Железобетон

КОЛЕБАНИЯ ЭЛЕМЕНТОВ КОНСТРУКЦІЙ’]

1. Динамические нагрузки

Элементы железобетонных конструкций в зависимости от их назначения могут испытывать действие помимо статических также и динамических нагрузок. Динамиче­ские нагрузки весьма разнообразны. Они создаются раз­личными неподвижно установленными на перекрытиях зданий машинами с вращающимися частями (электромо­торы, вентиляторы, токарные станки и т. п.), механизма­ми с возвратно-поступательным движением масс (ткац­кие станки, типографские машины и т. п.), машинами ударного и импульсного действия и др.

Подвижные динамические нагрузки сообщаются эле­ментам конструкций различными мостовыми и подвесны­ми кранами в виде ударных воздействий (колес о рельсо­вые стыки), колебательных воздействий (от неуравнове­шенности ходовых частей) и т. п.

Ветровые нагрузки (порывы, пульсация) вызывают колебания многоэтажных зданий и высоких сооруже­ний — дымовых труб, башен, мачт и др.

Сейсмические нагрузки возникают при землетрясении в виде толчков и ударов, сообщаемых элементам конст­рукции колебаниями почвы.

Ударные и импульсные кратковременные нагрузки, развивающиеся и исчезающие с большой скоростью, вы­зываются действием взрывов.

Динамические нагрузки характеризуются: видом (си­ла, момент), законом изменения во времени (вибрацион­ные, периодические, ударные), положением (неподвиж­ные, подвижные) и направлением (вертикальные, гори­зонтальные) .

В зависимости от продолжительности вызываемых ко­лебаний нагрузки делятся на многократно повторные (систематические) и эпизодические. К систематическим относятся нагрузки, создаваемые регулярной работой ма­шин и установок в рабочем режиме, а также многократ­ные удары и импульсы, при действии которых необходи­мо учитывать усталостное снижение прочности бетона и арматуры. К эпизодическим нагрузкам относятся одииоч-
ные удары и импульсы, кратковременные перегрузки, возникающие при пуске и остановке машин и т. п. Дан­ные о подвижных динамических нагрузках, ветровых и 'сейсмических, приведены в нормах на нагрузки и воздей­ствия и в нормах на строительство в сейсмических райо­нах.

2. Свободные колебания элементов с учетом неупругого сопротивления железобетона

Свободные колебания элементов с одной степенью свободы описываются гармоническим законом (рис. VIII.1).

Y = Asin (orf-f є), (VIII. I)

Где A — амплитуда колебаний; to — круговая частота или число ко­лебаний в 2л(с); она связана с периодом колебаний Т и технической частотой (Гц) п зависимостью

О = 2л/Т = 2ля; (VIII. 2)

Е — начальная фаза (или угол%сдвига фаз), показывающая, в какой фазе движения находилась точка в начальный момент времени (*=0), и определяющая ее начальное перемещение.

Рис. VIII.1. График свободных ко­лебаний системы

Рис. VII 1.2. График свободных за­тухающих колебаний системы

Рис. VII 1.3. Диаграмма ра­бот за один цикл, петля ги­стерезиса

Наблюдаемые на практике свободные колебания эле­ментов представляют собой затухающие гармонические колебания с н&прерывно уменьшающейся амплитудой со­гласно уравнению

Y = At mT) sin (at + e), (VIII.3);

~{6T/T)

Где e — затухающая функции времени.

Амплитуды последовательных циклов свободных за­тухающих колебаний в элементах конструкций убывают по закону геометрической прогрессии, так что отношение АІ/АІ+Х остается постоянным (рис. VIII.2); 6=ІпАі/Аі+г— Логарифмический декремент затухания — характеризует скорость затухания колебаний, при 8->-0 колебания пере­ходят в свободные незатухающие. В элементах конст­рукций за каждый цикл свободных колебаний некоторая доля энергии затрачивается в необратимой форме на преодоление сопротивлений в системе. Эти сопротивле­ния могут быть внутренними и внешними: внутренние обусловлены главным образом неупругими деформация­ми бетона, возникающими даже при малых напряжени­ях; внешние создаются силами трения в опорных закреп­лениях системы и воздушной средой. Для элементов же­лезобетонных конструкций внешние сопротивления в сравнении с внутренними обычно малы.

