: задаются шириной сечения b и рекомендуемым значением коэффициента | согласно (III.14), по которому из табл. III.1 находят коэффициент А0; по формуле (III. 19) вычисляют рабочую высоту сечения hQ, находят полную высоту H=HQ + A и по ней назначают унифициро­ванный размер. Если данные размеры b и h не отвечают конструктивным или производственным условиям, их уточняют повторным расчетом.

Сечение арматуры As определяют в такой последова­тельности: вычисляют Л0 из выражения (III.15), для не­го по табл. III.1 находят т) и | и по формуле (III.16) оп­ределяют As, проверяя при этом условие (ІЦ.1).

Табл. III.1 может быть использована и для проверки 'прочности элемента. Вычисляют I=As/BhQ по известным данным о сечении, а также значение | по формуле (III.13), проверяя его по условию (III.1). Затем по | на­ходят в табл. III.1 значение А0 и по формуле (III.15) вы­числяют изгибающий момент, выдерживаемый сечением.

(III.17) (III. 18)

(III.19)

Элементы прямоугольного профиля с двойной армату­рой. В практике могут встретиться случаи применения элементов с двойной арматурой (рис. III.13), хотя арма­тура в сжатой зоне менее эффективна, чем в растянутой.

145

Если в изгибаемом элементе предусматривается про­дольная арматура в сжатой (при действии нагрузки) зо­не (с /?sc^400 МПа), учитываемая в расчете, то для пре­дотвращения выпучивания продольных стержней попе­речную арматуру ставят: в сварных каркасах на расстоя­ниях не более 20D, в вязаных каркасах не более Bd

10-943

Таблица 111.1. Вспомогательная таблица для расчета изгибаемых элементов прямоугольного сечения, армированных одиночной арматурой

(d — наименьший диаметр сжатых продольных стерж­ней) и не более 500 мм.

Подставив АЬс и Zb из равенства (ПІ.8) в формулу (III.4), получим условие прочности изгибаемого элемен­та прямоугольного сечения, армированного двойной ар­матурой (при отсутствии Ар и Лр):

М < Rb Ъх (А0 - 0,5*) + Rsc A'S (H0 - а ), (III.20)

Ъ подставив АЬс в формулу (III.3), получим уравнение ^для определения положения границы - сжатой зоны

Rbxb = RsAs-RscAs. (III. 21)

При ЭТОМ имеется в виду соблюдение условия X^Lyho.

Если при одиночной арматуре оказывается, что *>£?Л), то арматура в сжатой зоне требуется по расчету. В этом случае нужно пользоваться расчетными формула­ми (III.6) и (III.7). В условиях применения бетонов

Рис. III.13. Прямоугольное сечение с двойной арматурой и схема усилий при расчете прочности элемента по нормальному сечению

1 — нормальные трещины; 2 — граница сжатой зоны

Класса ВЗО и ниже в сочетании с арматурой класса не выше A-III можно расчет производить по формуле

M^A^bbhl + R^A^hv-a), (III.22)

Где Av—A0 — нз табл. II1.1 для значения i = iv, вычисленного по фор­муле (11.42).

При подборе сечений с двойной арматурой по задан­ному моменту, классу бетона и классу стали возможны задачи двух типов.

Задача типа I. Заданы размеры & и Л. Требуется оп- ; ределить площадь сечения арматуры Asw. As.

Решение. Из условия (III.20), учитывая выражение ■(III.17), при X=Iyh0 находим

A's=(M-AyRb bhl)/Rsczf, (III.23)

А из уравнения (III.21)

As = A's RJRS + Ly Rb bh0/Ra. (Ill.24)

10* 147

Задача типа II. Заданы размеры сечения B и H и сжа­тая арматура A's. Определить площадь сечения армату­ры Ав.

