ОСНОВЫ ЭНЕРГОСБЕРЕЖЕНИЯ И ЭНЕРГОАУДИТА
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ТЕПЛОПРОВОДНОСТИ
Дифференциальным уравнением теплопроводности называется математическая зависимость, связывающая между собой все физические параметры, характеризующие явление теплопроводности внутри объема. Если такую связь найти явно относительно температуры, т. е. T = f (x, y, z, т), то можно определить плотность теплового потока. Для вывода дифференциального уравнения теплопроводности необходимо представить себе объем тела в декартовой или цилиндрической системе координат, которое нагревается или охлаждается и внутри которого имеет место температурное поле. Теплопроводность вещества зависит от температуры, координат точки, времени, плотности, теплоемкости и других физических параметров тела. Для установления математической зависимости этих параметров необходимо часть из них взять в бесконечно малом значении, в виде частных производных (дT /Cx, дT / дy , дT /дт, дqx / дx и т. д.), а часть в конечном - dТ,
Dx, dy, dz, dт, X, с, p.
Если начало координат расположить в центре тела, то во всех случаях его средняя температура определяется по формулам:
• для параллелепипеда
1 +Rj +R2 + R3
J dx J dy J T (x, y, z, T) dz ;
-Ri — R2 — R3
Для цилиндра
1 +R1 2n +L
J rdr J dф J T(r, Ф, z, т)dz.
Ср nR 22L 0 0 — L
Удельное внутреннее тепловыделение W имеет вид:
DQw
= W,
DVdT
Где dQw - количество теплоты, выделяемое в объеме dV = dx dу dz за время d^
Отношение X = a называется коэффициентом температуропро - (ср)
|
T =- Ср 2Rj 2R2 2R |
Водности вещества, м2/с, который характеризует скорость выравнивания температуры в неравномерно нагретом объеме тела.
Дифференциальное уравнение теплопроводности Фурье для изотропного твердого тела в декартовой системе координат (установлен Ж. Б. Фурье в 1822 г.) имеет вид:
|
5T |
|
+ |
|
+ |
|
= a |
|
(cp) |
Г д 2T д 2T д 2T ^ W
+
Дг2 ду2 5z 2
Если температурное поле стационарное - имеем дифференциальное уравнение Пуассона:
Д 2T д 2T д 2T
W
+ —^ + — = 0 .
5z 2 X
При отсутствии внутренних источников теплоты, когда тепловыделение W равно нулю, имеем дифференциальное уравнение Лапласа:
|
+ |
|
+ |
Д 2T д 2T д 2T
=0.
Дифференциальные уравнения Фурье, Пуассона и Лапласа могут быть двумерными, когда температура зависит от двух любых координат, и одномерными, когда температура зависит только от одной координаты пространства.
|
Дх2 + ду2 |
В теплофизике и теплотехнических приложениях наиболее часто встречаются следующие случаи:
|
Д 2T |
|
5T дт |
|
+ |
|
■ = a ■ |
|
Дх2 |
|
Дт |
5T Г д2T д2T
=a
Дх2 ду2
|
D2T |
|
D2T dx 2 |
|
=0. |
+ W = 0;
Dx2 X
Дифференциальные уравнения теплопроводности в декартовой системе координат удобно использовать в тех случаях, когда тело имеет форму параллелепипеда, куба, призмы прямоугольного или квадратного сечения, неограниченной пластины (плоской стенки), толщина которой весьма мала по сравнению с другими размерами.
Для тел цилиндрической формы эти уравнения более удобно использовать в цилиндрической системе координат х = r cos у, у = r sin у, которые характеризуются осью z, радиусом r и углом поворота у. Дифференциальное уравнение теплопроводности Фурье в цилиндрической системе координат имеет вид:
|
Г д2T 1 5T |
|
1 д 2T д 2T ^ |
|
5T дт |
|
W (cp). |
|
+ |
|
=a |
|
5z 2 |
|
2 r 5г r2 ду2 |
|
5г |
В теплофизике и теплотехнике часто встречаются тела, которые имеет форму (или близко к форме) цилиндра конечных размеров, диска конечных размеров, бесконечного цилиндра (тело, длина которого весьма велика по сравнению с диаметром), и они описываются дифференциальными уравнениями Фурье, Пуассона и Лапласа:
Л d 2T 1 dT W „
|
Г д 2T |
|
D2T 1 dT -+-------------- = 0 . R dr |
|
5T дт |
|
_+1 дГ 2 r 5г |
|
A |
—— +------- + — = 0 ;
R dr X
Dr2 r dr X dr2
Для тел шаровой формы дифференциальное уравнение теплопроводности более удобно использовать в сферической системе координат:
5г
|
Rd2T + 2 дТ I 2 r dr |
|
Ct Дт |
|
= a |
|
Dr |
Если тело жидкое, то элементарный объем движется в пространстве большого объема, принимая температуру той точки, в которой оказывается. Для неподвижного элементарного объема температура изменялась бы по времени. Следовательно, причинами изменения температуры элементарного объема являются его перемещение между точками с разной температурой и его нахождение в большом объеме, температура которого меняется во времени. Дифференциальное уравнение для движущегося элемента жидкости носит название Фурье—Кирхгофа и устанавливает связь между временными и пространственными изменениями температуры в любой точке движущейся среды:
ДТ
------ + ю------ + ю------ + ю — = a
Дт x dx y dy z dz
Г d 2T d2T d2T | dx2 dv2 dz2
