ДВИЖЕНИЕ ЖИДКОСТЕИ И ГАЗОВ В ПРИРОДНЫХ ПЛАСТАХ

Неравновесные эффекты при двухфазной фильтрации

Неравновесность распределения фаз в пори­стой среде. Как уже говорилось, в основе классической теории двухфазной фильтрации лежит представление о том, что распреде­ление фаз в элементарном макрообъеме порового пространства (а потому и гидродинамические характеристики — капиллярное давление и фазовые проницаемости) полностью определено, если известно локальное значение насыщенности s. Физический смысл этого заключается в том, что из всех возможных распределений фаз реализуется термодинамически наиболее выгодное (т. е. рав­новесное). Установление равновесного распределения фаз, однако, требует определенного времени. Это время зависит от того, что ре­ально понимается под «элементарным макрообъемом» — той пре­дельной степенью дискретизации, которая допускается в теории фильтрации. Ограничимся в рассуждениях лишь наиболее простым случаем, когда речь идет о двухфазной фильтрации несмешиваю - щихся жидкостей — воды и нефти, а термодинамическое равнове­сие, по существу, равновесие капиллярное; тогда на основе резуль­татов § 3 данной главы имеем оценку для времени установления

Х ~ v. l2/k&pc. С[ІІ2£-i/2/а, (IV. 117)

Где k — проницаемость элемента неоднородности среды; I — его линейный размер; Дрс — действующая разность капиллярных давле­ний. Задавая масштаб осреднения \ при описании двухфазного течения, мы тем самым неявно устанавливаем и характерный мас­штаб времени, отделяющий «медленные» процессы двухфазного течения, к которым применима классическая теория вытеснения, от «быстрых», на которые могут существенно влиять неравновесные процессы. Практическая значимость неравновесных эффектов оп­ределяется тем обстоятельством, что реальный масштаб осреднения в задачах разработки нефтяных месторождений сопоставим с рас­стоянием между скважинами и составляет, по крайней мере, де­сятки метров. Соответствующие времена установления равновесия т измеряются годами. Поэтому неравномерность фильтрации бу­дет существенно влиять на показатели разработки, и важно знать возможные последствия такого влияния.

Есть другая — чисто теоретическая — необходимость анализа неравновесных эффектов. Действительно, согласно классической теории, в потоке имеются области резкого изменения насыщеннос­ти — фронты вытеснения. Толщина фронтов (см. § 3 данной главы) уменьшается с ростом скорости вытеснения, и при этом увеличива­ется скорость изменения во времени насыщенности внутри фронтов. Это означает, что с увеличением скорости вытеснения обязатель­но наступит момент, когда характерное время изменения насы­щенности станет сопоставимым с временем установления «внутрен­него» капиллярного равновесия. При больших скоростях класси­ческая теория становится неприменимой, и следует учитывать эффекты неравновесности.

Модель неравновесной двухфазной фильтра­ции. Основные эффекты неравновесности ясно обнаруживаются при анализе простейшей модели [5]. Рассмотрим процесс вытесне­ния несмачивающей жидкости смачивающей из гидрофильной по­ристой среды. В стационарном потоке каналы, по которым пере­мещаются фазы, различные: по более узким перемещается сма­чивающая фаза, по более широким — несмачивающая. По мере возрастания насыщенности смачивающей фазой ей предстоит вы­теснить несмачивающую из части занятых ею каналов (наиболее узких). Это происходит не мгновенно, и на промежуточном этапе часть вытесняемой фазы задерживается в узких каналах, а часть вытесняющей временно движется по более широким, чем в стацио­нарном потоке, каналам. Поэтому фазовая проницаемость для вытесняющей фазы временно выше, а для вытесняемой — времен­но ниже, чем в стационарном потоке при той же насыщенности. (Для простоты ограничимся крупномасштабным анализом без учета капиллярного давления).

Существенно, что фактически речь идет не обязательно о кана­лах в масштабах отдельных пор, а о каналах, образующихся в реальной пористой среде с присущей ей неоднородностью разных масштабов.

Из вида кривых относительных проницаемостей (см. рис. 37) ясно, что увеличение фазовой проницаемости вытесняющей жидко­сти в нестационарном потоке эквивалентно как бы мгновенному установлению стационарной фазовой проницаемости, отвечающей некоторой увеличенной по сравнению с действительной насыщен­ности.

Аналогично уменьшение в нестационарном потоке фазовой про­ницаемости для вытесняемой жидкости эквивалентно как бы мгновенному установлению стационарного значения, соответствую­щего увеличенному значению насыщенности вытесняющей жидко­стью. Пренебрегая возможным различием между «эффективным увеличением насыщенности» для обеих фаз, примем следующую гипотезу.

При нестационарной фильтрации несмешивающихся жидкос­тей неравновесные фазовые проницаемости при насыщенности s равны фазовым проницаемостям при некоторой эффективной на­сыщенности s.

Гипотезой здесь, конечно, является лишь то, что эффективная

Насыщенность s одинакова для обеих фазовых проницаемостей.

С учетом сказанного основные уравнения движения записы­ваются в виде ms,+ v„I=0, — ms, - f V»2 = О, (IV. 118)

В£ = — (k/p2)ft(s) V pi. (IV. 119)

Чтобы замкнуть эту систему, необходимо связать эффективную

Насыщенность s с истинной насыщенностью s. Естественно предпо-

151

Ложить, что отличие s от s определяется локальной скоростью изменения насыщенности s t и характерным для данной среды вре­менем установления равновесия т. Тогда, используя соображения размерности, получим:

S~_s =Ф («.<), (IV. 120)

Где Ф — неотрицательная при положительных значениях аргумента функция, причем, очевидно, Ф (0) = 0. Ограничиваясь линейным разложением функции Ф и полагая коэффициент разложения рав­ным единице (это эквивалентно переопределению времени х, опре­деленного лишь с точностью до порядка), положим окончательно

S — s = zsj. (IV. 121)

В рассматриваемой упрощенной модели будем считать х по­стоянной величиной.