Решение. Из условия (111.20), принимая во внимание выражение (III.17), находим, что

Aa={M-RscAszs)/Rbbhl (III.25)

Если Ло^Лу, из табл. III.1 находим | и из равенства (III. 21)

А= A'SRJRs + Lhh0Rb/Rs. (III. 26)

Если А0>АУ, заданное количество As недостаточно.

При проверке прочности сечения (данные известны все) вычисляют высоту сжатой зоны из уравнения (111.21), затем проверяют условие (111.20).

Предварительно напряженные элементы с наличием в поперечном сечении арматуры A'Sp и A'S рассчитывают ана­логично описанному, также с использованием выражений (II 1.3) и (III.4), но при сохранении всех членов.

Элементы таврового профиля. Тавровые сечения встречаются в практике весьма часто как в отдельных железобетонных элементах — балках (рис. III.14, а, б),

Так и в составе конструкций — в монолитных ребристых и сборных панельных перекрытиях (рис. III. 14,В, г,). Тавровое сечение образуется из полки и ребра.

В сравнении с прямоугольным (см. пунктир на рис. III.14, а) тавровое сечение значительно выгоднее, ибо при одной и той же несущей способности (несущая способ­ность железобетонного элемента не зависит от площади сечения бетона растянутой зоны) расходуется бетона меньше вследствие сокращения размеров растянутой зо­ны. По той же причине более целесообразно тавровое се - , чение с полкой в сжатой зоне (рис. III.14,а), так как полка в растянутой зоне (рис. 111.14,6) не повышает несущей способности элемента.

Тавровое сечение, как правило, имеет одиночное ар­мирование.

При большой ширине полок участки свесов, более удаленные от ребра, напряжены меньше. Поэтому в рас­чет вводят эквивалентную ширину свесов полки bд (рис. III. 14,В, г). Она принимается равной: в каждую сторону от ребра — не более половины расстояния в свету между ребрами с и не более '/в пролета рассчиты­ваемого элемента, а в элементах с полкой толщиной hf <0,1 h без поперечных ребер или с ребрами при рас­стоянии между ними — более размера между продольны­ми ребрами, вводимая в расчете ширина каждого свеса Ь( не должна превышать 6H /. Для отдельных балок тав­рового профиля (при консольных свесах полок) вводи­мая в расчет ширина свеса b д (рис. III.14, а) должна составлять:

При h'f>0,1 не более 6 h'f

При 0,05< H'F<0,1 H . . » » 3 Hf

При hf <0,05h свесы полки в расчете не учитывают.

При расчете тавровых сечений различают два случая положения нижней границы сжатой зоны: в пределах полки (рис. III.15, а) и ниже полки (рис. 111.15,6).

Нижняя граница сжатой зоны располагается в преде­лах полки, т. е. x^Zhj в сечениях с развитыми свесами. В этом случае тавровое сечение рассчитывают как пря­моугольное с размерами B/ и H0 (рис. III.15, а), по­скольку площадь бетона в растянутой зоне на несущую способность не влияет.

Расчетные формулы (для элементов без предвари­тельного напряжения):

Rbb'fx=RsAis (III. 27)

M<Rbbf(h0 — 0,5*) (111.28)

Или

M<CAaRbb)Hl, <Ш.29>

Где Ац — коэффициент из табл. III.1.

Нижняя граница сжатой зоны размещается ниже полки, т. е. x>hj, в сечениях со слаборазвитыми свеса­ми. В этом случае сжатая зона сечения состоит из сжа­той зоны ребра и свесов полки.

