ВОЗОБНОВЛЯЕМЫЕ ИСТОЧНИКИ ЭНЕРГИИ

Быстрое сжатие

Начнем с качественного описания процесса быстрого (скачко­образного) сжатия, а затем рассмотрим пример.

Предположим, что система, состоящая из цилиндра и поршня, находится в равновесии. Поршень, площадь поверхности которого равна А, расположен на высоте И0 от дна цилиндра, а объем, занимаемый газом, VQ = h0 А. Пусть сила[4]*, действующая на поршень, равна F0, так что давление газа р0 = F0 /А. Поршень жестко закреплен на месте и не может перемещаться. На него ста­вится дополнительный груз, что приводит к увеличению силы до значения Fy В какой-то момент поршень освобождается, что приводит к созданию давления на газ ру = / /А, но газ еще находится при более низком давлении р0. Поршень начнет быстро опускаться и через некоторое время остановится на высоте Л, при этом давление газа будет равно рх. Над газом будет совершена работа = /•’ (hQ - h{), и благодаря адиабатическим условиям эта работа полностью перейдет во внут­реннюю энергию газа, которая увеличится на AU= icv(Tx - Т0). Сжатие приведет к уменьшению объема газа и увеличению его давления и температуры.

Если затем сила, действующая на поршень, примет прежнее значение, F2 = F0, то поршень поднимется вверх и окажется, что он находится на высоте h2 > h0. Температура газа при этом упадет от значения Tv которое газ имел после сжатия, до значения Т2 > Т0. Система не вернется в исходное состо­яние по той причине, что сжатие газа происходило под действием силы F{, а расширение — против меньшей силы F0. Таким образом, совершенная при расширении работа была меньше на велчину (j - >2). В этом специфи­

ческом цикле энергия была подведена извне. Следовательно, по определению, этот процесс необратим.

Пример

Рассмотрим адиабатическую систему цилиндр-поршень, изображенную на рис. 2.1. Пусть в ней находится р = 40,09 • 10-6 кмолей газа с у = 1,4 (у не зависит от темпера­туры). Температура газа Т0 = 300 К. Поперечное сечение цилиндра А = 0,003 м2. Поршень может перемещаться без трения, и на него действует сила F0 = 1000 Н. Следовательно, поршень создает давление р0 = FJA = 1000/0,001 = 106 Па.

Объем, который занимает газ,

iiRTa 40,09 10 6 -8314- 300 Уо ~ ~ - 1П6

Поршень находится на высоте h0 = VJA = 0,0001/0,001 = 0,1 м над дном цилиндра.

В равновесии давление газа равно давлению, которое на него оказывает поршень. Удельная теплоемкость газа при постоянном объеме

—— = 20,785 Дж/(К • кмоль). у-1

Внутренняя энергия газа

U0 = fxcvT0 = 40,09 ■ 10-6 ■ 20,785 ■ 300 = 250 Дж,

I а произведение

p0VJ = 106 0.000114 = 2,51.

Таким образом, фиксированные характеристики системы равны:

площадь А = 0,001 м2,

количество газа р = 40,09 ■ 10_6 кмолей,

гамма у = 1,4,

удельная теплоемкость газа при гкх гоянном объеме cv = 20,785 ДжДК • кмоль).

Начальные значения параметров:

сила F0 = 1000 Н, объем VQ = 0.0001 м3, давление р0= 106Па, температура Т0 = 300 К, начальная энергия U0 = 250 Дж, высота h{] = 0,1 м,

Po^oY=2.51.

Ночные по всем стадиям процесса, рассмотренного в этом примере (приведены • •'эбъ 2.1).