Зависимость между внешней силой F и перемещением У за полный цикл колебаний, согласно опытным данным, представляется в виде диаграммы работы (рис. VIII.3). Петля на диаграмме носит название петли гистерезиса; площадь петли дает значение энергии ДИ7, которая по­глощается в необратимой форме за один цикл колеба­ний и рассеивается в среду в виде тепла. Мерой затуха­ния служит коэффициент поглощения энергии

Г|> = Д W/W, (VIII.4)

Где W — работа упругих сил системы иа четверть цикла, измеряемая площадью заштрихованного треугольника.

Опыты показывают, что коэффициент поглощения энергии для железобетона зависит от жесткости стыков и соединений сборных элементов, совместной работы плит, панелей, балок и других элементов при колебаниях. При испытаниях в натурных условиях наблюдается раз­брос значений ■ф, обусловленный типом железобетонной конструкции, а также методикой испытаний. Некоторые опытные данные о значениях iJj приведены в табл. VIII. 1.

Коэффициент поглощения энергии ijj равен удвоенно­му логарифмическому декременту затухания свободных колебаний:

Ф = 25. (VIII. 5)

Таблица VIII.1. Значения коэффициента поглощения энергии ф для железобетона

При динамических расчетах используют коэффициент неупругого сопротивления железобетона

V = ■Ф/гя = б/я, (viii. 6)

Значение которого устанавливают в зависимости от кате­гории машины по динамичности у=0,05...0,1.

Если положение системы

При колебаниях определяет - а) g

Ся п независимыми величи - J

Нами, то система имеет п ~~

Степеней свободы. Балка на двух опорах с одной сосре­доточенной массой в проле­те M=F/G является систе­мой с одной степенью свобо­ды (массой балки как малой величиной в сравнении с со­средоточенной массой пре­небрегают), но та, же балка с двумя сосредоточенными массами представляет собой систему с двумя степенями свободы (рис. VIII.4). Балка со сплошной распределенной нагрузкой рассматривается как система с бесконеч­ным числом степеней сво­боды.

В)

Т

X

Т

В)

1Ї.

Т

Рис. VIII.4. Положение систем при колебаниях

А — с одной степенью свободы; б — с двумя степенями свобо­ды — симметричная форма; в — С двумя степенями свободы — кососимметричная форма

Число частот и форм свободных колебаний системы равно числу ее степеней свободы. По любому fc-му тону,
где k—l, 2 п система с п степенями свободы соверша­ет независимые свободные колебания,

Ук = Ah Е~(Ыт sin (o)fe T + вк), (VIII. 7)

Где оІн — частота свободных колебаний K-Ro тона; Аь, є» — началь« ные амплитуда н фаза fe-ro гона; б — логарифмический декремент затухания, одинаковый для всех тонов.

Частоты свободных колебаний системы расположены в возрастающей последовательности 0<о)1<о)2: : : <<йп

И. образуют спектр частот свободных колебаний. Каждой частоте отвечает своя единственная форма свободных ко­лебаний. Железобетонные конструкции обычно представ­ляют собой статически неопределимые системы с боль­шим (или бесконечно большим) числом степеней свобо­ды. Поэтому для практического определения частот и форм свободных колебаний конструкцию в расчетной схеме приближенно расчленяют на отдельные элементы. Например, железобетонные перекрытия условно расчле­няют на систему плит и балок и т. п.

Частоты свободных колебаний m систем с затухани­ем и систем без затухания одинаковы. Влияние затуха­ния существенно сказывается лишь в резонансной обла­сти при вынужденных колебаниях.

3. Вынужденные колебания элементов

При действии на массу возмущающей силы F(T) коле­бания становятся вынужденными. При этом динамиче­ское перемещение системы с одной степенью свободы будет вызвано действием силы инерции массы — M(D2Y/Dt2) и возмущающей силы, т. е.

«/ = -6„m-^- + 611f (0. (VIII. 8)

Это условие приводит к дифференциальному уравне­нию вынужденных колебаний

(VIII. Я)?

At° Оц

Если возмущающая сила изменяется по гармоничес­кому закону F(Vj=/:'sin0/, то решение уравнения (VIII.9} будет

У = A (sin Ві — sin ш/); (VIII. 10>

Чдесь амплитуда вынужденных колебаний

А = Flm (<о? — в?). (VIII. И)

Преобразуем выражение амплитуды вынужденных колебаний, используя выражение частоты колебаний:

<о? = 1/бцт. (VIII. 12)

Тогда

А = m"F = =р/, (VIII. 13)

<о? - 0? 1 - (02/«2) • V '

Где f=6nF —статический прогиб от действия силы F;

6 = (VIII. 14)

^ 1—(02/0)2)

Коэффициент динамичности, характеризующий отношение динамичес­кого прогиба к статическому.

