ДВИЖЕНИЕ ЖИДКОСТЕИ И ГАЗОВ В ПРИРОДНЫХ ПЛАСТАХ

Вытеснение нефти растворами активных примесей

Понятие активной примеси. Основные уравне­ния. Рассмотрим двухфазное фильтрационное течение нефти и воды, предполагая, что вода (а возможно, и нефть) содержит не­которую добавку, способную влиять на гидродинамику потока. Та­кую добавку независимо от ее природы назовем активнойпри - м е с ь ю. Концентрацию примеси будем считать малой и не меня­ющей удельных объемов фаз. К активным примесям можно отнес - ти практически все химические реагенты, применяемые для увели­чения нефтеотдачи. При всем разнообразии механизмов их дейст­вия гидродинамическое описание роли таких примесей оказывает­ся в сделанном предположении единым. Действительно, посколь­ку в силу независимости плотности фаз от содержания примеси уравнения баланса воды и нефти не изменяются, любое гидродина­мическое действие активной примеси может сводиться лишь к изме­нению проницаемости k, фазовых проницаемостей вязкостей ці и капиллярного давления Рс. В свою очередь, это сводится, в силу сказанного в гл. IV, к влиянию активной примеси на прони­цаемость k (что существенно лишь при описании неодномерных процессов), на функцию распределения потоков F и на функцию Рс (что, в свою очередь, существенно в тех условиях, когда ка­пиллярным скачком давления нельзя пренебречь). Таким образом, при описании одномерных крупномасштабных процессов достаточ­но знать лишь влияние активной примеси на функцию распределе­ния потоков F. Отдельным важным вопросом становится влияние примеси на неравновесные процессы. Этот вопрос должен стать предметом специального рассмотрения; в настоящее время по нему имеются лишь первоначальные представления.

Примесь может находиться в трех состояниях — растворенном в воде, растворенном в нефти и сорбированном пористой средой. Поэтому полное количество ее в единице объема среды равно (msci + + т( 1—s)c2 + a), а поток CiUi + с2и2 + q, где с,- — концентра­ция примеси в і-й фазе; а — количество примеси, сорбированное пористым скелетом; q — диффузионный поток. Уравнение баланса примеси имеет вид

[msci +m(l—s)c2+a]ll+ div (^и, + c2u2 + q) = r, (V.44)

Где г — скорость генерации примеси в единице объема среды. Рас­сматривая крупномасштабные медленные процессы, следует пре­небречь диффузионными потоками (см. § 1 данной главы), а рас­пределение примеси между фазами считать термодинамически равно­весным. Ограничимся в последующем рассмотрением одномерных движений. Тогда (при г = 0) имеем

Сі — с, с2 = ?(с), a = a(c, s), F = F (s, с), (V.45)

[msc + tn(\—s)<?{c)+a (с, s)], t + U [cF + f (с) (1 —F)], x = 0. (V.46)

Таким образом, задача о фронтальном вытеснении нефти рас­твором активной примеси в крупномасштабном (внешнем) прибли­жении описывается системой уравнений (IV.33) и (V.46), содержащей три функции F (s, с), f (с), а (с, s), которые считаются заданными. Индивидуальность процесса проявляется лишь в конкретном виде этих функций.

Этот вывод при всей его простоте имеет принципиальное значе­ние. Он определяет тот минимально необходимый объем эмпири­ческой информации, который должен определяться до проведения расчетов. Полученная система уравнений позволяет описать такие основные процессы повышения нефтеотдачи, как вытеснение нефти растворами водорастворимых поверхностно-активных веществ, водо­растворимыми полимерами и карбонизированной водой. Далее анализ проводится в самых общих предположениях о виде входных функ­ций F(s, с), <р (с), а (с, s). Его результаты оказываются неожиданно простыми; они позволяют дополнительно ограничить требуемый объем исходной информации.

Фронтальное вытеснение нефти раствором актив­ной примеси.

Автомодельные решения. Структура зоны вытес­нения. Рассмотрим одномерное фронтальное вытеснение нефти из полубесконечного пласта раствором активной примеси. При сде­ланных предположениях задача сводится к решению системы урав­нений:

Ms, t + U [F (s, с)]., = О, [mcs + т? (с) (1 — s) + а] , + U [cF + (1 - F) 7 (с)]. * = О, (V.47) 0</< оо, 0<л;< оо, U> О при начальных и граничных условиях

S(x, 0) = so, с(х, 0) = со, s(0, t) = s°, с(0, t) = с0. (V.48)

Возникшая ситуация близка к той, которая хорошо изучена в газовой динамике. Эта аналогия существенно облегчает исследование.

