ТЕОРИЯ сварочных процессов

Дифференциальное уравнение теплопроводности

Закон теплопроводности, дока­занный в п. 5.I, устанавливает связь между теплопроводностью металла, градиентом температуры и тепловым потоком. Для вычисления темпера­туры точек тела необходимо не только установить тепловой поток, проходящий через рассматриваемое сечение, но и определить количество теплоты, которое поступает в неко­торый элементарный объем тела, а также уходит из этого объема.

Если количество теплоты в этом объеме увеличивается, то температура его повышается, и наобо­рот. Сложный процесс изменения температуры точек тела с коор­динатами х, у, z во времени t описывается дифференциальным уравнением теплопроводности.

Вывод дифференциального уравнения теплопроводности рас­смотрим на примере линейного распространения теплоты в стержне (рис. 5.9). Вследствие наличия градиента температуры теплота в стержне с сечением F на рассматриваемом участке будет рас­пространяться слева направо.

Согласно закону Фурье, удельный тепловой поток в каждом сечении

qix— — ХдТ/дх. (5.24)

Приращение удельного теплового потока dq2x на длине dx составит

d4ix=-^rdx= — dx. (5.25)

Это означает, что слева через сечение / — /, где градиент температуры несколько выше, входит больше теплоты, чем выхо­дит через сечение 11 —11, где градиент ■ температуры меньше. За время dt в элементарном объеме Fdx накапливается количество теплоты

dQx= qixd tF — q2(x + ix)dtF = — dq2xFdt.

Однако через боковую поверхность стержня за время dt часть теплоты отдается в окружающее пространство

dQp= q2ppdxdt, (5.26)

где q2p = alT — Тс) —удельный тепловой поток с поверхности стержня (см. п. 5.2); р — периметр стержня.

Суммарное количество теплоты, которое накапливается в эле­ментарном объеме, составит

dQi =dQx — dQp. (5.27)

Теплота dQi повышает температуру элементарного объема с теплоемкостью ср на dT = (dT/dt)dt:

dQi = cpFdx(dT/dt) dt. (5.28)

Приравнивая варажения (5.27) и (5.28), а также используя уравнение (5.25) и (5.26), находим

cpFdT/dt = XF{d2T/dx2) - ар{Т-Тс). (5.29)

Сокращая, получим частный случай дифференциального урав­нения теплопроводности для стержня:

dT/dt = [X/(cp)} (д2Т/дх2)-Ь(Т-Тс), (5.30)

где b = ap/(cpF) — коэффициент температуроотдачи для стержня (по аналогии с пластиной).

Если рассматривать элементарный кубик в пластине, то, кроме потока в направлень і х, в уравнении (5.27) следует учесть влияние теплового потока в направлении у. Тогда получим дифференци­альное уравнение теплопроводности для пластины

l=i(5-+ <53»

В общем случае трехмерного тела при отсутствии теплообмена с окружающим пространством общее уравнение теплопроводности имеет вид

дт_ X ( д2Т, cFT, <Э2Л _ у2г

dt ср дх2 ду‘ д г v ’ (5.32)

где V2T — оператор Лапласа; а — Х/{ср) — коэффициент темпера­туропроводности, см2/с.

В дифференциальных уравнениях (5.30)...(5.32) Т означает температуру или приращение температуры в точке равномерно нагретого тела. Если начальная температура тела равномерна и равна Ти, то полное значение температуры Т равно АТ--Ти, где АТ — приращение температуры.

Решения уравнений (5.30)... (5.32) дают разнообразные случаи распределения температуры в телах. При выводе указанных уравнений предполагалось, что коэффициенты X, ср, а и а постоян­ны. Учет зависимости этих коэффициентов от температуры приво­дит к нелинейным дифференциальным уравнениями, что чрезвы­чайно усложняет получение решения аналитическими методами. Для технических целей в ряде случаев точность решения оказы­вается достаточной, если выбирать средние значения коэффициен­тов X, ср, а и а в диапазоне температур, характерном для рассмат­риваемого процесса. Судить о том, насколько удачно выбраны постоянные коэффициенты, можно на основании сравнения опыт­ных и расчетных значений температур. Значения коэффициентов для расчетов температур при сварке сталей и других материалов рекомендуется выбирать по табл. 5.1.