Моделирование миграции подземных вод
Перенос в слоистых пластах
На процессы переноса значительное влияние оказывает слоистость водоносных пластов, генетически обусловленная для всех осадочных отложений (см. рис. 6—8).
При движении потока вдоль слоев (горизонтальная фильтрация в горизонтально-слоистых пластах) учет слоистости наиболее просто производится по схеме послойного переноса, в которой пренебрегают поперечной дисперсией между слоями. В этом случае перенос в каждом слое протекает как бы изолированно от влияния соседних пластов, а общее количество мигранта определяется суммированием его содержания в каждом слое. Соответственно среднее значение концентрации мигранта ст в слоистом пласте общей мощностью т, состоящем из г слоев мощностью т, каждого 1-го слоя, будет 66
Cm =-" 2 ще і = 2 ті = тііт• (4.21)
Количество мигранта, проходящего в пласте через любое вертикальное сечение, характеризуется «выходной» концентрацией св:
= (4-22)
1-і
Где q — удельный расход потока; Vi — скорость фильтрации в і'-м пласте.
Рассмотрим наиболее простой случай послойного переноса по схеме поршневого вытеснения без учета кинетики обменных процессов, когда в начальном сечении х=0 одномерного потока, начиная с момента времени t=0, подается мигрант с постоянной относительной концентрацией с°= 1. При этом концентрация с будет иметь значения сг = 0 при t^x/tii и cL= 1 при Г>х/щ (где щ — скорость конвективного переноса в 1-м слое).
Записывая выражение (4.21) в виде
-с,), (4.23)
1-і
Заметим, что, поскольку т( представляет собой относительную частоту (частость) встречаемости в разрезе значений щ, входящая в выражение (4.23) сумма является функцией распределения коэффициента конвективного переноса х. А. А. Рошаль [30] рассмотрел выражения для ст и св при нормальном и асимметричном законах распределения к. При нормальном распределении, когда плотность распределения величины % описывается выражением
А (х) =-........... ------ ехр
' У 2,- km Е 2km* Е»
Е == Ek - f - Е„ , Ek - Ея = , (4.24)
Km
(где nm и km — средние значения пористости и коэффициента фильтрации; и 0п — средние квадратические отклонения k и п), средняя концентрация ст описывается уравнением
С — effc * nmX — Vmt
Т 1 + erf (1//2 Е) ' y'2vm Е t '
Где Vm~q/m — среднее значение окорости фильтрации. Из этого уравнения следует, что время t0,5 прохождения средней концентрации ст=0,5 оказывается несколько меньше среднего времени поршневого вытеснения to—rimx/vm (например, для значений £= 1; "2; 3; 4 получаются следующие величины отношения /o, s/fo-" 0,83; 0,56; 0,41; 0,32), а величина /п//°к (где /п —размер переходной зоны; l°K=vmt/nm) остается постоянной во времени (при сравнительно малых значениях Е в диапазоне изменения относительной концент-
|
7777ТГ/?У/7/?У'7?ТГ7777^77 Eza/ |
Рации Cm от 0,97 до 0,03 получается /п//к°=Е). Несколько большее различие значений to, s и дополучается при анализе выходной концентрации св.
Для асимметричного распределения А. А. Рошаль рассмотрел также случай, когда плотность распределения х выражается однопараметрической функцией Релея
Где ко — вероятнейшее (модальное) значение х. В этом случае для условий фундаментальной задачи получаются выражения |
|
F; св = eric |
LclV |
Рис. 12. Схема переноса в двухслойном пласте:
1 — разделяющий слой; 2 — проводящий слой; 3, 4 — направления переноса в проводящем и разделяющем слоях
Cm = ЄХР
Из анализа этих выражений следует, что время прохождения средней концентрации немного сдвинуто относительно среднего времени поршневого вытеснения, а переходная зона остается постоянной во времени.
В более общем случае, когда на границе *=0 одномерного потока задаются реременные по сечению и во времени значения граничной концентрации cP(t), в выражениях (4.22) и (4.23) будет Ci—d°t—(х/щ), а если учитывать гетерогенно-блоковое строение пород внутри слоев, то значения с находятся из соответствующих решений задач переноса по схеме гетерогенно-блоковой среды (см. гл. 2).
Процессы переноса в слоистых пластах могут существенна усложниться в результате влияния поперечной дисперсии, в связи с чем особый интерес представляет ее оценка применительно к используемым расчетным схемам переноса.