Анализ размерностей показывает, что решение этой задачи авто­модельно и имеет вид

S = s(5); с = с(Е); l = mx/Ut, (V.49)

Где s (?), с (£) удовлетворяют системе обыкновенных дифференциаль­ных уравнений

£ ds __ dF (s, с)

4Si" dt ' (V.50)

,dfcs + (l— s)y (c) + g/ml _ d [cF + у (с) (1 - F)}

5 ds Ті

При краевых условиях

S(0) = s°, c(0) = c°, s(oo) = S0, с(оо) = с0. (V.51)

При этом, как и в газовой динамике, ни исходная задача (V.47) — (V.48) для уравнений в частных производных, ни задача (V.50) — (V.51) для системы обыкновенных дифференциальных уравнений не имеют, вообще говоря, классического решения, и необходимо допустить существование решений со скачками. На скачка х должны выполняться соотношения баланса массы фаз и примеси, сводя­щиеся к условиям

MV [s+ — s-] = U [F (s+, c+) — F (s~, с-)], (V.52)

L — с— н - ср (с—) — ?(с+) J

= U [F+ + (у.53)

Здесь V — скорость скачка; s~, с~, s+, с+ — соответственно зна­чения за скачком и до него. Скачки могут быть либо скачками на­сыщенности при неизменной концентрации — тогда существенно лишь условие (V.52), a (V.53) выполняется тождественно, либо сопряжен­ными скачками концентрации и насыщенности.

Соответственно этому могут существовать скачки и в автомо­дельном решении, и условия на них получаются из общих условий заменой mV/U на £/, где — значение автомодельной переменной, соответствующее скачку.

При этом оказывается, что можно построить бесконечно много решений, удовлетворяющих уравнениям, начальным условиям и условиям на скачках. Физически осмысленное решение должно удовлетворять дополнительному условию устойчивости скачков. Каждый из них характеризуется пятью величинами — значениями скорости скачка V и значениями искомых величин перед (s+, с+) и за скачком (s_, с~). Эти пять величин связаны двумя условиями: (из двух условий (V.53) одно является следствием другого и усло­вия (V.52)). Для того, чтобы устранить неопределенность, т. е. обеспечить устойчивость скачка, необходимы еще три дополнитель­ных соотношения, которые прямо или косвенно отражают влияние начальных и граничных условий задачи. Это влияние передается вдоль характеристик исходной системы дифференциальных уравне­ний; каждая приходящая в данную точку характеристика дает одно соотношение меж^у переменными (для системы (V.47) характе­ристики и соотношения на них выписаны ниже). В данном случае для устойчивости скачка необходимо, чтобы на него приходили три ха­рактеристики. В общем случае системы п уравнений сохранения типа (V.47) для переменных с п соотношениями на скачках для устойчивости скачка необходимо, чтобы на него приходила (п - f 1) характеристика. Это услоЕие устойчиЕости скачка используется в ряде задач теории ударных еолн; строгое его доказательство известно для одного урав­нения типа первого (V-47) и системы квазилинейных гиперболиче­ских уравнений, однако при условиях, которым системы рассмат­риваемого нами типа не удовлетворяют. Поэтому в дальнейшем это условие используется как эвристическое. Некоторым обоснованием этих условий служит анализ тонкой структуры скачков (см. § 3 гл. V). Приходящими на скачок из зоны за скачком будут при этом считаться характеристики, скорость которых не меньше ско­рости скачка; из зоны перед скачком — характеристики, скорость которых не больше скорости скачка. Иными словами, любая ха­рактеристика, имеющая равную со скачком скорость, считается приходящей на скачок [36]; характеристики, не удовлетворяющие этому условию, считаются ух од ящими.

Для системы (V.47), как легко убедиться, характеристики опре­деляются соотношениями

Dx\ U dF (s, с) ds Гг, F + <р' (с) (1 — F)

Dt[F

+

Dt т ds ' dt [ • s s + (1 — s) 9' (c) + a'/m + F dc -Q - dx2. U F + y'(c)(l-f) . dc "

^ •cdt dt m s-\-(l—s)?'(c) + a'(c)/m ' dt ~

Допустим, что задача решена. Тогда, зная функции s(Ј) ис(£), можно для каждого £ вычислить F (s, с), а затем, исключая из указанных зависимостей £ и с, получить связь между F и s, поэтому каждому £ отвечает некоторая точка на плоскости s, F в квадрате (0,1) х (0,1), а всему решению — кривая, которую в дальнейшем мы будем называть путем. Поскольку в силу первого уравнения (V.50) X = dF/ds, где производная берется вдоль пути (s, F), авто­модельное решение однозначно восстанавливается, если он задан. При этом скачкам решения соответствуют прямолинейные участки пути, а угловым точкам — участки постоянства насыщенности; кон­центрация с на непрерывных участках решения неявно задана со­отношением F = F (s, с).

