ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ ИСТОРИЧЕСКИЙ ОЧЕРК

Роль Бернштейна

Пересмотр логических основ теории вероятностей явил­ся началом нового, наиболее плодотворного этапа ее раз­вития. Первые работы в этом направлении принадлежат С. Н. Бернштейну. В 1917 г. в «Записках харьковского математического товарищества» он опубликовал работу «Опыт аксиоматического обоснования теории вероятно­стей»: Разработкой аксиоматизации Бернштейн занимал­ся и в дальнейшем.

В книге «Математика в СССР за тридцать лет» с ра­ботами Бернштейна связывается начало нового этапа в развитии теории вероятностей у нас в стране [129].

В 1927 г. вышло первое издание книги С. Н. Бернштей­на «Теория вероятностей», последнее (четвертое) изда­ние — в 1946 г. Это одна из лучших книг по теории ве­роятностей, по ней в течение многих лет учились не только математики и физики, но и многие представите­ли других специальностей.

В книге «Теория вероятностей» Бернштейн подробно излагает свою аксиоматику теории вероятностей. Он обосновывает и объясняет аксиомы, делая много общих выводов и замечаний. Он считает, что основная схема, по которой происходят наши выводы в естествознании, состоит в том, «что на основании предшествующего опы­та утверждается достоверность наступления события из­вестного класса А, если осуществлен некоторый опреде­ленный комплекс условий а, каковы бы ни были прочие обстоятельства. Поскольку в данном конкретном опыте соблюдены условия а, наступление факта А неизбежно» {72, стр. 7]. Но оказывается, замечает Бернштейн, на­ступление факта А не является абсолютной достовер­ностью. Мы не можем предвидеть ход реальных явлений с непоколебимой уверенностью. Закон, который связы­вает а с А, только в том случае имеет практический смысл, когда комплекс условий а не слишком громоздок и поддается наблюдению. Если это условие не выполня­ется то факт А называется случайным. Тогда мы стре­мимся вместо а ввести более простой комплекс условий Р, при наличии которого наступление А приобретает оп­ределенную вероятность.

«Основное допущение теории вероятностей (постулат существования математической вероятности) состоит в том, что существуют такие комплексы условий р, которые (по крайней мере, теоретически) могут быть реализованы неограниченное число раз и при наличии которых в дан­ном опыте наступление факта А имеет определенную ве­роятность, выражающуюся числом» (72, стр. 8].

Если В также обладает вероятностью, то имеет место одно из трех соотношений:

вер.Л = вер. В; вер. А >• вер. В; вер. А <вер. В.

«Опыт имеет решающий голос в вопросе о том, воз­можно ли при осуществлении данного комплекса условий Р и полной неопределенности прочих обстоятельств при­писать факту А определенную вероятность» [72, стр. 8].

Бернштейн вводит три аксиомы: 1) аксиома сравне­ния результатов; 2) аксиома о несовместимых событиях; 3) аксиома о совмещении событий. Первые две аксиомы имеют в виду неизменность комплекса р. Третья аксиома связывает вероятность А при одних условиях а с вероят­ностью того же факта при другом комплексе условий р.

Прежде чем перейти к формулировкам аксиом, введем некоторые необходимые понятия.

Если наступление а означает также и наступление Л, то а называется частным случаем события А. Если собы­тие А возможно и без наступления его частного случая Лі, то А і называется частным случаем А в узком смысле слої- ва (видом события Л). В противном случае мы счита­ем, что Л і есть частный случай Л з широком смысле слова.

Теперь сформулируем первую аксиому.

Аксиома сравнения вероятностей. Если а есть вид (ча­стный случай в узком смысле) события Л, то вер. а < <вер. Л; обратно, если между вероятностями фактов fii и Л существует неравенство вер. fli < вер. Л, то оно оз­начает, что вер. а,\ — вер. а, где а есть некоторый вид со­бытия Л.

Из первой части аксиомы вытекают два очевидных следствия:

• Вероятность достоверного факта больше вероятно­сти только возможного факта.
• Вероятность возможного факта больше, чем невоз­можного.

Это означает, что все достоверные факты имеют одну и ту же наибольшую вероятность и что все невозможные факты имеют одну и ту же наименьшую вероятность.

Что касается второй части аксиомы, то здесь могут возникнуть трудности при указании события а. Однако считается, что принципиально всегда возможно указать такое событие.

Вторая аксиома.

Аксиома о несовместимых событиях. Если известно, что события Л и Лі несовместимы и, с другой стороны, события В и В\ также несовместимы, причем вер. Л = = вер. В и вер. Л і = вер. В_и то вероятность факта С, за­ключающегося в наступлении события Л или события Л і, равна вероятности факта Си заключающегося в на­ступлении В или Ві, т. е. вер. (Л или Л і) = (В или В і).

Вторая аксиома означает, что вероятность наступле­ния одного из двух несовместимых событий определяется вероятностями каждого из них в отдельности, т. е. явля­ется их функцией и не зависит от природы самих событий.

Эта аксиома Легко распространяется на любое число несовместимых событий.