Дадим обоснование значимости и способа учета поперечной дисперсии при переносе в слоистом пласте применительно к условдям продольного фильтрационного потока в двухслойном пласте (рис. 12) при резком различии проницаемости слоев (например, при чередовании глинистых и песчаных слоев), считая, что в таких условиях можно пренебречь конвективным переносом в разделяющем (слабопроницаемом) слое и дисперсией в проводящем (проницаемом). Тогда распределение концентраций мигранта в проводящем Сі и в разделяющем слое описывается дифференциальными уравнениями
|
Dt 4 дх |
Dt |
, , л, дс2 М J5 о » CZ - ч > OZ2 OZ z=0 |
(4.25)
Где я, и п3 — пористость проводящего и слабопроницаемого слоев, соответственно; rtti и т2 — мощности проводящего и слабопроницаемого слоев; q=vxmі — удельный расход фильтраций в проводящем слое при скорости фильтрации Vn
Du — коэффициент молекулярной диффузии (поперечной дисперсии) в слабопроницаемом слое.
Уравнение (4.25) удобно решать, вводя в него интегральные изображения по Лапласу — Карсону. Тогда при начальном нулевом условии первое из уравнений (4.25) представится в виде
DCi п „ , л
ЩтурСх 4- q-------- + DUCZ = 0, (4.26)
Dx
Где p — параметр преобразования; Сі и С/ — изображения вличин сі и cz'~ Выражение для Сг' получается решением записанного в изображениях второго уравнения (4.25):
(4.27)
Подставляя выражение (4.27) в (4.26), получим уравнение с разделяющимися переменными, решение которого при
С, — СУ> ехр
Обратный переход от этого изображения к оригиналу рассмотрен в работах [30, 31, 38]. В частности, при т->оо решение имеет вид [38]:
* ел - tn * У "г®* сх = с0 erf с с0; ;н - •—
2 Vч (я* — щщх)
Рассматривая предельный случай этого решения при отсутствии диффузии, можно обосновать условие применимости схемы послойного конвективного переноса в слоистых пластах. Для этого предположим, Что в нем с/с°=0,5, ЧТв соответствует |=0,476, и заменим х на ^(1—Ь„)і/(пііпі), где б» — погрешность расчетов скорости фильтрации по схеме послойного переноса. Тогда из выраже-
ДЛЯ I"
П\т\ (1-S^)3
Принимая реальные значения допустимой погрешности 6»— = 0,1—0,2, получим для времени применимости схемы послойног© переноса критерий
* <(0,1-0,3)
Такой же критерий (при нижнем значении числового коэффициента) получен в работах [23, 31] из анализа баланса мигранта в процессе обмена между слоями. Дадим по этому критерию примерную оценку времени применения схемы послойного переноса при типичных значениях мощностей слоев Ш\ = ті = 1 м, задавая т=%=0,3 и Z)M=2-10-S м2/сут, что дает (1,5—4) • 104сут, т. е. при диффузионном механизме поперечного переноса схема послойного переноса может очень широко применяться для расчетов техногенных процессов.
ОтнЬсительное влияние поперечного конвективного переноса в таких условиях рассмотрено в работе [31].
ПуШхр + Уti2pDu th ( т2 1/ — - (4.28) |
Для оценки влияния гидродисперсии заменим DM на бт»2, где бт — параметр поперечной гидродисперсии и v2 — скорость фильт
рации в слабопроницаемом слое. Тогда для безразмерного времени получим выражение
А__ лз&Л. v2 ^ 29)
У,
Где U^qiKtiitni)—длина пути конвективного переноса; vx=q/mh Считая v2/vi=k2/ki (где kx и k% — коэффициенты фильтрации слоев), запишем условие (4.29) в виде
B^h = 0,9—^—•. (4.30)
Проведя расчеты по выражению (4.30) при характерных значениях параметров, можно показать, что в песчаных пластах, где бт^Ю-3—Ю-4 м, схема послойного переноса имеет широкую область применения и может давать существенные погрешности только в потоках очень большой длины (порядка километра и более), а также в слоистых пластах, представленных скальными породами (где может быть 6т=0,1—1 м).