Решающую роль играет то обстоятельство, что путь на (s, F) — диаграмме удается построить, причем зачастую вполне элементар­ными средствами, до решения задачи. Особенно просто осущест­вляется построение в случае, если скачок концентрации распро­страняется без размазывания, т. е. существует подлежащее отысканию значение Хс такое, что

С = с°, 0 < S < Хс, с = со, Ъ < « < °о (V.55)

(достаточные условия распространения скачков концентрации без размазывания указаны ниже).

Используя уравнения (V.50), условия (V.52) и (V.53), и условие устойчивости скачков, можно дать элементарную графическую тех­нику построения пути (s, F) и, следовательно, решения, обобщаю­щую известный способ решения задачи Баклея—Леверетта, изло­женный в гл. IV. В построении используются лишь кривые функции F(s, с) при двух значениях: с — начальном и конечном — и значения функций <f и а, отвечающие этим двум значениям концентрации активной примеси. Это обстоятельство весьма важно, поскольку дополнительно резко ограничивает требуемый объем экспериментов для получения исходных данных к расчетам. Очевидно, решение состоит из (примыкающего ко входу пласта, 0 < £ < £/) участка с с — с0, удаленного участка £ > £/, в котором концентрация при­меси сохраняет первоначальное значение, с = Со, и скачка при £ = = £/, на котором изменяются и концентрация, и насыщенность. Первому участку на (s, F)—диаграмме отвечает отрезок кривой F(s, с0), второму — отрезок кривой F (s, Со). Из условий (V.52) следует, что относительная скорость скачка = mV/U равна угло­вому коэффициенту отрезка, соединяющего точки s+, F+ и s~, F~, отвечающие значениям переменных по обе стороны скачка (т. е. точно так же, как и в обычной теории Баклея —Леверетта, только соответствующие точки не обязательно располагаются на кривой F(s, с), отвечающей фиксированному значению концентрации при­меси). Из условия (V.53) следует, что для скачка, происходящего с изменением концентрации, относительная скорость равна угловому коэффициенту прямой, соединяющей точки S+, F+ или s-, F~ с «по­люсом» —sp, —Fp,

Таким образом, точки s+, F+, s~, F~ и —sp, —Fp лежат на одной прямой, и луч, отвечающий скачку, принадлежит пучку, про­ходящему через полюс (-—Sp, —Fp). Чтобы выбрать из этого пучка единственный «нужный» луч, заметим, что им не может быть луч, пересекающий кривую F (s, с0) «сверху» (рис. 59, в), так как при этом вблизи точки пересечения значение автомодельной переменной за скачком больше, чем на самом скачке:

S - = (dF (s, c°)/ds)~ > і, = (F~ - F+)/(s~ - s+), (V.57)

И «решение» получается неоднозначным. Если мы допустим, что луч, соответствующий скачку, пересекает кривую F (s, с0) «снизу» (см. рис. 59, в), то в точке сопряжения

Ї - - (dF/ds)~ < 6,. (V.58)

При этом число характеристик, приходящих на разрыв, равно лишь двум, и нарушается условие устойчивости скачка (см. по­дробнее ниже). Таким образом, путь на плоскости (s, F), отвеча­ющий автомодельному решению, обязательно содержит скачок по лучу, проходящему через полюс (—sp, —Fp) и касающемуся кривой F (s, с0) в точке (s~, с) (см. рис. 59). (Здесь считается, что, как это обычно бывает, такая точка касания единственна. Можно пока­зать, что из нескольких точек касания при построении решения нужно выбрать верхнюю.) После определения положения сопряжен­ного скачка концентрации и насыщенности («с-переход»), дальней­шее достраивание решений в областях двухфазного потока с по­стоянной концентрацией примеси производится очевидным образом

По аналогии с теорией Баклея — Леверетта; два различных вариан­та возможных путей в (s, F) плоскости показаны на рис. 59.