Зная динамический коэффициент р, можно произвес­ти динамический расчет балки статическим путем. Дей­ствительно, вызванный динамичностью нагрузки рост прогиба в Р раз (при сохранении той же формы изогну­той оси) влечет за собой увеличение во столько же раз всех внутренних усилий и деформаций.

Коэффициент динамичности при учете затухания сво­бодных колебаний

Р = l/j/"[l -(02/(й2)]2 + V?. (VIII. 15)

Начальная фаза колебаний є сучетом затуханий оп­ределяется выражением

Tge = V/[l-(02/CD2)]. (VIII. 16)

Из формулы (VIII.15) следует, что коэффициент ди­намичности зависит от отношения квадратов частот воз­мущений силы и свободных колебаний 02/ю2 и от коэффи­циента неупругого сопротивления у. При совпадении частоты возмущающей силы 9 с частотой свободных колебаний системы ю наступает резонанс, при котором амплитуда вынужденных колебаний достигает макси­мума.

В условиях резонанса коэффициент динамичности для железобетона может достигать р = 10...20.

На рис. VIII.5 показаны резонасные кривые при раз­личных значениях коэффициента неупругого сопротивле­ния у в зависимости от отношения частот 6/ю. Из сравне­ния резонансных кривых следует, что влияние неупруго­го сопротивления железобетона на амплитуду вынужден­ных колебаний в области резонанса, когда 6/<a=l вели­
ко, а в области, от него удаленной, — незначительно. При этом в предрезонансной области всегда а в зарезо - йансной области возможны значения р<1.

Если в идеально упругой'системе амплитуда вынуж­денных колебаний при резонансе неограниченно возрас­тает и стремится к бесконечности, то в железобетонной

Конструкции амплитуды вы­нужденных колебаний при резонансе ограничиваются конечным пределом, тем меньшим, чем больше коэф­фициент неупругих деформа­ций.

Способность железобето­на (как и других строитель­ных материалов) поглощать энергию в необритимой фор­ме сказывается весьма бла­гоприятно на динамической

Коэффициент динамич­ности р для систем с боль­шим числом степеней свобо­ды следует вычислять по той частоте свободных колеба­ний (Ok, которая ближе к ча­стоте возмущающей силы 0, статический прогиб f следу­ет вычислять по k-й форме колебаний и в зависимости от положения возмущающей силы на расчетной схеме.

4. Динамическая жесткость железобетонных элементов

Практика обследований в натуре колеблющихся же­лезобетонных конструкций показывает, что перемещения от статических нагрузок обычно.. во много раз больше амплитуды перемещений, вызываемых динамическими нагрузками, и потому изменение знака напряжений при колебаниях представляет редкое исключение.

Рис. VIII.5. Резонансные кри­вые прн различных значениях коэффициента неупругого со­противления

K

3,5 5

2,5 2

H5 1

0,5 О

Динамический модуль упругости бетона при измене­нии напряжений от нуля до максимума за небольшие периоды времени в процессе колебаний железобетонных элементов практически можно считать постоянным, рав­ным начальному модулю упругости бетона.

Жесткость элементов железобетонных конструкций, ^воспринимающих динамические нагрузки эксплуатацион­ного характера, определяется как и при статических на­грузках. Если элемент работает с трещинами в растяну­той зоне, то при определении жесткости принимают l|)s = і==і]зь = 1 (см. гл. VII). При многократно повторном •действии вибрационной нагрузки в результате накопле­ния остаточных перемещений ( под влиянием виброползу­чести бетона сжатой зоны) элемент начинает совершать колебания вокруг линии установившихся прогибов, т. е. совершать колебания как упругая система. Поэтому при определении жесткости В коэффициент Я.6 принимают ■ как при кратковременном действии н-агрузки.

При оценке частот колебаний и амплитуд перемеще­ний необходимо исходить из среднего возможного значе­ния жесткости В, наиболее вероятного в действительных условиях производства. Следует считаться с тем, что ди­намические перемещения элементов зависят от жесткости нелинейно: с изменением жесткости элемента в меньшую сторону динамические перемещения в зависимости от новой частоты свободных колебаний могут либо умень­шаться, либо увеличиваться.