Диффузионная модель макродисперсии
Для математического описания макродисперсии, обусловленной различными видами фильтрационной неоднородности пород и пластов, широкое распространение получило представление о возможности использования аналогии с микродисперсией, когда макроне - однородная среда рассматривается как эквивалентная однородная. Такую модель можно назвать диффузионной, поскольку в ней дисперсия средней концентрации мигрантов в потоке описывается уравнением диффузии (4.3). При этом коэффициент DM заменяется на коэффициент макродисперсии D, структура которого принимается аналогичной коэффициенту гидродисперсии [см. выражения (4.10) и (4.11)], исходя из предположения, что размеру зерен соответствует характерный размер слабопроницаемых включений. Положительная оценка возможностей использования такой модели давалась, например, Д. Фридом, который, основываясь на доказательстве асимптотического перехода к диффузионной модели описания процесса переноса в слоистых пластах, делает вывод, что результаты, полученные для однородной среды, являются справедливыми и для гетерогенных сред [37]. В дальнейшем Д. Фрид приходит к более осторожным оценкам, признавая, что процесс дисперсии не обязательно может быть диффузионного типа [8]. Такая осторожность вызывается тем, что столь значительные изменения масштаба процесса при переходе от микроуравнений к макроуровням естественно вызывают сомнения в сохранении качественных представлений о модели процесса дисперсии на этих уровнях. Эти сомнения подтверждаются данными определения расчетных параметров макродисперсии решением обратных задач по натурным материалам. Результаты этих решений показывают, что расчетные параметры дисперсии существенно зависят от размера потока [8, 14, 46].
Рассмотрим обоснованность применения диффузионной модели на примере переноса нейтрального мигранта в одномерном потоке двухслойного строения при резком различии проницаемости слоев, когда перенос описывается системой дифференциальных уравнений (4.25). В этом случае согласно схеме макродисперсии концентрация мигранта в проницаемом слое описывается дифференциальным уравнением
Дс, дс n тс. я*т« + . Я, л 01 „ —- - U v ------------------- — D —---------------- п = ; у — — . (4.31)
Dt дх дх2 тх + т2 /и, + т2
Фундаментальное решение уравнения (4.31) в изображениях по Лапласу— Карсону для полуограниченного потока имеет вид (6.17) при k—Q. Сопоставляя решения (4.28) и (6.17), после преобразований получим выражение для коэффициента дисперсии
ЩШоР — Vn^pDu th т-2 — f щр
D--------------- —----------- ^j!_____ _ч9 є, щ-т i/ - f. (4.32)
(mi + т2) р + у n2pDM th т2у у ич
При длительном времени процесса, когда р становится малым, величину th т2 можно разложить в ряд и ограничиться в числителе двумя первыми чле-* нами, а в знаменателе одним членом. Тогда выражение (4.32) принимает вид
Х>.--------- (4.33)
Зла (m, + т2) Du
В этом случае D уже не зависит от р и может рассматриваться как параметр процесса переноса. Следовательно, схема макродисперсин действительно является предельным случаем переноса в слоистом пласте при резком различии проницаемости слоев. Такое же выражение, полученное другим путем, приведено в работах [23, 37].
Оценим погрешность бл определения параметра макродисперсии выражением (4.32) как относительную разницу значений D, определяемых выражениями (4.32) и (4.33). После алгебраических преобразований получим следующее выражение:
1
3 11 — th (1 4-да)
.. _ ..... --------- r~lz--------------- u m-jbol.. (4.34)
Т2Цт + -=-і\іт2ї \ Щ і
В табл. 9 приведены данные расчетов 6d по формуле (4.34) для предельных случаев.
Анализ этих данных показывает, что величина бd меняет знак при 0<т<1, однако по абсолютному значению оиа зависит главным образом от т2, меньше меняясь при различии ти причем предельные значення находятся в пределах —-1 < 6d < 2. При допустимой погрешности 6d=0,1—0,2 применимость диффузионной модели можно гарантировать при т2^0,7.
Таблица 9 Расчетные значения б а
|
Принимая характерное значение p=l/(nt), представим это условие для оригиналов функции в виде
T>2m242i(*DM). (4.35)
Задавая, в частности, характерные значения параметров DM= =2-Ю-5 м2/сут; /г2 = 0,3; m2= 1 м, из выражения (4.35) получим условие />104 сут. Такая численная оценка показывает, что время наступления условий применимости схемы макродисперсии оказывается слишком большим, чтобы можно было принять ее в качестве базовой для практических расчетов переноса в слоистых пластах. Этот вывод подтверждается обстоятельными теоретическими исследованиями, показавшими, что диффузионная модель неперспективна для описания переноса в слоистых пластах, поскольку она асимптотически справедлива лишь при весьма большой длительности процесса, выходящей за рамки реальной значимости [30, 38, 46].