і произойдет, если сила, действующая на поршень, резко (скачкообразно) уве - Ится и станет равной 10 000 Н? Поршень опустится и остановится на высоте h{. .действительности поршень сначала проскочит эту высоту и некоторое время будет "ішать колебания около нее, перемещаясь вверх и вниз до тех пор, пока внутрен - потери в газе не приведут к затуханию этих колебаний.) В положении равновесия - ние газа станет равным:

Продолж. примера При перемещении с высоты А0 на высоту h{ поршень совершит работу

= т-М - (28)

Так как система является адиабатической, внутренняя энергия газа должна увели­читься на

ДІ/0 - [icv (7J - Гу) - F, (hfj - A,), где 7’ — температура газа после сжатия,

Pvі _

i. R fiR iR

Подставляя выражение для Тх из (30) в уравнение (29), получаем

hi) = fFA-^v То-

Решая (31) относительно Л1? имеем

Y-1

*1 =

Подставляя значения величин в (32) получаем, что А, = 0,0357 м. Объем газа после сжатия

Vl = ЛЛ, = 0,001 ■ 0,0357 = 35,7 ■ Ю"6 м3.

Температура газа

Т вИ= 10^-35,^10^_ = 107 к liR 40,09 ■ 10 ■ 8314

и произведение

= 107 (35,7 • 10-6) ’ = 5,94.

Таким образом, после сжатия мы имеем:

сила Г^ = 10000 Н, объем Kj = 35.7 • 10-6 м3, давление Pj = 107 Па, температура Тх = 1071,4 К, высота А, = 0,0357 м,

Л К,* =5,94.

Энергия, переданная поршнем газу,

Wo-,1 = Fi (К ~ К) = Ю000(0,1 - 0,0357) = 643 Дж.

В этом примере мгновенно приложенная сила 10 000 Н (увеличение на 9000 Н) привела к возникновению сильно неравновесной ситуации. В момент, когда была приложена дополнительная сила, поршень производил давление Ю7 Па, в то вре-

Окот, примера

мя как встречное давление газа составляло только 106 Па. Поршень очень быстро опустился в новое положение равновесия. Попытаемся обратить ситуацию, стартуя от полученных выше значений параметров, которые указаны также во второй строке табл. 2.1 (быстрое сжатие). Мы мгновенно уменьшаем усилие на 9000 Н (оставляя 1000 Н, которые имели первоначально). Вычисления, полностью аналогичные проделанным ранее, приводят нас к новым значениям искомых величин:

сила F2 = 1000 Н, объем V2 = 268 ■ 10_6 м[5], давление р2 = 106 Па. температура Т2 = 795,6 К, высота И2 = 0,265 м,

P2 V? = 9.98.

Сила, действующая на поршень, равна первоначальному значению 1000 Н, но состо­яние газа далеко от того состояния, в котором он находился в начале эксперимента. Этого, как говорилось выше, следовало ожидать. Мы сжимали газ, прикладывая силу в 10 000 Н, а поршень поднимался вверх, преодолевая силу в 1000 Н. Несмотря на то что конечная высота больше, чем исходная, некоторая доля работы не восполнена. Дело в том, что внутренняя энергия газа теперь равна U2 = p. cvT2 = 663 Дж. что на 413 Дж больше, чем начальное значение U0 = |it 70 = 250 Дж. Полученная разность значений внутренней энергии, естественно, равна разности между значениями произведенной над газом работы и работы, совершенной газом

При достаточно малых значениях Дf получим, что /гкон = 0,0193 м и Ткон = 579,2 К. Кроме того, при расширении, осуществляемом таким же образом, мы вернемся к исходным значениям h, Vи Т. Итак, процесс обратим. Отметим, что конечное значение величины р Vу совпадае т с ее начальным значением. В действи­тельности pVy остается неизменным на всех шагах вычислений. Это не случайное совпадение. Позже в этой главе мы покажем, что для адиабатического обратимого процесса величина pV1 является константой. Далее мы также покажем, что этот так называемый политропический закон1) применим ко всем адиабатическим про­цессам. Использование подтропического закона позволяет рассчитать обратимый адиабатический процесс достаточно простым способом, не прибегая к итерацион­ной процедуре, которую мы использовали выше.

Результаты, полученные для обратимого адиабатического сжатия, приведе­ны ниже:

объем = 19,3 • 10 6 м3, давление робр= Ю7 Па, температура 7()бр = 579,2 К, высота Лобр = 0,0193 м, iPvr) сбр = 2,51, і-** =10 ООО Н.