На рис. 59 показаны соответствующие распределения насыщен - ностей в один момент времени для вытеснения водой (пунктир) и раствором активной примеси при малой (а) и значительной (б) сорбциях. Во всех случаях фронту примеси предшествует фронт вытеснения нефти водой; если сорбция значительна, он движется с той же скоростью, что и при вытеснении чистой водой. Это озна­чает, что сильно сорбирующаяся примесь не изменяет момента об­воднения и начальной стадии водного периода разработки; роль примеси при этом сводится к некоторому замедлению роста обвод­ненности продукции на промежуточной стадии и увеличению пол­ноты вытеснения нефти на заключительной стадии. Если примесь сорбируется слабо (а), то несколько затягивается безводный период эксплуатации и снижается обводненность продукции на начальной стадии обводнения.

Сходное построение позволяет проанализировать и применение активной примеси для довытеснения нефти из залежи, первона­чально разработанной при заводнении (т. е. в качестве «третичного» метода). Построение соответствующего (s, F) пути показано на рис. 60, в, а характерные распределения насыщенностей по длине пласта — на рис. 60, а, б. Принципиально возможно образование двух типов решений. Один из них характеризуется отставанием фронта примеси от фронта вытеснения и образованием отчетливо выраженного нефтяного вала. Для решения второго типа харак­терно образование нефтяного плато с медленным снижением нефте - насыщенности на заднем его фронте; передний фронт плато совпадает с фронтом продвижения активной примеси (см. рис. 60, б). Какой именно из режимов осуществляется, можно определить на (s, F)- диаграмме. Если верхняя точка пересечения касательной к F (s, с0)

Из точки (—sp, —Fp) с F (s, Со) лежит на участке s > s0, то обра­зуется нефтяной вал, в противном случае — нефтяное плато.

До сих пор речь шла о примеси, снижающей долю воды в во - донефтяном потоке, т. е. снижающей относительную подвижность воды или увеличивающей относительную подвижность нефти. Ясно, что полезные активные примеси принадлежат именно к этому клас­су. Можно, однако, поставить вопрос о роли примесей, увеличи­вающих относительную подвижность воды. Соответствующая задача вытеснения легко решается построением рис. 61, б и приводит к распределению насыщенности, показанному на рис. 61, а. Наличие примеси не влияет на структуру передней части зоны вытеснения; прохождение фронта примеси, отстающего от фронта закачиваемой воды, сопровождается некоторым увеличением водонасыщенности и доли воды в потоке, которые затем длительно сохраняются на постоянном уровне.

Рассмотрим построение автомодельного решения в общем случае, когда не предполагается, что существует полный скачок концен­трации примеси, хотя и считается по-прежнему что содержание примеси в нефти и в пористом скелете зависит только от концен­трации ее в воде (<р = ср(с), а —а (с)). В анализе нуждается только та часть решения (или соответствующего пути на s, F-диаграмме), на которой изменяется концентрация. Изменение концентрации может происходить в с-с к а ч к а х или с-в о л н а х (участках не­прерывного изменения с (£)). Будем характеризовать с-скачки зна­чениями концентрации по обе стороны скачка [с~, с+], причем с± = с (£/ ± 0); для определенности далее полагается с0 > cq.

Тогда возможны скачки четырех основных типов:

1) [с°, с0]; 2)[с°, с*]; с0 < с* < с0; 3) [с*, с,], со < с„ < с* < с0; 4) [с*, с0]; с0 < с* < с0.

Запишем соотношения на скачках в виде

= F--F+ _ f± + (Ay/Ac)(l-Ay/Acr' 5д>

1 s - — s+ ' s± +(Д<р/Дс+ ДЛ/Дс) (1 — Дср/Дс)-1

Здесь F± — F(s±, с±); каждое из уравнений (V.59) является следствием двух остальных. Обозначим через Хи2 безразмерные ха­рактеристики скорости по обе стороны скачка:

^ЛДЛ с±).

Из условия устойчивости скачка либо

Min ZT.2 < £/ < min Si;2, і,- < max (V.61)

Либо

Шах lft2 < Ij < max Е/ < min (V.62)

Заметим, что, если к скачку примыкают участки непрерывного изменения переменных (s - или с-волны), то из условия однознач­ности решения предельные значения автомодельной переменной в них удовлетворяют неравенству

< И,- < ;+. (V.63)

Учитывая, что на с - и s-волнах значение автомодельной пере­менной совпадает с характеристической скоростью, из (V.62) и (V.63) находим, что реализуется одно из следующих соотношений:

= max «fa > Г" = min XV.2 = Е/, V = min 17,2 = = min = Г = max ЕГг = max Xt.2 = = 6/, (V.64)