Положение нижней границы сжатой зоны определя­ется из уравнения

ЯД^^г + Я^ — (Ш. ЗО)

О) Я

Зовы проходит

А—в пределах полки; 6 — ниже полки

Условие прочности при моментах, вычисляемых отно­сительно оси, нормальной к плоскости изгиба и проходя­щей через точку приложения равнодействующей усилий в растянутой арматуре, имеет вид

М с Rb Ьх (h0 — 0,5*) + R6 (bj—b) h'f (Л0 — 0,5/iJ}. (Ш.31)

Для тавровых сечений должно соблюдаться условие

Ориентировочно высота тавровой балки может быть определена по формуле (из опыта проектирования)

H = (7 ... (Ш.32)

Где H — см; М, кН-М. Ширину ребра о5ачно принимают равной

Ь= (0,4 ... 0,5}Л. (1IL33)

Размеры полки и ft/ чаще всего известны из компо­новки конструкции. Сечение арматуры во расчетному моменту определяют в зависимости от расчетного слу -

* чая. Если нейтральная ось проходит в пределах полки, то Л5 находят из расчета сечения как прямоугольного с оди­ночной арматурой при размерах B T и H0, используя табл. III.1.

Расчетный случай таврового сечения может быть оп­ределен по следующим признакам:

Если известны все данные о сечении, включая Л s, то при

Rs А5 < Rb B'F H'F (III.34)

Граница сжатой зоны проходит в полке; при обратном неравенстве она пересекает ребро;

Если известны размеры сечения Bf, Hf, B, H и за­дан расчетный изгибающий момент, но /4S неизвестно, то при

M<Rbb'FH'F(H0-0,5,) (III.35)

Граница сжатой зоны проходит в полке; при обратном не­равенстве она пересекает ребро.

Для случая, когда граница сжатой зоны проходит ни­же полки, формулы (II 1.31) и (III.30) можно преобразо­вать с учетом соотношений х=Уг0 и (III.17):

Я Ag = ІRbbh0 + Rb(B'F-B)Hf-, (III.36)

M < A0 Rb bh + Rb (T(f - b)hf(h0- 0,5H), (III.37)

Где коэффициенты A0 принимают по табл. III. 1.

Эти формулы можно использовать для подбора сече­ния. Если требуется определить Лї, то из (III.37) вычис­ляют

А0= [M-Rb(B'!-B)H)(HQ-0,5Hf)]/Rbbhl, (III.38)

Затем из табл. II 1.1 находят соответствующее вычис­ленному Л0, и, согласно формуле (III.36),

As = [№0 + (B'f - Ь) Hf] Rb/Rs. (III.39)

Если необходимо проверить прочность сечения при всех известных данных, то расчетный случай лучше уста­новить по формуле (II 1.35) и затем (если граница сжа­той зоны ниже полки) по выражению (III.30) вычислить высоту сжатой зоны х, после чего воспользоваться фор­мулой (III.31).

§ III.4. РАСЧЕТ ПРОЧНОСТИ ЭЛЕМЕНТОВ ПО НОРМАЛЬНЫМ СЕЧЕНИЯМ ПРИ КОСОМ ИЗГИБЕ

В практике наиболее часто применяют элементы с по­перечными сечениями, имеющими по крайней мере одну ось симметрии. Если при этом плоскость действия внеш­него изгибающего момента (от заданных нагрузок и опорных реакций) занимает наклонное положение отно­сительно плоскости симметрии сечения, то элемент ока­жется подверженным косому изгибу.

Элементы, испытывающие косой изгиб, в общем слу­чае могут быть армированы продольными стержнями с размещением их по всему периметру сечения.

Если элемент подвержен косому изгибу с постоян­ным положением плоскости действия внешнего изгибаю­щего момента, то в таком элементе продольные стержни арматуры целееообразно размещать сосредоточенно, т. е. только в растянутой зоне поперечного сечения, по воз­можности дальше от границы сжатой зоны. Рассмотрим далее косоизгибаемые элементы прямоугольного попе - ' речного сечения, которые применяют наиболее часто в практике (рис. III.16).

В результате расчета конструкции определяют значе­ние внешнего изгибающего момента и положение плос­кости его действия. Обычно эта плоскость проходит че­рез геометрическую ось элемента, принятую в расчетной схеме конструкции. Естественно равнодействующую уси­лий Ns в стержнях растянутой арматуры расположить в той же плоскости (рис. III.16, а, б). Тогда и равнодейст­вующая сжимающих напряжений Ns в бетоне сжатой зо­ны должна разместиться в той же плоскости.