С целью уч-ета этой изменчивости А. А. Рошаль [30] предложил пользоваться для слоистых пластов следующим интерполяционным выражением для зависимости расчетного коэффициента продольной дисперсии Di во времени:
-! |
Т |
= DTtj(nmh2), (4.36)
Где h — некоторый характерный размер пласта и слагающих его елоев; Е и пт определяются согласно уравнению (4.24). Для малых и больших моментов времени из уравнения (4.36) получаются предельные выражения коэффициентов дисперсии D0 и А»:
D0 = г»т2 Е2 */2ля; а„ = г»т2 Е2
Причем величина D0 соответствует расчетному значению коэффициента дисперсии, которое получается из решения задачи послойного переноса при нормальном законе распределения фильтрационных параметров слоев. Поскольку зависимость (4.36) является эмпирической, ее применимость требует обоснования на представительных фактических материалах (вместе с доказательством спо - еоба определения параметра h).
В работе [46] на основании представления макродисперсии как результата проявления случайного распределения поля скоростей утверждается, что расчетная величина коэффициента дисперсии должна быть функцией времени, а не расстояния, причем обработка данных полевых опытов показала, что эта функция оказывается неповторимой во всех точках наблюдений. Сомнительна также целесообразность использования диффузионной модели для ©писания макродисперсии в гетерогенных породах неупорядоченного строения. Численные эксперименты по массопереносу в среде с непроницаемыми включениями показали, что даже в этом идеализированном случае возникают значительные неясности в описании процесса моделью гидродиоперсии, поскольку перенос мигрантов существенно зависит от расположения и масштаба включений Ш
[76]. Например, анализ переноса в среде со статистически распределенной проницаемостью по логнормальному закону привел к выводу о невозможности прогнозирования и анализа натурных опытов массопереноса на основе диффузионной модели, т. е. как для гидродисперсии. В качестве альтернативы при этом предлагается модель конвективного переноса со статистическим распределением проницаемости [76].
Применение диффузионной модели для описания продольной дисперсии, по-видимому, рационально лишь для песчано-глинис - тых пластов с неупорядоченной неоднородностью с заданием параметра дисперсии, как функции стандартного отклонения нормального распределения величины k11 при О OK 1, параметры которого устанавливаются по косвенным данным (геофизическим, механического состава и т. п.).
Вместе с тем для описания поперечной макродисперсии модель диффузионного типа, по-видимому, является единственно реальной. Однако при этом целесообразно особо обосновать структуру коэффициента поперечной макродисперсии и его зависимость от скорости фильтрации, не пользуясь только непосредственной аналогией с поперечной гидродисперсией [23, 27, 37].
Один путь решения такой задачи, использующий определенную модель процесса поперечной макродисперсии в фильтрационном потоке, рассмотрен М. 3. Перльштейном [18] применительно к теплопереносу. В приведенном им выводе предполагается, что в поперечных каналах продольный перенос может описываться по схеме сосредоточенной емкости без учета изменения содержания - мигранта по направлению потока. При этих допущениях получается эффективный коэффициент поперечной дисперсии, который имеет сложный вид зависимости от скорости фильтрации. Экспериментальная проверка этого предложения дана в работе [18] лишь для очень ограниченных условий теплопереноса в гравийных грунтах, поэтому для обоснования справедливости такой модели требуются более обстоятельные Исследования.
Простой и, по-видимому, более рациональный способ определения расчетного коэффициента поперечной дисперсии в фильтрационном потоке основан на использовании модели «просеивания» мелких частиц через сетку крупных «фильтрующих» зерен. На такой модели для точечной подачи мелких'частиц экспериментальна установлено [14] следующее распределение их концентрации:
|
(4.37)
Где с0 — исходная концентрация; х и у — координаты по направлению просеивания (фильтрации) и перпендикулярно к нему; к*— диаметр фильтрующих зерен (блоков).
Сопоставим с такой моделью решение задачи конвективно-дисперсионного переноса, дающее распределение концентрации в потоке, двигающемся со скоростью v без продольной дисперсии, и® с поперечной, характеризуемой коэффициентом Dr, при действии в начале координат источника. постоянной интенсивности P—vd*Co. Согласно уравнению (6.34) при t — nx/v решение такой задачи представляется выражением
С = ехр (_ (4.38)
2 VnDyXv 4 DyXj v '
Где Dy = DT — коэффициент поперечной дисперсии (в направлении у).
Сопоставляя выражения (4.37) и (4.38), можно видеть их идентичность, причем они тождественно совпадают, если
£>Т = 8Л 8т = 4/8. (4.39)
Значение d* связывается с параметром а* соотношением (4.13) при d* = 6/s,. Выбор рациональной модели поперечной дисперсии на базе рассмотренных выше или каких-либо иных путей решения должен быть сделан в дальнейшем на основе представительных опытных данных.