Соотношения (IV. 118), (IV. 119) и (IV. 121) можно, как и в клас­сической теории, привести к системе двух уравнений для насы­щенности s и полной скорости фильтрации U:

Ms, t + V [UF (s + xs, t)] = 0; v(/ = 0. (IV. 122)

Существенно, что первое уравнение системы (IV. 122) уже не разрешено относительно производной по времени.

Стабилизированная зона. Произведем асимптотический анализ решений системы (IV. 122) по аналогии с анализом, дан­ным в § 3 настоящей главы. В результате получим решение, описы­вающее стабилизированную зону, но иной физической природы. Перейдем к безразмерным переменным

& = t/t\, X = x/L, s, V = U/Ui, (IV 123)

U = \>-iL2/kAp, Ui =M/)/|i, L,

Если задано давление на границе области движения; t\ = LjUx, U\ = U0, если задана нормальная компонента полной скорости фильтрации на границе. Здесь Др — характерный перепад давления на границе; Uо — характерная скорость на границе; L — характер­ный размер области. Уравнения (IV. 122) принимают вид

Ms, ь+ V[Kf (s + Els,»)]==0, VK = 0, е, = т//,. (IV.124)

Проведем асимптотический анализ системы (IV. 124) в предпо­ложении, что параметр в! мал. При этом для внешнего решения получаем ту же задачу, что и в § 2 данной главы, определяющую прежний вид решения с поверхностями разрыва насыщенности. Неравновесность скажется только на внутреннем решении. Область быстрого изменения насыщенности представляет собой тонкий по­граничный слой вблизи поверхности разрыва насыщенности внеш­него решения. Вновь введем локальную декартову систему коор­динат с началом в произвольной точке поверхности разрыва Е внешнего решения и осью С, направленной по нормали к Е. Вве-

= 0,

(IV. 125)

Ms

Для нахождения в нулевом при­ближении структуры фронта ищем вновь решение системы (IV. 125) в виде бегущей волны:

S = s(Є), Ус = У - (£), £ = С—сб. (IV. 126)

Из второго уравнения (IV. 125) получим Ус = const = У, причем У определяется из внешнего решения. Подставляя (IV. 126) в (IV. 125) и интегрируя, находим

— mcs + VF(s — cs)= const. (IV. 127)

Граничные условия имеют ВИД s(— оо) == S2, S(co)=S], где Si, s2 берутся из нулевого приближения внешнего решения, т. е. в одномерном случае — из решения Баклея — Леверетта. При С = = - і - оо s= 0, так что из (IV. 127) следует

: 1/ F iS2) ~ F (Sl) т s„ — s.

Const = — rues., - f VF (s2); с

Подставляя это выражение в уравнение (IV. 127), получим:

F(s2)-F{h)

F(s — cs) =F(s2) + (s — s2)

Это уравнение легко исследуется графически (рис. 49). Отрезок АВ соответствует правой части уравнения (IV. 129); отсюда следует, что отрезок ВС соответствует — cds/dz. Таким образом, при изме­нении s от s2 до Si величина — cds/dt все время остается положи­тельной; она обращается в нуль по краям интервала и имеет один максимум.

Перепишем уравнение (IV. 129) в виде
обращается в нуль по концам интервала [si, s2] и положитель­на внутри него. Интегрируя уравнения (IV. 130), получим

K=v f Ы-^i) С * .

S2-Sl J s_X|>(s)] F (°2)-F (®l)

(s—Si). (IV. 131)

Из этого соотношения, как и в § 3 данной главы, получаем для эффективной толщины фронта вытеснения—расстояния, на котором насыщенность изменяется от si + 8 до s2 — 8,

Л = — 5 ГS____ * — (IV. 132)

_ s - х [Р (s)l

S. + 5

Таким образом, в отличие от структуры, непосредственно обу­словленной влиянием капиллярного давления (стабилизированной зоны), толщина фронта вытеснения при преимущественном влия­нии неравновесности прямо пропорциональна скорости вытеснения.

Заметим, что отношение малых параметров, отвечающих двум указанным физическим эффектам, равно

Є/є і = --------- Т"2--- • (IV. 133)

(XjXff

Поэтому классическая модель, приведенная в § 3 данной главы и отвечающая є/є] 1, справедлива при малых скоростях вытесне­ния, а рассмотренная в данном параграфе модель, когда є/е і < 1 (преимущественное влияние неравномерности), соответствует большим скоростям. Учитывая результаты § 3 данной главы, приходим к выводу, что зависимость толщины фронта вытеснения от скорости имеет вид немонотонной кривой, неограниченно возрастающей как при малых, так и при больших скоростях. Этот вывод согласуется с лабораторным экспериментом (см. рис. 44).

Для условий вытеснения нефти водой в нефтяном пласте а ^ ^0,01 Н/м, m^0,l; Јsxl0-13 м2, р,, ^ Ю"3 Пас. Тогда є/є, — — (10б—Ю7)/т, где х — характерное время установления равнове­сия в секундах. Если учесть, что это время, как показывают оценки, может быть весьма велико — до года и более, то в обыч­ных условиях основную роль играют эффекты неравновесности. Поэтому в промысловых условиях толщина фронта должна расти с ростом скорости вытеснения, и в конце концов может стать со­поставимой по размерам с размерами пласта.

Эти выводы, полученные здесь на простейшей модели неравно­весности, имеют общий характер. Из них следует существенность неравновесных процессов при разработке нефтяных месторожде­ний и необходимость их изучения и учета при проектировании разработки.