Г" = min S172 < = max Xt,2 = £/ < max ХГ.2-

Анализируя расположение характеристик обоих семейств, не трудно прийти к заключению, что для типичного расположения кривых F (s, с), показанного на рис. 59, (с0 — co)Ft е<0, при обыч­ных значениях so и s° решение может содержать лишь скачки, для которых верны первые два соотношения (V.64). Рассмотрим вначале скачок типа [с0, с*]. Для него, очевидно, верно второе условие (V.64). Тогда в дополнение к уравнениям (V.59) имеем:

ГУл/1;) М = ^ is, Л (V.65)

Из (V.65) и (V.59) находим систему уравнений для определения с+ — с*, s+, s~, Xj. Ограничимся пока вариантами, когда эта система уравнений решается элементарными средствами. Пусть

РИС. 62. К определению структуры решения по виду изотермы сорбции

Тогда из (V.65) и (V.59) имеем для с+ уравнения f+ + <Po/0-?o) f+ + ?o/0-*o)

(fo + ЛЛ/Дс)/(' - fo) s+ + Ы + ^ И]/(1 -<Ро)'

Откуда

А' (с+) = [а+ - а (с°)]/(с+ - с0), (V.67)

А с+ определяется как точка касания кривой а (с) касательной, про­веденной из точки (с0, а (с0)) (рис. 62). После нахождения с+ с по­мощью следующего из (V.59) и (V.65) уравнения

F (s - со)= + _____________ (V.68)

Определяется s~ как абсцисса общей точки кривой F (s, с0) и каса­тельной, проведенной к ней из точки (—Sp, —Fp),

W - (V-69)

(см. рис. 59). По угловому коэффициенту этой касательной опреде­ляется а по точке ее пересечения с кривой F(s, с*) — значение s+. Наконец, в области \ > имеем участок непрерывного измене­ния концентрации (с-волну).

Пусть решение содержит скачок третьего типа [с*, с,]. Из со­отношений (V.59) и условий (V.64) получаем

T _ F± + Ау/(Ас — А?)

_ s± + (Д9 + АЛ) /(Ас — Дер) ~ 52 —

F±+(p'±(l_,p'±)-

S± +(?'± + Л'±)(1-?'±)-

Если f = voc, по соотношениям (V.70) получаем

А' (с+) = а' (с-) = [а (с+) — а (с~)]/(с+ — с~). (V.71)

С+ и с~ — абсциссы точек кривой а (с), имеющих общую касатель­ную (см. рис. 62); Е/ определяется как характеристическая скорость в с-волне, приходящей в точку (s~, F (s~, с~); значение s+ опре­деляется как абсцисса точки М+ пересечения прямой, проведенной через точку М~ с угловым коэффициентом?/; с кривой F(s+, с+). Последующая с-волна строится из точки М+ в соответствии с урав­нением

DF F + >/ (1 — у')-' (V 72)

Ds s + (4' + A')/(i-4') ■ 1 ■ '

Наконец, для скачка четвертого типа имеем с+ = с0;

F± + Д<р (Ac-A?)"1 + ? 1/(1-?1)

«/ = + ■ ,«. і A„wa.----- = «2 =

+ (Лг + АА)(Лс-Лг)~1 s-+ (у1 +»!)/(1-ТІ)'

(V.73)

В частности, при линейной функции 9 (с) значение с~ находится как общая точка кривой а (с) с касательной, проведенной к ней из точки Со, а (с0) (см. рис. 62). Таким образом, в рассматриваемом случае вся структура с-перехода определяется видом изотермы сорб - ции а (с). Рассмотримфункциюа (с) на отрезке Д [с0, с0] и построим на нем выпуклую и вогнутую оболочки а (с): а* (с) и а* (с)—мини­мальную невогнутую функцию, значения которой не меньше а (с), и максимальную невыпуклую функцию, значение которой не боль - шэ а (с):

2* (с) = шах

Си 4

Z* (с) = min

Сі, Є 4

График функции а# (с) состоит из выпуклых дуг, общих с гра­фиком а (с), и прямолинейных участков. Прямолинейные участки отвечают с-скачкам; дуги — с-волнам. Построение решения сводится к последовательному (начиная с малых Е) построению пути на (s, F) диаграмме; при этом с-скачки находятся при помощи элементарного графического построения, а с-волны — численным интегрированием.

Аналогичная процедура построения решения проходит при с0 < со, F, с > 0; структура с-перехода при этом определяется видом функции а* (с).

