ВОЗОБНОВЛЯЕМЫЕ ИСТОЧНИКИ ЭНЕРГИИ

ЗАКОН ВИДЕМАНА-ФРАНЦА-ЛОРЕНЦА

В XIX в. физики сталкивались с большими трудностями при экс - - гриментальном определении теплопроводности материалов. В середине XIX в. гепериментально было показано, что, по крайней мере, для металлов отноше­ние Х/а является постоянной величиной. Таким образом, зная это отношение, полно определить теплопроводность любого металла, измерив его электрическое сопротивление, что довольно просто. Закон, устанавливающий зависимость между теплопроводностью, электропроводностью и абсолютной температурой, получил млчвание закона Видемана-Франца-Лоренца, и его справедливость в принципе ыо^ет быть доказана на основе классической модели электропроводности.

Рассмотрим теплопроводность одномерного газа, в котором имеется продоль­ный температурный градиент (рис. 5.11). Поверхность А, находящаяся в нача - координат, перпендикулярна направлению движения молекул. Примем, что сумлАфный поток массы через эту поверхность равен нулю. Тогда

и^і + n2v2 = 0. (33)

В дальнейшем мы будем использовать символ I для обозначения длины сво­бодного пробега, а не длины образца, как это было раньше. Молекулы, дви - _ щиеся слева и пересекающие поверхность А, приходят в среднем из точки координатой -1/2.

1 і 2

і

1 ►

і

«1 п2

— > — ►

V1 д v2

Рис. 5.11 Теплопроводность в одномерном газе

Пусть их кинетическая энергия равна U ( //2). Тогда молекулы, пересекающие верхность А справа, имеют кинетическую энергию U (1/2). Половина молекул ижется налево, а другая половина направо. Суммарный энергетический поток, т е. плотность энергии. Вт/м2,

Энергия каждой молекулы равна (1/2) kT, поэтому

Р= = —. (35і

4 дх дх

Здесь X, как и раньше, представляет собой теплопроводность.

Если предположить, что в металлах тепло переносится только с помощью элек­тронов (что является вполне разумным предположением) и каждый электрон пере­носит (3/2) кТ единиц энергии, то теплопроводность металла будет равна

<36,

4

Коэффициент 3 учитывает тот факт, что реальный газ является трехмерным и электроны имеют три степени свободы. В действительности мы завышаем реальное значение теплопроводности, поскольку не учитываем статистическое число электронов трехмерного газа, которые пересекают заданную поверхност,- в единицу времени. Хотя полученный результат и нельзя считать корректны'- в числовом выражении, влияние различных физических факторов на теплопро­водность выражено правильно.

Теперь рассмотрим электрическую проводимость

a = qnx, (37)

где |і. — подвижность, т. е. скорость носителя заряда, соответствующая единичное значению электрического поля, вызывающего это движение. Другими словами, это отношение дрейфовой скорости vd к величине электрического поля Е:

Ц = vJE. (38)

В предположении, что соударения изотропны, скорость электрона после каждого соударения статистически равна нулю (поскольку все направления движения рав­новероятны). В этом случае средняя скорость дрейфа электрона будет равна (1/2)at. где а — ускорение, qE/m, a t— среднее время свободного побега l/v. Вспомним, что тепловая скорость электрона v обычно много больше скорости дрейфа, vd.

ц. = ql/(2mv) (39)

и

о = <72 nl/(2mv). (40)

Таким образом, отношение

Х/с = 3mv2 k/(2q2) = 3k2T/(2q2), (41)

поскольку

mv2 = kT. (42)

Точное выражение для искомого отношения имеет вид

У о = n2/3(k2 T/q2) = LT = 2,44 • 10“8 T. (43)

Это выражение называется законом Видемана-Франца-Лоренца, а постоянная L = 2,44 ■ 10-8 (В/К)2 — числом Лоренца.

Из этого закона следует, что если уменьшать поток тепла, применяя мате - риачы с более низкой теплопроводностью, то это приведет к автоматическому [ичению электрического сопротивления термопары, поскольку существует :рямо пропорциональная зависимость между X и о.

Таким образом, невозможно добиться никакого улучшения путем вариации » itxj двух параметров, и поэтому у большинства металлических проводников - ютность зависит только от коэффициента Зеебека и от температуры, К-1

Z= a2/(LT) = 4,1 ■ 10 7а2/Т.

И»метим, что Z обратно пропорциональна L.

Закон Видемана-Франца-Лоренца носит относительный характер, посколь - I іл он лишь весьма приблизительно описывает поведение большинства металлов Ь неприменим ко всем материалам. Число Лоренца также не является констан - > , . как это предписывается теорией — его значение меняется при переходе от металла к металлу (см. табл. 5.2).

Следует отметить, что точность значений, приведенных в табл. 5.2, невы­сока, поскольку они получены на основе результатов независимых измерение теплопроводности и электрической проводимости, опубликованных в Справоч нике по химии и физике «Handbook of Chemistry and Physics» (CRC). Скори всего, измерения теплопроводности и электрической проводимости материа проводились для различных образцов без учета того факта, что электричес проводимость весьма чувствительна к примесям в материале. С учетом этих стоятельств приведенные значения L являются приблизительными.

Дополнительно можно отметить, что теплопроводность чаще всего измерн ется с точностью не выше второй значащей цифры. Важным фактором являє-. ‘ также предположение о том, что электроны — единственные переносчики теп. в твердом теле. Это предположение с некоторой натяжкой справедливо толь - для металлов и несправедливо для большинства остальных материалов. В да., нейшем мы обсудим эти вопросы более подробно.