ВОЗОБНОВЛЯЕМЫЕ ИСТОЧНИКИ ЭНЕРГИИ
Эффект Томсона
Рассмотрим одномерный газ, о теплопроводности которого > говорилось в § 5.5. Теперь мы хотим вывести формулу для конвективного реноса тепла. На время пренебрежем эффектом теплопроводности, поско при желании его влияние можно просто наложить на результат, который б. получен.
Предположим, что имеется некий поток nv молекул и что температура НЄОІ накова вдоль столба газа. Рассмотрим три соседние точки: 1, 2 и 3. Каждая лекула, которая движется из точки 1 в точку 2, переносит энергию, равную.. Здесь с — среднее значение теплоемкости молекулы (т. е. с = 1/Nот теплое, сти, которой обладают Аг молекул). Каждой молекуле, которая достигла точк • придя из точки 1, можно поставить в соответствие другую молекулу, кот покинула точку 2 и направляется к точке 3. Последняя будет переносить э гию сТ2. Таким образом, увеличение энергии (джоули в секунду на един площади) в точке 2 вследствие потока газа составит с{Тх - T2)nv.
Если расстояние между точками 1 и 2 бесконечно мало, то Тх - 1 - и поток энергии (Вт/м2)
d Р* = - cnvdT
где Р* — плотность мощности. Если вместо столба газа мы рассмотрим проводник с электронной проводимостью, то тепло переносится электронами и, следовательно, /= qnv,
(115)
(116)
Полученное выражение можно переписать как
|
(117) |
йР = т! йТ,
где т — коэффициент Томсона, измеряемый в вольтах на келььин. Очевидно, что
|
(118) |
с
X = —
q'
Для проводников, в которых для носителей справедливо распределение Максвелла, с = 3/2 /с и коэффициент Томсона
|
(П9) |
|
т = - |
4— = —129 мкВ/К.
2 q
Многие полупроводники должны иметь коэффициент Томсона на уровне 100 мкВ/К. Однако для более точного расчета этого коэффициента необходимо ринимать во внимание влияние дырочной проводимости.
Электроны в металлах не подчиняются максвелловской статистике. Как уже то сказано в гл. 2, они описываются статистикой Ферми-Дирака: только не - ачительное число электронов, находящихся в высокоэнергетическом хвосте лределения, может переносить тепло. Те из электронов, которые способны это. переносят энергию порядка кТ единиц, но их доля в общем числе элек - >нов составляет только kT/WF. Следовательно, грубо среднюю теплоемкость ектронов можно оценить как
(120)
Отношение теплоемкости по Ферми-Дираку к теплоемкости по Максвеллу ■рядка kT/WF.
При комнатной температуре кТ соответствует 25 мэВ, в то время как харак - "ное значение Wf составляет 2,5 эВ. Поэтому «квантовая» теплоемкость при - шзительно в 100 раз меньше «классической». Из этого следует, что коэффи - ент Томсона для металлов значительно меньше аналогичного коэффициента полупроводников.
Ранее при выводе формул, характеризующих работу термоп полагалось, что коэффициент Пельтье тс равен а Т. Теперь мы докажем это, верждение. Отметим также, что до сих пор мы сознательно пренебрегали эффе том Томсона, который был рассмотрен в предыдущем пункте. Здесь обосн справедливость такого подхода. Тепловой поток, направленный от источни тепла к термопаре.
Тс,
PH=A{TH-Tc) + nHI + ljxAdT--I2R. (12
Т
1И
Подчеркнем, что в (121) учтен перенос тепла за счет эффекта Томсона. Ко фициент Томсона для материалов А и В принят равным тА и тв соответствеї Рассмотрим гипотетическую термопару, которая не обладает теплопровод тью и не имеет электрического сопротивления. В таком устройстве ОТСуТСТЕ’1 потери, так как Ли R равны нулю, и
т
PH=nHI + lxAdT. (12*
т„
Из тех же соображений тепловой поток, который направлен от холодил* ка к термопаре,
7и
Рс = -ncI + IJ їв d7 - (12
Те
Поскольку потери отсутствуют, мощность VLJ, выделяемая на нагрузке, ра суммарному тепловому потоку Рн + Рс. Более того, из-за отсутствия собств*: ного сопротивления термопары напряжение на нагрузке VL равно напряжен - холостого хода Voc,
т
V0cT = nHI-ncI + l('zB-xA)dT, (12
тс
Voc = Kh~Kc+ J {^в-^а)ат ■
__________________________________ тс
'* Вильям Томсон за создание трансатлантического телеграфа в 1866 и удостоен звания лорд Кельвин.