Как следствие из двух аксиом можно получить сле­дующий вывод: «Если событию X благоприятствуют т случаев из общего числа всех п единственно возможных, несовместимых и равновероятных случаев, то вероятность события X зависит только от чисел т и п (а не от приро­ды рассматриваемого опыта), т. е. вер. X = F(m_t п), где F(m, п) есть некоторая определенная функция» [72, стр. 13].

Любая ли функция F(m, п) удовлетворяет первым двум аксиомам? Оказывается, этим аксиомам удовлетво­ряет только функция вида F(m/n), причем — это возра­стающая функция дроби — . Любую такую функцию

П

F(mln) можно принять за вероятность X. Общепри­нято считать F (m]n)=mjn. Это и есть вероятность собы­тия X в высказанных условиях.

Аксиома о совмещении событий связывает значения вероятностей при одном комплексе условий со значения­ми, соответствующими другому комплексу условий.

Аксиома совмещения событий. Если а есть частный случай факта А, то вероятность а при данных условиях зависит только от вероятности факта А при тех же усло­виях и от вероятности, которую приобретает а в случае осуществления факта А.

Это означает, что если aj есть частный случай факта А_ьто вер. <х = вер. cti, если вер. А = вер. Ai при данных условиях и если вероятность, которую получает а после осуществления А, равна вероятности, которую получает сц в случае осуществления А\.

Если а есть совмещение фактов А и В, то при осущест­влении факта А наступление а равнозначно наступлению факта В.

Аксиому совмещения событий можно сформулировать еще так: Вероятность совмещения А и В (при данных ус­ловиях) зависит исключительно от вероятности А (при тех же условиях) и от вероятности, которую приобретает факт В после осуществления А.

Для независимых событий эта аксиома означает: Если события А и В независимы, то вероятность совмещения А и В зависит только от первоначальных вероятностей этих фактов.

Аксиому совмещения событий можно записать так:

\        (А, В) = Ф [(А), СВЫ = Ф [{В), (АЫ,

где (А)—вероятность А; (А)в — вероятность А после осуществления В; (А, В) — вероятность совмещения А и В; ф — некоторая раз навсегда определенная функция (вид этой функции устанавливается теоремой умножения: {А, В) = (А) (В) а и зависит от вида функции F).

На основе этих аксиом Бернштейн строит все здание теории вероятностей. «С. Н. Бернштейну принадлежит первая, систематически развитая аксиоматика теории ве­роятностей, построенная на понятии качественного срав­нения событий по их большей или меньшей вероятности. Само численное выражение вероятности появляется в этой концепции уже в виде производного понятия» [46, стр. 60]. Эта концепция С. Н. Бернштейна позже разраба­тывалась В. И. Гливенко и американским математиком Купманом.

В своих многочисленных работах по применению тео­рии вероятностей к проблемам естествознания Бернштейн придерживался взглядов, изложенных им «а I Всерос­сийском съезде математиков в 1927 г. в Москве.

«Чисто математическая теория вероятностей может не интересоваться тем, имеет ли коэффициент, называемый математической вероятностью, какое-нибудь практиче­ское значение, субъективное или объективное. Единствен­ное требование, которое должно быть соблюдено, это от­сутствие противоречий, а именно: различные способы вы­числения указанного коэффициента при данных условиях и соблюдении принятых аксиом должны приводить к од­ному и тому же значению.

Кроме того, если мы хотим, чтобы выводы теории ве­роятностей были не простой игрой ума, а допускали эмпи­рическую проверку, необходимо рассматривать только такие совокупности предложений или суждений, относи­тельно которых возможно фактически установить, истин­ны они или ложны. Познавательный процесс, необрати­мый по существу, в том именно и заключается, что те или иные из признаваемых нами предложений становятся истинными, т. е. осуществляются, и тогда отрицания их в то же время становятся ложными или невозможными.

Таким образом, построение теории вероятностей как единого познавательного метода требует, чтобы истин­ность предложения однозначно и без всяких исключений характеризовалась определенным максимальным/значе­нием вероятности, которое принимается равным единице, а ложность предложения должна быть адэкватйа наи­меньшей вероятности, приравниваемой нулю» [УЗО].

Нужно отметить, что требование непротиворечивости является материалистическим требованием. Систему ак­сиом считают непротиворечивой, если существуют такие математические объекты, отношения между которыми вы­ражаются этой системой аксиом. Чисто логическим путем непротиворечивость доказать нельзя, потому что каждое доказательство непротиворечивости является относитель­ным доказательством: доказывается только то, что одна система также непротиворечива, как другая. В конечном счете непротиворечивость любой системы аксиом можно свести к непротиворечивости арифметики. Для доказа­тельства непротиворечивости арифметики необходимо обратиться к опыту. Арифметика непротиворечива пото­му, что все ее законы являются отражением количествен­ных отношений между предметами реального мира и эти законы миллиарды раз проверены практикой всего чело­вечества. Таким образом, требование непротиворечивости аксиом в конечном счете является требованием соответ­ствия аксиом реальной действительности.

Свои идеи об аксиоматике и применимости теории вероятностей к вопросам естествознания Бернштейн по­ложил в основу своего курса «Теория вероятностей» — одного из лучших произведений мировой литературы по теории вероятностей.