Но равнодействующая растягивающих усилий Ns Может быть принята расположенной и вне плоскости дей­ствия внешнего момента, на некотором расстоянии е (вследствие расчета того же элемента при другой ком­бинации нагрузок или по условиям унификации и т. д.). В этом случае равнодействующая Nb напряжений в бето­не сжатой зоны займет положение в плоскости, парал­лельной плоскости действия внешнего момента (рис. III.16, е).

Сжатая зона бетона может иметь форму треугольни­ка или трапеции. Усиление ее арматурой обычно нерацио­нально.

Прочность косоизгибаемого элемента по нормальному

Сечению рассчитывают в плоскости III—III, перпенди­кулярной границе сжатой зоны, с размерами сечения х (высота сжатой зоны) и Л0 по условию

М cos (а — (Ц) < Rb Abc Гъ (III. 40)

I ж

(обозначения а, ф и Zb — см. на рис. III.16, а).

Площадь бетона сжатой зоны АЬс определяют из ра­венства значений равнодействующих в растянутой и сжа­той зонах

RsAs = RbAbc - (III.41)

В формулах (111.40) и (111.41) напряжение во всех стержнях арматуры принято одинаковым, поскольку они расположены приблизительно на одном расстоянии от границы сжатой зоны.

Положение границы сжатой зоны определяют с уче­том того, что плоскость внутренней пары сил или совпа­дает с плоскостью действия внешнего изгибающего мо­мента, или ей параллельна. Остальные требования, предъявляемые к расчету изгибаемых элементов,— соб­людение условия l=x/hQ<ly, учет повышенного сопро­тивления высокопрочной арматуры — сохраняются и для косого изгиба.

Косоизгибаемые элементы с отмеченными особенно­стями можно рассчитывать также по сопоставлению про­екции внешнего момента и момента М внутренней пары сил на плоскость симметрии 1:

Mt=M cos ф < As Rs (h0i - *0). (Ill. 42)

Определение размеров треугольной сжатой зоны (рнс. III. 16,А). Учтем соотношение

М2/Мі — Л8 Rs (й02 - У)/As Rs (Лох - X) = (Ло2 - Y0)(Hoi — *0),(III.43)

Где М2 — проекция изгибающего момента, действующего в плоскости J, на плоскость симметрии 2.

Обозначим

С0= M2/M! = tgq> (III. 44)

И примем во внимание, что при треугольной форме сжа­той зоны

АЬс= 1/2хіУі, Х0= 1/3*! и у0= L/Зуі. (111.44а)

Выражения (II 1.41) и (111.43) приводят к уравнению

+ 3 - V) - 2 Ag - = О, (III. 45)

Из которого находим значение Х{. Затем из выражения (111.41) вычисляем у І.

Если х получается отрицательным или Yi>B, это зна­чит, что сжатая зона имеет не треугольную, а трапецие­видную форму.

Определение размеров сжатой зоны трапециевидной

Формы (рис. III. 16,6). Размеры сжатой зоны Х и х2 мо­гут быть определены из соотношения

As tfs = 0,5 (*1 + Х2) BRb (III.46)

И равенства (111.43), в котором

У0 = (BJ3)(Xl + 2х2)/(х1 + х2У, х0 = 1/з (4 + ^ *2 + х22)!{х1 + х2)

Эти выражения приводят к уравнению 4 + (B/C0 - Ci} Xl + сх (3HJC0 - 2B/CQ - 3H01 + С,) = 0, (III .48) Где

C1^2AsRslbRb. (III.49)

Эти формулы справедливы и в том случае, когда плоскость положения равнодействующих усилий в рас­тянутой и сжатой зонах сечения параллельна плоскости действующего изгибающего момента (рис. III.16, в). ^