Столь же просто устанавливается заранее структура с-перехода при произвольной функции <р (с), если й(с)зО. При этом необхо - д имо, чтобы

Д<р/Дс = <р'(с±). (V.75>

Здесь знак -+- берется для скачков второго типа, знак —- для скачков четвертого типа; для скачков третьего типа берутся урав­нения с обоими знаками. Таким образом, при а(с) = 0 структура решения определяется видом вспомогательных функций <р* (с) и (с) (рис. 63) при со > с0 и с0 > с0 соответственно, при этом предпола­гается, что функции F (s, с) имеют обычный вид

Max [F (s, с) — s] > 0 > min [F (s, с) — s|.

S s

Если F, с (c° — со) > 0, то проходит аналогичная техника нахождения автомодельных решений (см. рис. 59), с той лишь разницей, что в этом случае построение следует начинать с больших значений Е и пользоваться соотношениями (V.64).

Изложенная процедура гарантирует построение одного автомо­дельного решения с устойчивыми скачками, но не гарантирует от­сутствие других устойчивых решений.

Рассмотрим кратко возможности построения автомодельного решения в общем случае, когда? (с) — произвольная возрастающая функция, а количество сорбированного вещества зависит не только от концентрации с, но и от насыщенности, а = а (с, s). Ограничимся основным случаем FiC(c° — со) < 0. Прямое обобщение изложенной
процедуры заключается в том, что решение строится «слева напра­во», т. е. от малых значений

Пусть решение «достроено» до точки (s-, с~, F~), ЇГ = min Будем искать его продолжение как «скачок» (может быть, беско­нечно малый скачок), обеспечивающий минимальное значение ско­рости I,.

Из условий на нем

' s± — s - s+ + (A? +ДЛ)(Дс—Ду)-1

Получаем два независимых уравнения для определения с+ и s+. Если единственное решение этих уравнений есть с+ = с~, s+ = s~, данный участок решения представляется s - или с-волной и следу­ющий шаг должен быть бесконечно малым (практически равным шагу численного интегрирования) в соответствии с уравнением

DF/ds = (V.77)

Если же система (V.76) имеет нетривиальное решение со < с+< < с~, s+, то производится скачок в точку s+, F (s+, с+), после чего построение решения продолжается по тому же алгоритму вплоть до достижения концентрации с0. Если Ff с (с0 — Со) > 0, то анало­гичное построение проводится справа налево (от больших значений? к меньшим) с выбором на каждом шаге £+ = £/ = max (Мг)-

Фронтальное вытеснение. Неавтомодельные ре­шения. Вытеснение оторочкой активной примеси. Запаздывающее воздействие. Анализ автомодельных дви­жений не исчерпывает гидродинамического исследования процессов вытеснения нефти растворами активных примесей. Из числа неавто­модельных движений, которые также удается изучить в рамках изложенного общего подхода, наибольший практический интерес представляют вытеснение нефти оторочкой раствора активной при­меси и закачка активного агента с запаздыванием воздействия на пласт. В настоящее время эти задачи интенсивно исследуются. Рас­смотрим методику решения и ее возможности.

Оторочкой обычно называют имеющую конечный объем пор­цию раствора активного агента, который закачивается на начальной стадии вытеснения, а затем проталкивается по пласту водой. Основ­ной смысл использования оторочек состоит в экономии дорогосто­ящих химических реагентов при сохранении повышенной нефтеот­дачи с применением химических реагентов при заводнении. Фор­мально задача о фронтальном вытеснении нефти оторочкой актив­ной примеси в крупномасштабном приближении сводится к решению системы уравнений (V.47) при начальных и граничных условиях.

S (х, 0) = s0. с (х, 0) = 0; F(s, с)\х=0 = 0, с(0, t) = c°, 0<t<T, с(0, 0 = 0, t>T. (V.78)

Очевидно, что до момента t = Т решение сформулированной за­дачи совпадает с рассмотренным автомодельным решением. В момент

T = Т на границе х = 0 появляется скачок концентрации. При і > Т распространяющееся от него возмущение взаимодействует с цент­рированной волной, примыкающей в автомодельном решении ко входу пласта. Ограничимся простейшим вариантом задачи, когда изотермы сорбции а (с) и распределения примеси 9 (с) линейны:

А = шТс, f = <рос. (V.79)

В этом случае, как легко установить, прямой и обратный скач­ки концентрации распространяются без искажения; мгновенная скорость скачка в каждый момент

U F+ — F - _ U f± + 90/(l— 90)

(V.80)

.5- m s± (еро + Г)/'(і — 90) Таким образом, на (s, ^-диаграмме каждому сопряженному s, с скачку соответствует, как и в автомодельном решении, переход по лучу, проходящему через ПОЛЮС (—Sp, —Fp), с одной из кривых F (s, 0), F (s, с0) на другую.