г был посвящен в рьш
Определим коэффициент Зеебека а при заданной температуре. Будем считать, температура Тс постоянна и посмотрим, как У()С зависит от Тн:
|
дК |
|
Эл |
|
+ ^t^b-^W = ^ + xb(Th)-xa(Th). Н т Н |
|
ОС |
|
я |
|
(126) |
|
дТн этн этн т |
|
Так как это уравнение справедливо при любом значении температуры Тн, но обозначить её просто как Т. Тогда коэффициент Зеебека |
|
Э Vnr дл а = _ = — + т„ - т. |
|
(127) |
|
Э Т дТ Энтропия на входе в термопару |
|
с _ Рн Jin — - |
|
(128) |
|
Энтропия на выходе |
|
s Г>1 it гг. |
|
(129) |
|
ловательно, полное изменение энтропии в устройстве |
|
AS = < 0. |
|
(130) |
|
Знак неравенства есть следствие второго начала термодинамики. Однако рассматриваемой термопаре отсутствуют потери (она изоэнтропическая), »тому |
|
AS = llL+^= о Тн Тс |
|
(131) |
|
= 0 , поскольку уравнение (131) справедливо при любых Т, |
|
d Т |
|
dAS d Тн dTH |
cL + i [Іяdr-/ fbidt
T' J T j T
|
= 1 |
|
(132) |
|
0. |
|
J_ _ 7ljj_ xb{TH) xa{Th) T„ Э T, |
|
H U1H |
Здесь мы заменили производную от определенного интеграла по его верхне - ределу на подынтегральную функцию, взяв в качестве ее аргумента верхний ел интеграла (см. ниже).
Немного математики
|
г " і |
||
|
J r dx |
||
|
[ |
0 >'(0. |
|
|
0 |
у— > 7 N і; № |
Для тех, кто забыл, приведем простой вывод того, как нужно брать производную от определенного интеграла по одному из его пределов. Рассмотрим
s
Int = ydx^ (133)
о
где у — некая определенная функция от х. Обратимся к рисунку. Интеграл раве' площади под кривой, закрашенной серым цветом, и имеет верхний предел х = - Спрашивается, что изменится, если увеличить верхний предел интегрирования на бесконечно малую величину d^? Ясно, что при этом площадь под кривой возрастет на величину которая равна площади небольшого, закрашенного черным цветом
прямоугольника. Величина >'(Q есть не что иное, как значение функции у при * =1 (т. е. значение у при верхнем пределе интегрирования). Таким образом, изменение интеграла равно
(134)
dTnt = y(Qd£,
а скорость этого изменения
|
dint Ж |
|
(135» |
Из этого следует, что производная определенного интеграла по верхнему преде: интегрирования равна подынтегральной функции в точке, совпадаюшей с верхним пределом интегрирования.
Исключив / из уравнения (132), упростив его и воспользовавшись тем. полученное соотношение справедливо при любых значениях Тн, получим
|
(136 |
Эл л
ЪТ + Хв~ХА-а-у-
Таким образом, соотношение между величинами аил, использовавшееся этой главе, справедливо.
Интересно установить зависимость а от Т:
|
да |
1 1 |
г Эл л^ |
11 |
' Эл |
Эл ^ |
|
дТ~~ |
= т |
,дт~т) |
ГІ |
JT~ |
~ дТ + %А %В) |
Э Т Т
|
(138) |
Из полученного соотношения следует, что если обе ветви термопары имеют одинаковый коэффициент Томсона, то коэффициент Зеебека не зависит от температуры. Однако такое совпадение очень часто не имеет места.
Вклад эффекта Томсона в ЭДС термопары равен
(139)
Используя уравнение (138) и игнорируя знак, получаем
(140)
|
(141) |
Проинтегрировав по частям, будем иметь
Тс
Среднее значение <а> в температурном интервале от Тс до Тн
(142)
Следовательно,
|
(143) |
К - анТц v-cTc ~ <а>(Тн - Тс),
|
(144) |
Vz = a(TH-Tc)-<a>(TH-Tc).
Если использовать среднее значение коэффициента Зеебека, т. е. принять, voaff=ac = <a>, то Vx = 0. Таким образом, можно пренебречь переносом теп-
1. :. обусловленным эффектом Томсона, при использовании среднего значения ‘ >ффициент Зеебека.