Проведем на плоскости (х, t) траектории скачков: Хо (t) — перед­него скачка насыщенности; X\(t) и Х2 (і) — переднего и заднего сопряженных скачков насыщенности и концентрации (рис. 64). Рас­смотрим траекторию заднего скачка, распространяющегося по цент­рированной волне отвечающей автомодельному решению так, что X2=(U/m)F, s(s+, c°)t, (V.81)

Где s+ — насыщенность перед скачком. С другой стороны, из усло­вий (V.80)

С+ -- с

__ и F (s+, c°)+Fp

(V.82)

Подставляя (V.82) в (V.81), получим

F___________ f"(s, c°)ds

J v'i. Ж Г* Л. ^

F'ls, c°)-[F(s, C°) + Fp]/(,_S,)

S*

Соотношение (V.83) устанавливает зависимость от времени на­сыщенности s+ перед вторым сопряженным скачком. Координаты и скорость скачка определяются соотношениями

Х2 = (Vim) F' (s+, с°) t, V = (Ulm) [F (s+) + Fp] (s+ + sp)-'. (V.84)

Из (V.83) и (V.84) видно, что по мере распространения второго скачка его скорость постепенно увеличивается и стремится к ско­рости первого сопряженного скачка F' (sa); насыщенность перед фронтом постепенно убывает и стремится к Яд при / -»■ оо; она в каждой точке меньше скорости соответствующей характеристики F' (s+). Отсюда следует, что второй скачок не влияет на условия распространения первого сопряженного скачка и на решение при x>Xl(t).

Расстояние между скачками равно

L (t) = X, (/) - Х2 (0 = (Ulm) t [F' (5д) - F' (s+)]. (V.85)

Используя (V.83), легко показать, что существует конечный пре­дел L (со) = L„. Таким образом, асимптотически при t оо форми­руется стационарная оторочка, движущаяся со скоростью, равной скорости первого сопряженного скачка Vi = (Ulm) F' (s4). Чтобы построить решение в области за вторым скачком, заметим, что из последнего условия (V.80) можно найти величину s~ (t) — проще всего это сделать графически (см. рис. 64). Легко видеть из рис. 64, что sa скачком (х = Х2— 0) оба семейства характеристик уходят со скачка. Поэтому решение в области х < Х2 (t) определяется пол­ностью начальными данными на линии х = Х2 (t) и описывается уравнением

X (t, s) = Х2 (U, s) + F' (s, 0) (Ulm) (t —12 (s)). (V.86)

Здесь в качестве параметра на линии х = Х2 (t) взята насыщен­ность непосредственно за скачком, s = s~; Х2 и t2 — соответству­ющие значения координаты скачка и времени.

Естественно поставить вопрос об асимптотике решения при больших временах. Ее можно получить, рассматривая предел по­лученного выше решения. Можно, однако, рассуждать и по-другому. Как было показано, со временем оторочка стабилизируется и начи­нает двигаться с постоянной скоростью. Поэтому будем искать в подвижной системе координат, связанной с оторочкой, стацио­нарное решение вида

S = 5 (ig), с = С (kj), - ц = х — Vt, СМ = 0, |Ч|>/, Cfo) = c°, Ы</. (V.87)

Подставляя выражения (V.87) в основную систему (V.47), по­лучим:

= 0, —UF + mVS = const,,

__у d[mcs + m(\ — s) у + о] , у d [cF + у (1 — f)]

Dri dri » \ ■ /

— [mcs + m«p (1 — s) + a] V + U [cF + ? (1 — F)] = const2.

Как нетрудно видеть, условия (V.88) показывают, что значения насыщенностей перед оторочкой s+ и за ней s~ связаны между собой и со скоростью V условием на скачке:

MV/U = (F+ — F~)/(s+ — s-). (V.89)

При этом значение s внутри оторочки определяется пересечением прямой, соединяющей точки М+ (s+, F+) и М~ (s~, F~) с кривой F = F(s, c°).

Второе уравнение (V.88) показывает, что прямая М+М~ про­ходит через полюс (—sp, —Fp). Наконец, учитывая условия устой­чивости переднего и заднего фронтов оторочки, легко убедиться, что прямая М+М~ должна быть касательной к кривой F(s, с0), чем положение этой прямой и всех элементов решения определяется однозначно. Построенное инвариантное решение типа равномерно распространяющейся волны с точки зрения задачи в целом пред­ставляет собой внутреннюю асимптотику решения, отвечающую ма­лости объема оторочки или — что эквивалентно — большим временам наблюдения. Внешним решением задачи при этом, как легко видеть, будет решение задачи двухфазной фильтрации в отсутствие актив­ной примеси (с = 0) с дополнительным скачком насыщенности, обу­словленным наличием тонкой оторочки. Положение этого скачка определяется величинами s+ и s~, определяемыми из внутреннего решения. На (s, ^-диаграмме ему соответствует путь ABGDE. Полу­ченный результат заслуживает особого комментария. Дело, в том, что автомодельное решение задачи вытеснения нефти водой, соот­ветствующее пути ABGDE, существует и в отсутствие активной при­меси; однако оно неустойчиво. Таким образом, роль тонкой оторочки активной примеси формально сводится к стабилизации неустойчи­вого решения, отвечающего рис. 59, г.. При этом, очевидно, ширина оторочки имеет второстепенное значение, а главную роль играет та максимальная степень снижения подвижности воды, которая дости­гается в оторочке. Если активная примесь «полезная», то FtC < 0, и последнее утверждение означает, что целесообразно использовать максимальные значения концентрации примеси в оторочке.

Та же техника позволяет проанализировать влияние запаздыва­ния закачки активного агента на показатели разработки. Запазды­вание достаточно часто происходит по техническим причинам. Будем считать, что пласт, первоначально однородно насыщенный нефтью,
с момента t = О разрабатывается заводнением, а при і = Т начи­нается закачка активной примеси. Этим условиям отвечает задача

S(x, 0) = so, с(х, 0) = со, s (0, 0 = s° [с (0, *)]; с(0, 0 = 0, 0 <t<T, с(0, 0==с°, Т <t< оо (V.90)

Для уравнений (V.47).

Вплоть до t Т имеем обычное решение Баклея — Леверетта в виде центрированной волны, заканчивающейся скачком:

S = s($), £ = xmlUt, 0 < £ < £о, S = s0, 6 > ?0. (V.91)

При t ~ Т от границы пласта внутрь него начинает переме­щаться поверхность разрыва концентрации и насыщенности, причем мы будем полагать выполненными условия распространения скачка без размывания, так что

С = с0 = 0, х> Хс (0, с — с0, х < Xc(t).

Из соотношений на сопряженном скачке (V.52) — (V.53) следует, что на (s, /^-диаграмме скачок соответствует переходу с кривой F(s, 0) на кривую F (s, с0) по с-лучу, проходящему через полюс

-Fp) (рис. 65). Последовательным положениям скачков отве­

Чает переход по пучку с-лучеи справа налево, начиная от положе­ния В, отвечающего образованию скачка, и вплоть до предельного положения GC'D'. При этом из рис. 65 видно, что скорость скачка все время выше характеристических скоростей перед ним. Скачок взаимодействует с центрированной волной, а распределение насы­щенности за ним определяется уходящими с него характеристиками. Учитывая это обстоятельство и условия на скачке, имеем:

DXc/dt = {Ulm) [F (s+, 0) + Fp]/(s+ + sp),

Xc = (U/m) F' (s+, 0) t, Xc (T) = 0. (V.93)

Отсюда получаем

F"(s, 0) ds

[F (s, 0) + Fp] (s + sp)—1 F' (s, 0)

Насыщенности за скачком s~ определяется

F(s-(0, с0) = (F(s+ (0, 0) + Fp) ■

Решение (V.94) — (V.95) сохраняет смысл до тех пор, пока с-луч не совпадет с касательной к кривой F (s, со) s+ = st (см. рис. 65). После этого скорость с-скачка перестает меняться, и перед ним формируется дополнительный «обратный» s-скачок, взаимодейству­ющий с первоначальной центрированной волной. На (s, ^-диаграмме ему отвечает переход из фиксированной точки D' в переменную

____________ F" (s) ds_________

[F (s)-F(s^)](s-s,)-i~F' (s)

Ограничимся здесь только случаем, когда насыщенность sA больше фронтальной в первичной центрированной волне, отвечающей решению Баклея—Леверетта. При этом решение (V.97) сохраняет смысл вплоть до t — со; амплитуда обратного скачка асимптотически стре­мится к нулю, а решение асимптотически стремится к автомодель­ному решению, отвечающему Т = 0. Эволюция мгновенных профи­лей насыщенности во времени показана схематически на рис. 65, в.

Изложенный в этом пункте материал, в основном, содержится в [18]; подход к исследованию неавтомодельных задач берет начало от работы П. Г. Бедриковецкого по вытеснению нефти оторочками активных примесей [8]; задача запаздывающего вытеснения иссле­дована О. М. Алишаевой и А. Ф. Зазовским.